Corsi di Laurea in Ingegneria Settore Informazione- Canale 4 III appello di Fisica Generale 1 – 4 Settembre 2020

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

Corsi di Laurea in Ingegneria Settore Informazione- Canale 4 III appello di Fisica Generale 1 – 4 Settembre 2020

Cognome ________________________ Nome ________________________ Matricola ____________

Problema 1

Si consideri il sistema meccanico mostrato in figura. Su un piano scabro, inclinato di 𝜃 = 30°, giace una sfera, di massa 𝑚! = 10 kg vincolata, nel suo centro di massa C, tramite una molla ideale, di massa trascurabile e costante elastica k = 300 N/m, ad una parete. Una fune inestensibile e di massa trascurabile, obbligata a restare parallela al piano tramite una carrucola liscia, collega il centro della sfera ad un blocco di massa 𝑚" = 6 kg posto su un secondo piano liscio, anch’esso inclinato di 𝜃. Con la molla inizialmente a riposo e la corda tesa, a causa di vincoli non illustrati in figura, si applica al blocco una forza F parallela al piano, contemporaneamente togliendo i vincoli. Determinare, osservando che il filo resta teso durante il moto e che la sfera inizia a muoversi di puro rotolamento con accelerazione iniziale del suo centro C pari ad 𝑎 = 3 ms^#$:

1) il modulo della forza di attrito statico agente sulla sfera 𝐹_% 2) l’intensità della forza applicata inizialmente al blocco F Calcolare inoltre nell’istante in cui la molla è elongata di Δℓ = 10 cm

3) la velocità del blocco 𝑣

4) la velocità del centro di massa del sistema 𝑣_&

5) l’energia cinetica relativa al centro di massa 𝐸′'

C

F

m_S

m_B

(2)

Problema 2

Il ciclo termico mostrato in figura utilizza come fluido termodinamico n = 0.3 moli di gas ideale biatomico ed è composto dalle seguenti trasformazioni:

• AB: espansione isobara reversibile da 𝑇(= 100 K e 𝑉(= 10 litri a 𝑇)= 400 K e 𝑉*

• BC: espansione isoterma irreversibile fino alla pressione 𝑝$

• CD: raffreddamento isocoro reversibile fino a 𝑇$

• DE: compressione adiabatica reversibile fino allo stato E con 𝑇*= 200 K, 𝑉* e 𝑝$

• EF: compressione isobara reversibile fino a 𝑇(e 𝑉$

• FA: compressione isoterma reversibile fino allo stato iniziale Sapendo che il rendimento del ciclo è 𝜂 = 0.168, calcolare:

1) volume e temperatura di tutti gli stati 𝑉_$, 𝑉_*, 𝑉₎, 𝑇_$ 2) il calore scambiato nella trasformazione irreversibile 𝑄_"+

3) la variazione di entropia del gas nel passaggio fra gli stati D e A Δ𝑆_,-%^./

4) la variazione di entropia dell’ambiente nella trasformazione AFED Δ𝑆_-01^/23.

5) la variazione di entropia dell’universo nel ciclo Δ𝑆₄

A B

C

V p

D F E

T

₁

T

₂

T

₃

T

₄

V

₁

V

₂

V

₃

V

₄

p

₁

p

₂

p

₃

(3)

IV appello di Fisica Generale 1 – 12 Settembre 2019

Problema 1

Si consideri il sistema meccanico mostrato in figura. Su un piano scabro, inclinato di 𝜃 = 30°, giace una sfera, di massa 𝑚! = 10 kg vincolata, nel suo centro di massa C, tramite una molla ideale, di massa trascurabile e costante elastica k = 300 N/m, ad una parete. Una fune inestensibile e di massa trascurabile, obbligata a restare parallela al piano tramite una carrucola liscia, collega il centro della sfera ad un blocco di massa 𝑚" = 6 kg posto su un secondo piano liscio, anch’esso inclinato di 𝜃. Con la molla inizialmente a riposo e la corda tesa, a causa di vincoli non illustrati in figura, si applica al blocco una forza F parallela al piano, contemporaneamente togliendo i vincoli. Determinare, osservando che il filo resta teso durante il moto e che la sfera inizia a muoversi di puro rotolamento con accelerazione iniziale del suo centro C pari ad 𝑎 = 3 ms^#$:

6) il modulo della forza di attrito statico agente sulla sfera 𝐹%

7) l’intensità della forza applicata inizialmente al blocco F Calcolare inoltre nell’istante in cui la molla è elongata di Δℓ = 10 cm

8) la velocità del blocco 𝑣

9) la velocità del centro di massa del sistema 𝑣&

10) l’energia cinetica relativa al centro di massa 𝐸′'

Soluzione

1) Seconda equazione cardinale del cilindro rispetto al suo centro C (forza peso e tensione non hanno momento meccanico)

𝐹!𝑅 = 𝐼+𝛼 con 𝐼5 =2

5𝑚!𝑅^$ e 𝑎 = α𝑅 𝐹!=2

5𝑚!𝑎 = 12 N

2) Prima equazione cardinale per i due corpi (inizialmente è nulla la forza elastica) J𝐹 − 𝑚"𝑔 sin 𝜃 − 𝑇 = 𝑚"𝑎

𝑇 + 𝑚_!𝑔 sin 𝜃 − 𝐹_!= 𝑚_!𝑎 da cui sommando membro a membro

𝐹 = 𝐹_!− (𝑚_!− 𝑚_")𝑔 sin 𝜃 + (𝑚_!+ 𝑚_")𝑎 = 40.4 N

3) Bilancio energetico fra istante iniziale e finale 𝐹𝛥ℓ =1

2𝑚!𝑣^$+1

2𝐼+𝜔^$+1

2𝑚"𝑣^$+1

2𝑘𝛥ℓ^$+ 𝑚"𝑔𝛥ℓ sin 𝜃 − 𝑚!𝑔𝛥ℓ sin 𝜃 Osservando che

1

2𝐼+𝜔^$=1 2U2

5𝑚!𝑅^$V W𝑣 𝑅X^$=1

5𝑚!𝑣^$ si ricava

𝑣 = Y2𝐹𝛥ℓ − 𝑘𝛥ℓ^$− 2(𝑚"− 𝑚!)𝑔𝛥ℓ sin 𝜃 + 𝑚_"+ 𝑚_!+2

5 𝑚^!

= 67 cm/s

4) Le componenti orizzontale e verticale della velocità del centro di massa sono

⎩⎨

⎧ 𝑣&,7=𝑚!𝑣 cos 𝜃 + 𝑚"𝑣 cos 𝜃

𝑚"+ 𝑚! = 𝑣 cos 𝜃

𝑣&,8=−𝑚_!𝑣 sin 𝜃 + 𝑚_"𝑣 sin 𝜃

𝑚"+ 𝑚! = 𝑚_"−𝑚_! 𝑚"+ 𝑚!𝑣 sin 𝜃

𝑣&= `𝑣_&,7^$ + 𝑣_&,8^$ = 58.7 cm/s

C

F

m_S

m_B

(4)

𝐸′_'=1

2(𝑚_!+ 𝑚_")𝑣^$ +1

5𝑚_!𝑣^$−1

2(𝑚_!+ 𝑚_")𝑣_&^$= 1.74 J

(5)

IV appello di Fisica Generale 1 – 12 Settembre 2019

Problema 2

Il ciclo termico mostrato in figura utilizza come fluido termodinamico n = 0.3 moli di gas ideale biatomico ed è composto dalle seguenti trasformazioni:

• AB: espansione isobara reversibile da 𝑇(= 100 K e 𝑉(= 10 litri a 𝑇)= 400 K e 𝑉*

• BC: espansione isoterma irreversibile fino alla pressione 𝑝_$

• CD: raffreddamento isocoro reversibile fino a 𝑇$

• DE: compressione adiabatica reversibile fino allo stato E con 𝑇*= 200 K, 𝑉* e 𝑝$

• EF: compressione isobara reversibile fino a 𝑇(e 𝑉$

• FA: compressione isoterma reversibile fino allo stato iniziale Sapendo che il rendimento del ciclo è 𝜂 = 0.168, calcolare:

1) volume e temperatura di tutti gli stati 𝑉$, 𝑉*, 𝑉), 𝑇$

2) il calore scambiato nella trasformazione irreversibile 𝑄_"+

3) la variazione di entropia del gas nel passaggio fra gli stati D e A Δ𝑆,-%./

4) la variazione di entropia dell’ambiente nella trasformazione AFED Δ𝑆_-01^/23.

5) la variazione di entropia dell’universo nel ciclo Δ𝑆₄

Soluzione

1) Applicando la legge di Gay-Lussac per l’isobara AB si ottiene 𝑉(

𝑇(=𝑉*

𝑇) ⟹ 𝑉*= 𝑉(𝑇)

𝑇(= 40 litri e successivamente all’isobara EF si ricava

𝑉*

𝑇_*=𝑉$

𝑇₍ ⟹ 𝑉_$= 𝑉_*𝑇(

𝑇_*=20 litri La pressione dello stato E e dello stato C sono le stesse per cui

𝑝_$=𝑛𝑅𝑇*

𝑉_* =𝑛𝑅𝑇)

𝑉₎ ⟹ 𝑉₎= 𝑉_*𝑇)

𝑇_*= 80 litri Considerando l’adiabatica DE, si ha

𝑇$𝑉₎^9#(= 𝑇*𝑉_*^9#( ⟹ 𝑇$= 𝑇*U𝑉_* 𝑉)V

9#(

= 151.6 K 2) Il calore scambiato nelle trasformazioni è

𝑄/"= 𝑛𝑐:(𝑇₎− 𝑇() = 2618 J > 0 assorbito 𝑄"+> 0 assorbito 𝑄_+.= 𝑛𝑐_;(𝑇_$− 𝑇₎) = −1548 J < 0 ceduto 𝑄.3 = 0

𝑄32 = 𝑛𝑐:(𝑇₍− 𝑇*) = −873 J < 0 ceduto 𝑄_2/ = 𝑛𝑅𝑇₍ln𝑉(

𝑉_$= −173 J > 0 ceduto

e il rendimento della macchina è dato da 𝜂 = 1 +𝑄'<=

𝑄-%% = 1 +𝑄+.+ 𝑄32+ 𝑄2/

𝑄/"+ 𝑄"+

e quindi il calore assorbito in BC è

A B

C

V p

D F E

T

₁

T

₂

T

₃

T

₄

V

₁

V

₂

V

₃

V

₄

p

₁

p

₂

p

₃

(6)

3) Si può applicare la formula della variazione di entropia fra due stati generici di un gas ideale Δ𝑆,-%./ = 𝑛𝑐;ln𝑇/𝑉_/^9#(

𝑇_.𝑉_.^9#(= 𝑛𝑐;ln𝑇(𝑉₍^9#(

𝑇_$𝑉₎^9#(= −7.78 J/K

4) La trasformazione AFED è reversibile, per cui è nulla la variazione di entropia dell’universo nella trasformazione; inoltre è la trasformazione inversa della trasformazione DEFA, per cui

Δ𝑆4/23.= Δ𝑆,-%/23.+ Δ𝑆-01/23.= 0 ⟹ Δ𝑆-01/23.= −Δ𝑆,-%/23.= Δ𝑆,-%.32/= Δ𝑆,-%./ − 7.78 J/K 5) la variazione di entropia dell’universo nel ciclo è pari alla variazione di entropia dell’universo delle trasformazioni irreversibili, ovvero BC, per cui

Δ𝑆4 = Δ𝑆4"+ = Δ𝑆,-%"+ + Δ𝑆-01"+ = 𝑛𝑅ln𝑉₎ 𝑉*−𝑄_"+

𝑇) = 0.48 J/K