Analisi Matematica I Gianluca Ferrari Integrali Impropri
Tema d’Esame del 3 luglio 2018 – Unità 2
Esercizio 2
Riscriviamo il testo esprimendo il tutto in potenze di 6, nel seguente modo
∫ 36𝑥 6𝑥 − 1
−1
−∞
𝑑𝑥 = ∫ 62𝑥 6𝑥 − 1
−1
−∞
𝑑𝑥
Sfruttando il teorema di sostituzione, poniamo 𝑡 = 6𝑥, da cui 𝑥 log 6 = log 𝑡, ossia 𝑥 = log 𝑡
log 6 ⟹ 𝑑𝑥 = 1
𝑡 log 6𝑑𝑡 L’integrale diventa
∫ 𝑡2 𝑡 − 1
1 𝑡 log 6
16
0+
𝑑𝑡 = 1
log 6∫ 𝑡 𝑡 − 1
1/6
0+
𝑑𝑡 = 1
log 6∫ 𝑡 − 1 + 1 𝑡 − 1
1/6
0+
𝑑𝑡
= 1
log 6{∫ 𝑑𝑡
16
0+ + ∫ 𝑑𝑡 𝑡 − 1
16
0+ } = 1
log 6{[𝑡]0+
16 + [log|𝑡 − 1|]0+
16 }
= 1
log 6{1
6− 0++ log |1
6− 1| − log|−1|} = 1 log 6(1
6+ log5 6)
