Calcolo delle Probabilità 2011/12 – Foglio di esercizi 1
†Spazi di probabilità.
Esercizio 1. Si considerino le seguenti proprietà per una famiglia di sottoinsiemi A ⊆ P(Ω) di un insieme fissato Ω.
(a) ∅ ∈ A (a’) Ω ∈ A
(b) A ∈ A =⇒ Ac∈ A (c) Ak∈ A, ∀k ∈ N =⇒S
k∈NAk∈ A (c’) Ak∈ A, ∀k ∈ N =⇒T
k∈NAk∈ A
Supponiamo che A soddisfi la proprietà (b). Si mostri che in questo caso le proprietà (a) e (a’) sono equivalenti; analogamente, anche le proprietà (c) e (c’) sono equivalenti.
Esercizio 2. Sia data un’arbitraria famiglia {Ai}i∈I di σ-algebre sullo stesso insieme Ω.
(a) Si mostri che l’intersezione A =T
i∈IAi è sempre una σ-algebra su Ω.
(b) Si mostri che l’unione B =S
i∈IAi non è necessariamente una σ-algebra su Ω.
Esercizio 3. Siano Ω, E due insiemi arbitrari e f : Ω → E un’applicazione qualunque. Per ogni famiglia di insiemi E ⊆ P(E), indichiamo con f−1(E ) la famiglia delle controimmagini degli elementi di E , ossia:
f−1(E ) := {f−1(B) : B ∈ E } = {A ∈ P(Ω) : ∃B ∈ E tale che A = f−1(B)} , Si mostri che se E è una σ-algebra su E allora f−1(E ) è una σ-algebra su Ω.
[Sugg.: Si mostri che (f−1(B))c= f−1(Bc), f−1(S
i∈IBi) =S
i∈If−1(Bi) e f−1(T
i∈IBi) =T
i∈If−1(Bi) per ogni scelta di B, {Bi}i∈I sottoinsiemi di E.]
Esercizio 4. Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e sia {An}n∈Nuna successione di eventi.
(a) Si mostri che se P(An) = 0 per ogni n ∈ N allora P(S
n∈NAn) = 0.
(b) Si mostri che se P(An) = 1 per ogni n ∈ N allora P(T
n∈NAn) = 1.
Esercizio 5. Siano A, {Ak}k∈N sottoinsiemi di un’insieme fissato Ω.
(a) Si mostri che Ak ↑ A se e solo se Ack↓ Ac.
(b) Supponiamo che Ak↑ A e poniamo Bk := Ak∪ Acper k ∈ N. Si mostri che Bk ↑ Ω.
(c) Poniamo Bk:=Sk
i=1Ai per k ∈ N (non facciamo alcuna ipotesi sugli insiemi {Ai}i∈N).
Si mostri che Bk ↑ B :=S
i∈NAi.
(d) Supponiamo che Ak ↑ A e poniamo Ck := Ak\ Ak−1 per k ∈ N (con A0 := ∅). Si mostri che:
• gli insiemi {Ck}k∈N sono a due a due disgiunti: Ck∩ Cl= ∅ per ogni k 6= l;
• Sn
k=1Ck= An per ogni n ∈ N;
†Ultima modifica: 5 ottobre 2011.
2
• S
k∈NCk= A.
Esercizio 6. Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità. Si mostri che la famiglia di insiemi F := {A ∈ A : P(A) ∈ {0, 1}}
è una σ-algebra.
Esercizio 7. Data una successione (An)n∈N di eventi in (Ω, A, P), introduciamo gli eventi lim sup
n
An :=
∞
\
n=1
∞
[
k=n
Ak, lim inf
n An :=
∞
[
n=1
∞
\
k=n
Ak. (a) Si mostri che
lim sup
n
An = {ω ∈ Ω : ω ∈ An per infiniti valori di n ∈ N}
lim inf
n An = {ω ∈ Ω : per un opportuno n0 = n0(ω) ∈ N si ha ω ∈ Ak per ogni k ≥ n0} . Ci si convinca quindi che (lim supnAn) = “si verificano infiniti degli eventi An” mentre (lim infnAn) = “gli eventi An si verificano definitivamente”.
(b) Posto An:=S
k≥nAk, si mostri che An↓ lim supnAn e inoltre lim sup
n
An=
∞
\
n=n0
An=
∞
\
n=n0
∞
[
k=n
Ak, ∀n0 ∈ N . Analogamente, posto An:=T
k≥nAk, si mostri che An↑ lim infnAn e si deduca che lim inf
n An=
∞
[
n=n0
An=
∞
[
n=n0
∞
\
k=n
Ak, ∀n0∈ N . (c) Si mostrino le seguenti relazioni:
lim sup
n
An
c
= lim inf
n Acn,
lim inf
n An
c
= lim sup
n
Acn, lim sup
n
(An∪ Bn) = (lim sup
n
An) ∪ (lim sup
n
Bn) , lim inf
n (An∩ Bn) = (lim inf
n An) ∩ (lim inf
n Bn) . (d) Si mostri che lim infnAn⊆ lim supnAn. Si dia un esempio in cui l’inclusione è stretta.
(e) Si mostri che se la successione di eventi (An)n∈N è crescente (An ⊆ An+1 per ogni n ∈ N) o decrescente (An⊇ An+1 per ogni n ∈ N) allora lim supnAn= lim infnAn. (f) Indichiamo con 1A: Ω → R la funzione indicatrice di un insieme A ∈ P(Ω), definita
da 1A(x) = 1 se x ∈ A mentre 1A(x) = 0 se x 6∈ A. Si mostri che 1lim supnAn = lim sup
n
1An, 1lim infnAn = lim inf
n 1An.
Esercizio 8 (Formula di inclusione-esclusione). Dato uno spazio di probabilità (Ω, A, P), siano A1, A2, . . . , An∈ A eventi. Si mostri che
P(A1∪ A2∪ · · · ∪ An) =
n
X
k=1
X
J ⊆{1,2,...,n}
tali che |J |=k
(−1)k+1 P \
i∈J
Ai
!
. (0.1)
