1. Considera l’equazione z

ESERCIZI DI MATEMATICA

1. Considera l’equazione z

− 4z − 5 = 0, dove z ∈ C.

(a) mostra che (z − 2)

− 9 = 0 ⇐⇒ [(z − 2) − 3] [(z − 2) + 3] = 0

(b) da quanto trovato nel punto (a) deduci le soluzioni dell’equazione iniziale.

2. Risolvi in C le equazioni:

(a) z +

= 1 (b) 4z

+ 4z + 1 = 0

3. Sia z un numero complesso diverso da 1 e sia M il suo corrispondente nel piano complesso. Determina il luogo dei punti M tali che

sia:

(a) un numero reale;

(b) un numero immaginario puro.

4. Trova la rappresentazione geometrica dell’insieme di punti P corispondenti ai numeri complessi z tali che:

|z − 2i| = |z + 2 − 3i|

5. Sia z

= 1 + i e sia f un’applicazione in campo complesso:

f (z) = 2iz (a) trova i punti fissi per f ;

(b) se P

è il punto del piano complesso associato a z

, trova z

= f (z

) e sia P

il punto associato a z

. Che tipo di triangolo è P

OP

? Argomenta la risposta.

6. Come per i numeri reali, anche per i numeri complessi vale l’uguaglianza a

− b

= (a − b)(a

+ ab + b

) (a) risolvi in C l’equazione z

= 8;

(b) siano a = 2, b = −1 + i √

3 e c = −1 − i √

3 tre numeri complessi e siano rispettivamente A, B e C i punti ad essi associati nel piano complesso. Sia r la rotazione di centro A e di angolo

e r

la rotazione di centro A e di angolo −

. Sia B

= r

(B) e C

= r(C) e siano b

e c

i numeri complessi associati a B

e a C

; mostra che b

= 2 + √

3 + 3i e che b

e c

sono complessi coniugati;

(c) siano M, N, P e Q i punti medi rispettivamente dei segmenti BC, BB

, B

C

e CC

, e siano m, n, p e q i punti ad essi associati; mostra che n =

√ 3 2

1 + i √

3

(d) da quanto osservato nel punto precedente dimostra che i punti O,N e C sono allienati;

(e) mostra che n + 1 = i(q + 1); cosa se ne può dedurre in relazione al triangolo MNQ?

(f) mostra che il quadrilatero MNPQ è un quadrato.