BB  $B  &#34

(1)

COMPITI DI MATEMATICA GENERALE AA. 2010/11 Prova Intermedia Anno 2010-Compito 

1) Data la funzione , determinare il valore dei

log 0 B œ

"

#  " À B  ! 7B  ; À ! Ÿ B Ÿ $

B  " À $  B ÚÝ

Ý ÛÝ ÝÜ

Œ 

B

parametri e in modo tale che la funzione risulti continua su tutta la retta reale, e se ne7 ; $

disegni poi il grafico.

2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

#

BÄ∞

$

# %

É^$ "  B  "

B à #B  &  BB  $B  "

sen .

3) Date le funzioni 0 B œ B  " e 1 B œlog B, determinare l'espressione delle funzioni

B  # ^$

composte 0 1 B e 1 0 B , e di queste determinare poi l'espressione dell'inversa.

4) Determinare il campo d'esistenza della funzione 0 B œÈ$ log_# B  " ÈB  #, determinando poi i suoi punti di frontiera.

5) Date le quattro generiche proposizioni , , e , determinare i casi di verità e di falsità  ‚ ƒ della proposizione Ê 898 / 898‚Íƒ sapendo che la proposizione Í risulta vera.

6) Disegnare un possibile grafico per un funzione che soddisfi entrambe le seguenti definizioni di limite:

a) a  ! b& $ & À B  " k k $ & Ê 0 B  # k k &; b) a& b$ & À B $ & Ê 0 B  &.

7) Data la funzione 0 B œ B  " se ne determinino gli eventuali asintoti al grafico nonchè B

#

la specie dei suoi punti di discontinuità.

Prova Intermedia Anno 2010-Compito 

1) Data la funzione 0 B œ , determinare il valore dei parametri 7

#  # À B  ! 7B  ; À ! Ÿ B Ÿ # B  % À #  B Ú

ÛÜ

B

#

e in modo tale che la funzione risulti continua su tutta la retta reale, e se ne disegni poi il; grafico.

lim lim

BÄ! BÄ!

$ #

#

log sen

arctg"  B B  $B  $B.

B à B  #B

3) Date le funzioni 0 B œ # e 1 B œ B  $ , determinare l'espressione delle funzioni B  "

B

4) Determinare il campo d'esistenza della funzione log , determinando 0 B œ log"!  B

#  _$ B  "

poi i suoi punti di frontiera.

5) Date le quattro generiche proposizioni , , e , determinare i casi di verità e di falsità  ‚ ƒ della proposizione Í 898‚ 9 898ƒÊ sapendo che la proposizione ‚Íƒ risulta vera.

(2)

a) a  ! b& $ & À B k k $ & Ê 0 B  " k k &; b) a& b$ & À B $ & Ê 0 B  &.

7) Data la funzione 0 B œ B  " se ne determinino gli eventuali asintoti al grafico nonchè B  "

#

la specie dei suoi punti di discontinuità.

Prova Intermedia Anno 2010-Compito ‚

1) Data la funzione 0 B œ , determinare il valore dei parametri

"  B À B   "

7B  ; À  " Ÿ B Ÿ "

"

B À "  B ÚÝ

Ý ÛÝ ÝÜ

#

7 ; e in modo tale che la funzione risulti continua su tutta la retta reale, e se ne disegni poi il grafico.

lim lim

BÄ!

B $

B BÄ∞ #

$  " B  B  (

#  " à #B  B  "

arcsen

.

3) Date le funzioni 0 B œlog B e 1 B œ B  $, determinare l'espressione delle funzioni B  #

#

4) Determinare il campo d'esistenza della funzione 0 B œ log_# " log_$ $  B , determinando poi i suoi punti di frontiera.

5) Date le quattro generiche proposizioni , , e , determinare i casi di verità e di falsità  ‚ ƒ della proposizione 9 898ƒ Ê ‚Í 898 sapendo che la proposizione ‚Í risulta vera.

a) a  ! b& $ & À B  # k k $ & Ê 0 B  " k k &; b) a& b$ & À B $ & Ê 0 B  &.

7) Data la funzione 0 B œ B  B  " se ne determinino gli eventuali asintoti al grafico B  "

#

nonchè la specie dei suoi punti di discontinuità.

Prova Intermedia Anno 2010-Compito ƒ

1) Data la funzione , determinare il valore dei parame-

log 0 B œ

"

B À B   "

7B  ; À  " Ÿ B Ÿ # B  # À #  B

ÚÝ ÛÝ

Ü _#

tri e in modo tale che la funzione risulti continua su tutta la retta reale, e se ne disegni poi7 ; il grafico.

lim lim

BÄ! BÄ!

# $ #

%

sen

cosB B  B  B.

"  B à B  $B

3) Date le funzioni 0 B œ B  " e 1 B œ $ , determinare l'espressione delle funzioni B  #

B

(3)

4) Determinare il campo d'esistenza della funzione log , 0 B œ "  "  B

Ê B^$_#

determinando poi i suoi punti di frontiera.

5) Date le quattro generiche proposizioni , , e , determinare i casi di verità e di falsità  ‚ ƒ della proposizione 898Ê 898ƒ Í 898 ‚/ sapendo che la proposizione Íƒ risulta vera.

a) a  ! b& $ & À B  " k k $ & Ê 0 B k k &; b) a& b$ & À B $ & Ê 0 B  &.

7) Data la funzione 0 B œ B  #B  " se ne determinino gli eventuali asintoti al grafico B

#

nonchè la specie dei suoi punti di discontinuità.

Prova Intermedia Anno 2010-Compito „

1) Data la funzione 0 B œ log$  # À B  ", determinare il valore del parame- B  "  5 À " Ÿ B

œ ^B

$

tro in modo tale che la funzione risulti continua su tutta la retta reale, e se ne disegni poi il5 grafico.

lim lim

BÄ!

# $

& BÄ∞

arctg B

log B "  $B .

"  B à Œ#  &B

3) Date le funzioni 0 B œlog B 1 B œ, B  " e 2 B œ $ , determinare l'espressione B  #

#

B

della funzione composta 0 1 2 B e di questa determinare poi l'espressione dell'inversa.

4) Determinare il campo d'esistenza della funzione 0 B œ log *  $^B È%  B^#, determinando poi se sia aperto o chiuso e i suoi punti di frontiera.

5) Costruire le tavole di appartenenza dell'insieme ∪V  Ï ∩‚ , sapendo che co- munque il generico elemento B − ∪.

6) Disegnare un possibile grafico per un funzione che soddisfi entrambe le seguenti definizioni di limite:

a) a b& $ & À !  B  " k k $ & Ê 0 B &; b) a  ! b& $ & À B $ & Ê 0 B  " k k &. 7) Determinare se e dove risulta:

a) senB œ 9 B  " à b) B  " µ B  "^# .

Prova Intermedia Anno 2010-Compito …

1) Data la funzione 0 B œ log# À B  #, determinare il valore del parametro in5 B  5 À # Ÿ B



B"

"

$

modo tale che la funzione risulti continua su tutta la retta reale, e se ne disegni poi il grafico.

lim lim

BÄ!

#

# BÄ∞

"  B  B #B  " B

B à B  (

cos Œ  .

3) Date le funzioni 0 B œ # , 1 B œ B  " e 2 B œ log B, determinare l'espressione B  $

B

$

(4)

4) Determinare il campo d'esistenza della funzione 0 B œ ÈB  % ^# log "  $^B , determinando poi se sia aperto o chiuso e i suoi punti di frontiera.

5) Costruire le tavole di appartenenza dell'insieme V  ∩ Ï ∪‚ , sapendo che co- munque il generico elemento B Â ∩‚.

a) a b& $ & À !  B  " k k $ & Ê 0 B &; b) a  ! b& $ & À B $ & Ê 0 B  " k k &. 7) Determinare se e dove risulta:

a) cosB œ 9 B  " à b) B  # µ $B  ".

Prova Intermedia Anno 2010-Compito †

1) Data la funzione , determinare il valore del para-

0 B œ log#  " À B   "

B  %  5 À  " Ÿ B œ ^B

#

metro in modo tale che la funzione risulti continua su tutta la retta reale, e se ne disegni poi5 il grafico.

lim lim

BÄ! BÄ∞

È È B

Œ 

B  "  B  " $B  &

B à %B  &

$

.

3) Date le funzioni 0 B œlog B 1 B œ, B  $ e 2 B œ # , determinare l'espressione B  #

$

B

4) Determinare il campo d'esistenza della funzione 0 B œ È*  B ^# log $  $^B , determinando poi se sia aperto o chiuso e i suoi punti di frontiera.

5) Costruire le tavole di appartenenza dell'insieme ∪V  Ï ∩‚ , sapendo che co- munque il generico elemento B − ∪‚.

a) a b& $ & À !  B  " k k $ & Ê 0 B &; b) a  ! b& $ & À B $ & Ê 0 B  " k k &. 7) Determinare se e dove risulta:

a) senB œ 9 B  # à b) B  # µ B  B  #^# ^# .

Prova Intermedia Anno 2010-Compito ‡

1) Data la funzione 0 B œ log$  " À B   ", determinare il valore del para- B  %  5 À  " Ÿ B



B#

"

#

metro in modo tale che la funzione risulti continua su tutta la retta reale, e se ne disegni poi5 il grafico.

lim lim

BÄ! # BÄ∞

cos cos B

B  #B "  $B .

B à Œ#B  $

3) Date le funzioni 0 B œ $ , 1 B œ B e 2 B œ log B, determinare l'espressione B  "

B

#

4) Determinare il campo d'esistenza della funzione 0 B œ log %  #^B ÈB  *^# , determinando poi se sia aperto o chiuso e i suoi punti di frontiera.

(5)

5) Costruire le tavole di appartenenza dell'insieme V ‚ ∩ Ï ∪ , sapendo che co- munque il generico elemento B Â ∩‚.

a) a b& $ & À !  B  " k k $ & Ê 0 B &; b) a  ! b& $ & À B $ & Ê 0 B  " k k &. 7) Determinare se e dove risulta:

a) cosB œ 9 B  # à b) B  & µ #B  ".

I Appello Sessione Invernale 2011 - Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlog^#B  #logB  ". 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

%

# BÄ∞

$ B #

B $

log

cos log .

sen ˆ"  B ‰

"  B à B  /  "  B

#  $ B  B

3) Disegnare un possibile grafico per una funzione che soddisfi le seguenti condizioni:

a) ha per asintoto obliquo sulla sinistra la retta di equazione C œ B  "; b) a b& $ & À !  B  " k k $ & Ê 0 B &;

c) ha per asintoto orizzontale sulla destra la retta di equazione C œ  ".

4) Date le funzioni 0 B œ "  B e 1 B œ # , determinare dove risulta invertibile, dominio B  "

B

e codominio nonchè l'espressione dell'inversa della funzione composta 0 1 B . 5) Determinare tutte le primitive della funzione 0 B œ " sen arctgB .

"  B^#

6) Data 0 Bß C œ B  " #B  $C C  # , se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

7) Data œ , —œ e ˜œ , determinare il val

5 " " "  "

" 5 " $ "

" " 5  " "

â â â â â â

â â â â â â ore del para-

metro per il quale il vettore 5  —† risulta perpendicolare al vettore .˜

8) Data 0 B œlogˆ"  B^#‰ /^#B, si determini l'espressione del polinomio di MacLaurin di III grado della funzione.

9) Determinare i punti di massimo e di minimo, sia assoluti che relativi, per la funzione 0 B œ B  &B  #^& ^% nell'intervallo c d!ß &.

10) Determinare quando risulta falsa la proposizione Ê / ‚Ê nell'ipotesi che la proposizione Ê‚ risulti vera.

I Appello Sessione Invernale 2011 - Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlog^#B  logB  #. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

$ # B %

$ BÄ∞ B $ #B

"  B  " %  B  B

B à $  B  #

sen cos .

a) ha per asintoto orizzontale sulla sinistra la retta di equazione C œ !; b) a b& $ & À !  B k k $ & Ê 0 B &;

c) ha per asintoto obliquo sulla destra la retta di equazione C œ "  B.

(6)

4) Date le funzioni 0 B œ "  B e 1 B œ $ , determinare dove risulta invertibile, dominio

"  B

B

e codominio nonchè l'espressione dell'inversa della funzione composta 0 1 B . 5) Determinare tutte le primitive della funzione 0 B œ " cos " .

B^# B

6) Data 0 Bß C œ "  C $B B  #  #C , se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

7) Data œ , —œ e ˜œ , determinare il val

" " 5 " "

" 5 "  " "

5 " " $  "

â â â â â â

â â â â â â ore del para-

8) Data 0 B œ log "  B  /^B, si determini l'espressione del polinomio di MacLaurin di III grado della funzione.

9) Determinare i punti di massimo e di minimo, sia assoluti che relativi, per la funzione 0 B œ $B  %B  $^% ^$ nell'intervallo c "ß #d.

10) Determinare quando risulta falsa la proposizione Ê‚ / ‚Ê nell'ipotesi che la proposizione Ê risulti vera.

I Appello Sessione Invernale 2011 - Compito ‚

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlog^#B  #logB  ". 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

% $ B

# BÄ∞ B %

sen log

cos .

sen

B B  /  "  B

"  B à

#  B  B

a) ha per asintoto obliquo sulla sinistra la retta di equazione C œ #  B; b) a b& $ & À !  B  " k k $ & Ê 0 B &;

c) ha per asintoto orizzontale sulla destra la retta di equazione C œ ".

4) Date le funzioni 0 B œ #  B e 1 B œ # , determinare dove risulta invertibile, dominio B  "

B

e codominio nonchè l'espressione dell'inversa della funzione composta 0 1 B . 5) Determinare tutte le primitive della funzione 0 B œ /^Bcos/^B.

6) Data 0 Bß C œ B $C C  #  # B  " , se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

7) Data œ , —œ e ˜œ , determinare il va

" " 5  " "

5 " " $  "

" 5 " "  "

â â â â â â

â â â â â â lore del para-

8) Data 0 B œ log "  #B  /^$B, si determini l'espressione del polinomio di MacLaurin di III grado della funzione.

9) Determinare i punti di massimo e di minimo, sia assoluti che relativi, per la funzione 0 B œ %B  &B  $^& ^% nell'intervallo c #ß #d.

10) Determinare quando risulta falsa la proposizione ‚Ê / Ê‚ nell'ipotesi che la proposizione  9 risulti vera.

I Appello Sessione Invernale 2011 - Compito ƒ

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlog^#B  logB  #.

(7)

lim lim

BÄ!

#

BÄ∞

B $

B % #

"  B  " /  B  B

B à $  B  B

sen cos

tg sen .

a) ha per asintoto orizzontale sulla sinistra la retta di equazione C œ  "; b) a b& $ & À !  B  # k k $ & Ê 0 B &;

c) ha per asintoto obliquo sulla destra la retta di equazione C œ B  #.

4) Date le funzioni 0 B œ B  " e 1 B œ $ , determinare dove risulta invertibile, dominio B  #

B

e codominio nonchè l'espressione dell'inversa della funzione composta 0 1 B . 5) Determinare tutte le primitive della funzione 0 B œ " sen log .B

6) Data 0 Bß C œ C  " $B B  #  # C  # , se ne determinino gli eventuali punti diB massimo e/o minimo relativo.

7) Data œ , —œ e ˜œ , determinare il va

5 " " $  "

" " 5 " "

" 5 "  "  "

â â â â â â

â â â â â â lore del para-

8) Data 0 B œ #/^Blog "  B , si determini l'espressione del polinomio di MacLaurin di III grado della funzione.

9) Determinare i punti di massimo e di minimo, sia assoluti che relativi, per la funzione 0 B œ B  %B  #^% ^$ nell'intervallo c %ß "d.

10) Determinare quando risulta falsa la proposizione Ê / ‚Ê nell'ipotesi che la proposizione  ‚9 risulti vera.

II Appello Sessione Invernale 2011 - Compito  1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^#B /  '^B . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! $ BÄ∞

"B

log sen

sen"  B Œ"  $B .

"  B  "à

"  #B

a) a  ! b& $ & À B $ & Ê 0 B  " k k &;

b) presenta un punto di discontinuità di II specie in B œ !; c) a b& $ & À B $ & Ê 0 B &.

4) Verificare se e dove la retta tangente al grafico della funzione 0 B œ B  $B  #^$ ^# risulta perpendicolare alla retta di equazione C œ #B  ".

5) Data 0 B œ $  /^{B $}, si determini in quali intervalli la funzione risulta convessa ed i suoi punti di flesso.

6) Data 0 B œ B † #^$ ^B", si determini l'espressione del polinomio di Taylor di II grado di tale funzione nel punto B œ ".

7) Calcolare ( d .

!

"

B $

B /  B B

8) Determinare i valori dei parametri e in modo che il vettore 7 5 "ß 7ß 5 risulti parallelo al vettore #ß $ß % , e si determini quindi il suo modulo.

9) Dati tre insiemi , e , sapendo per ipotesi che   ‚ ‚§ e che ∩œ g, si costrui- scano le tavole di appartenenza dell'insieme ∪ Ï V  ∩‚ , dove .. indica il com-V plementare.

(8)

10) Data 0 Bß Cß D œ B  B C  D^#C ^# cos BD , calcolare il gradiente della funzione nel punto

"ß "ß ! .

II Appello Sessione Invernale 2011 - Compito  1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^#B /  #^B . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! # BÄ∞

B"

"  B "  #B

B à "  $B

cos sen

arctg Œ  .

a) a  ! b& $ & À B $ & Ê 0 B k k &;

b) presenta un punto di discontinuità di I specie in B œ "; c) a b& $ & À B $ & Ê 0 B &.

4) Verificare se e dove la retta tangente al grafico della funzione 0 B œ B  B  #B^# ^$ risulta perpendicolare alla retta di equazione C œ "  $B.

5) Data 0 B œ /  #^B ^$, si determini in quali intervalli la funzione risulta convessa ed i suoi punti di flesso.

6) Data 0 B œ B † $^# ^"B, si determini l'espressione del polinomio di Taylor di II grado di tale funzione nel punto B œ ".

7) Calcolare ( sen d .

! 1

B  B B B

8) Determinare i valori dei parametri e in modo che il vettore 7 5 7ß "ß 5 risulti parallelo al vettore $ß #ß % , e si determini quindi il suo modulo.

9) Dati tre insiemi , e , sapendo per ipotesi che   ‚ §  e che ∩‚œ g, si costrui- scano le tavole di appartenenza dell'insieme ∪‚ Ï V ‚ ∩ , dove .. indica il com-V plementare.

10) Data 0 Bß Cß D œ BC D  C^# sen BC  C^B, calcolare il gradiente della funzione nel punto .!ß "ß "

II Appello Sessione Invernale 2011 - Compito ‚ 1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /  $/^B ^#B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

B

BÄ∞

$  " #  $B B

"  B à "  B

sen^#

cos Œ  .

a) a  ! b& $ & À B $ & Ê 0 B  " k k &;

b) presenta un punto di discontinuità di II specie in B œ #; c) a b& $ & À B $ & Ê 0 B &.

4) Verificare se e dove la retta tangente al grafico della funzione 0 B œ B  #B  "^$ ^# risulta perpendicolare alla retta di equazione C œ  "B  ".

5) Data 0 B œ /  "^B ^&, si determini in quali intervalli la funzione risulta convessa ed i# suoi punti di flesso.

6) Data 0 B œ B †^# log_$B, si determini l'espressione del polinomio di Taylor di II grado di tale funzione nel punto B œ ".

7) Calcolare ( log d .

"

/

B B  B B

(9)

8) Determinare i valori dei parametri e in modo che il vettore 7 5 7ß 5ß " risulti parallelo al vettore "ß $ß # , e si determini quindi il suo modulo.

9) Dati tre insiemi , e , sapendo per ipotesi che   ‚ §‚ e che ∩‚œ g, si costruisca- no le tavole di appartenenza dell'insieme ∪‚ Ï V  ∩ , dove .. indica il comple-V mentare.

10) Data 0 Bß Cß D œ BD  D^# sen BC  C^"D, calcolare il gradiente della funzione nel punto .!ß "ß "

II Appello Sessione Invernale 2011 - Compito ƒ 1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /  #/^B ^#B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

#

# BÄ∞

"  B "  #B #B

" cos B à $  $B

cos Œ  .

a) a  ! b& $ & À B $ & Ê 0 B k k &;

b) presenta un punto di discontinuità di I specie in B œ  "; c) a b& $ & À B $ & Ê 0 B &.

4) Verificare se e dove la retta tangente al grafico della funzione 0 B œ B  B  "^# ^$ risulta perpendicolare alla retta di equazione C œ "B  ".

5) Data 0 B œ /  #^B ^%, si determini in quali intervalli la funzione risulta convessa ed i$ suoi punti di flesso.

6) Data 0 B œ B †^$ log_#B, si determini l'espressione del polinomio di Taylor di II grado di tale funzione nel punto B œ ".

7) Calcolare ( cos d .

! 1

B  B B B

8) Determinare i valori dei parametri e in modo che il vettore 7 5 5ß "ß 7 risulti parallelo al vettore #ß #ß " , e si determini quindi il suo modulo.

9) Dati tre insiemi , e , sapendo per ipotesi che   ‚ ‚§ e che ∩œ g, si costruisca- no le tavole di appartenenza dell'insieme ∪‚ Ï V  ∩‚ , dove .. indica il comple-V mentare.

10) Data 0 Bß Cß D œ BCD  D  B^$ ^B sen BD , calcolare il gradiente della funzione nel punto

!ß "ß " .

Appello Sessione Straordinaria I 2011 1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B /^B^#. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! BÄ∞

# $ B

%

"  B  B $B  #B  /  B

B à B  B

sen cos sen

log .

3) Determinare l'espressione del Polinomio di MacLaurin di III grado per la funzione 0 B œ /^$B /^#B /^B.

4) Date le matrici œ " # e œ "  " determinare se esiste una matrice ‚

" $  " "

ºº ºº ºº ºº

tale che  ‚† œ.

5) Calcolare ( d .

!

"B  $ B  " B

(10)

a) lim e ;lim

BÄ∞0 B œ  " BÄ∞0 B œ  ∞ b) ha in B œ # un punto di discontinità di I specie;

c) ha in B œ  " un punto di cuspide.

7) Date le proposizioni:

 À #%')" è un numero pari;

Àun cerchio di diametro ha area pari a ;% %1

‚ Àin un rettangolo, se la base è doppia dell'altezza ed il perimetro è , allora l'area del") rettangolo è pari a ;")

dopo aver valutato verità o falsità di ciascuna proposizione, costruire la tavola (riga) di verità della proposizione Ê Í ‚Ê .

8) Data 0 Bß C œ B C  B  C^# ^# , determinare la natura dei suoi punti stazionari.

9) Data 0 B œ B  5 /^B, determinare se essa possa avere, al variare del parametro , punti5 di massimo, relativo o assoluto, e determinare poi il valore del parametro per il quale ha un5 punto di minimo in B œ  #.

10) Determinare massimi e minimi, relativi e assoluti, per la funzione 0 B œ B /^{# B} nell'intervallo .c #ß "d

I Appello Sessione Estiva 2011

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B  " /ˆ ^# ‰ ^B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

B B

BÄ∞

&  % "  "$B B

"  B à "  "#B

log Œ  .

3) Data la matrice œ " ' si determini almeno un versore tale che•

' #

»» È »»

È

 •† œ •.

4) Calcolare ( d .

!

"

B"

B / B

5) Data 0 Bß Cß D œ B /^{# CB} D ^# sen , si calcoli C f0 !ß !ß ! .

6) Data la funzione 0 B œ / B Ÿ !, determinare i valori dei parametri e che7 5 7B  ; B  !

œ ^#B

rendono la funzione continua e derivabile a B − ‘.

7) Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo, relativo e assoluto, per la funzione log 0 B œ B B nell'intervallo c d"ß #.

8) Date le funzioni 0 B œ 7B  5B^# e 1 B œ B^#, si determini se esistono valori dei parametri e per i quali risulti 7 5 0 B µ 1 B oppure 0 B œ 9 1 B sempre per B Ä  ∞. 9) Determinare le tavole di verità della proposizione c Í 9 Í‚ dÊ Í‚ nel- l'ipotesi che la proposizione  ‚9 sia vera.

10) La funzione 0 B œ B  $B  "^# ha, per un incremento pari a !ß &, un differenziale pari a

$. In quale punto è stato calcolato il differenziale ?

II Appello Sessione Estiva 2011

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B ^# log B Þ 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

(11)

lim lim

BÄ!

# B # B

# BÄ∞ #

#  B  B #  B  $

B à B

cos cos

.

3) Date le funzioni 0 B œ B^$ e 1 B œ "  /^B, determinare l'espressione della funzione composta 0 1 B , dove questa risulta invertibile, suoi dominio e codominio nonchè l'espressione della sua inversa.

4) Data 0 B œ B  $B  5B  7^$ ^# , sapendo che essa ha un punto di minimo relativo in B œ % e che 0 % œ ", si determini il valore di e di .5 7

5) Calcolare ( d .

!

"B  B  B  "$ #

B  " B

6) Verificare che i punti stazionari della funzione 0 Bß C œ B C  BC^# non sono nè di massimo nè di minimo.

7) Dato il vettore — œ "ß 7ß 5 , determinare i valori di e di per i quali tale vettore7 5 risulta perpendicolare al vettore "ß  "ß # e di modulo pari a È$.

8) Determinare l'equazione della retta tangente al grafico della funzione 0 B œ Blog^#B nel punto B œ / e determinare poi il punto in cui tale retta tangente taglia l'asse delle ascisse.

9) Disegnare il grafico della funzione 0 B œ , e determinare gli

/ À B  !

" À ! Ÿ B Ÿ "

B  " À "  B Ú

ÛÜ

B

$

eventuali punti in cui la funzione risulti discontinua oppure non derivabile.

10) Applicare alla funzione 0 B œ /^B il Teorema di Lagrange sulle funzioni derivabili nel- l'intervallo c "ß "d, traendo poi le opportune conseguenze.

I Appello Sessione Autunnale 2011

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ "  Bˆ ^#‰/^B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

#

# BÄ!



B  B  B "  B

B log B  "sen à log " senB

log log tg .

3) Data 0 B œ "  B^#, determinare il punto nel quale la retta tangente al grafico dellaB_"

funzione risulta parallela alla retta C œ $B  # ed il punto nel quale la retta tangente alB_# grafico della funzione risulta perpedicolare alla retta C œ #B  $.

4) Verificare se le due proposizioni Í Ê‚ e Í Ê‚ sono o no logicamente equivalenti.

5) Date le matrici œ , œ ed il vettore —œ

"  " # " " "

! # " " !  "

" ! # # " !

â â â â â â

â â â â â

â â â â

â â â â â ââ â

ââââ

"

5

"

, determinare se per qualche valore del parametro il vettore 5   —† † può essere parallelo al vettore ˜ œ .

$

"

$

â â

â ââ â â ââ â â ââ â

6) Calcolare log d . ("

/"  B

B B

7) Data 0 Bß C œ B /^{# CB} Clog B  C , calcolare f0 "ß " .

8) Data 0 B œ #B  $B  "^$ ^# , determinare il suo massimo ed il suo minimo assoluti nell'intervallo .c "ß #d

9) Date 0 B œ /^B e 1 B œ "  B^#, dire se e dove può risultare 0 B µ 1 B e se e dove può risultare 0 B œ 9 1 B .

(12)

10) Disegnare un possibile grafico di una funzione che presenti:

a) un asintoto orizzontale sulla sinistra;

b) un asintoto obliquo sulla destra;

c) un asintoto verticale in B œ !;

d) un punto di discontinuità di I specie in B œ #.

II Appello Sessione Autunnale 2011

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ "  B log "  B . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

#

B BÄ∞ #

# B

Œ 

"  B  " "  B  B

/  " à $B  B .

3) Determinare il valore del parametro per cui risulta: sen .

5 log $B œ &

"  5B

BÄ!lim 4) Calcolare ( d .

!

" B B

/ /  " B

5) Verificare che la funzione 0 Bß C œ BC  #BC  C^# non ammette punti di massimo o minimo relativo.

6) Date le funzioni 0 B œ #^B e 1 B œlog "  B , determinare l'espressione della funzione composta 1 0 B , dove questa risulta invertibile, suoi dominio e codominio nonchè l'espressione della sua inversa.

7) Data la matrice œ ed il vettore —œ , determinare i valori del

"  " # 5

# ! # "

 " # ! 5

â â â â

parametro per i quali il vettore 5  —† risulta rispettivamente perpendicolare al vettore

˜_" œ ˜_# œ

# %

" )

# #

â â â â

â â e parallelo al vettore â â .

8) Dopo aver determinato le tavole di verità della proposizione c  9 ÍdÊ  / , si determini se tale proposizione è vera o falsa nel caso che sia:

 1

À $ è un numero razionale;

 À È27 è un numero irrazionale.

9) Disegnare un possibile grafico di funzione che soddisfi alle seguenti due definizioni di limite:

a) a b& $ & À B $ & Ê 0 B &;

b) a  ! b& $ & À B $ & Ê 0 B  " k k &.

10) Trovare i primi quattro termini del polinomio di McLaurin della funzione 0 B œ B /^B^#. Appello Sessione Straordinaria II 2011

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B  $^$ log .B

2) Data la funzione 0 B œ B  $^$ log si determinino le equazioni della retta tangente eB della parabola tangente al grafico di tale funzione nel punto B œ ".

lim lim

BÄ∞

B

B BÄ!

B / B

/  Bà tg senB . sen tg

(13)

4) Data log se ne determini il campo d'esistenza nonchè la presenza di even- 0 B œ log"  B

B tuali asintoti.

5) Determinare sotto quali condizioni risulta vero che ∪ ∩œ, dove e sono  due generici insiemi.

6) Calcolare ( d .

"

#

# $

" "

B  B B

7) Data la funzione 0 Bß C œ B  C  $B  #C^$ ^# se ne determinino gli eventuali punti di massimo o minimo relativo.

8) Date le matrici œ "  " "  " , œ #  " ed il vettore —œ B si

" ! ! " # " C

" #

"  #

ºº ºº ºº ºº

â â

determini se il vettore   —† † può essere parallelo al vettore $ß % .

9) Date le funzioni 0 B œ "  B e 1 B œ /^B, si determini l'espressione della funzione composta 0 1 0 B , dove questa risulta invertibile, suoi dominio e codominio nonchè l'e- spressione della sua inversa.

10) Data 0 B œ /^5B /^B si determini se esistono valori del parametro per i quali tale5 funzione ammette un punto di massimo o di minimo relativo in B œ !.