A-Onde e-m.
Prendiamo il sistema di riferimento cartesiano (destrorso) di Figura.
Supponiamo di essere nel vuoto, in assenza di cariche e correnti ( 0 ; J = 0).
Supponiamo ancora che siano presenti unicamente un campo elettrico E , funzione sia delle coordinate spaziali che del tempo (ma che abbia unica componente lungo l’asse Y) e un campo di induzione magnetica B pure funzione sia delle coordinate spaziali che del tempo (ma che abbia unica componente lungo l’asse Z); siano cioè :
E( , , ; )x y z t E.j cioè EX = EZ = 0 [1]
B( , , ; )x y z t B.k cioè BX = BY = 0
Cerchiamo a quali condizioni supplettive questo E e questo B devono soddisfare affinché essi siano soluzione delle equazioni di Maxwell.
Facendo riferimento alla forma differenziale di queste, nel nostro caso esse divengono:
div div
E B
0 0
rot t
rot t
E B
B E
0 0
ricordiamo: per ipotesi sono 0 ; J = 0 . [2]
Esplicitando la divergenza di E e di B (e cancellando i termini uguali a zero per le ipotesi [1]) :
E
x E
y E
z
X Y Z 0 ovvero E y
Y 0 E è costante al variare della Y [3]
B
x B
y B
z
X Y Z 0 ovvero
B
z
Z 0 B è costante al variare della Z [4]
Esplicitando il rotore di E (e cancellando i termini uguali a zero per le ipotesi [1]) :
E
y E
z
B t
Z Y X ;
E
z E
x
B t
X Z Y ; E
x E
y
B t
Y X Z cioè : [5]
E
z
Y 0 ; 0 = 0 ;
E
x
B t
Y Z : [6]
La prima delle [6] dice che E è costante anche al variare di Z ; insieme alla [3] si conclude che E non dipende né da Y, né da Z cioè è costante nel piano YZ e dipende solo dalla X e, ovviamente, dal tempo t.
La seconda è solo un’identità; la terza dà la dipendenza cercata : la useremo dopo.
Esplicitando il rotore di B (e cancellando i termini uguali a zero per le ipotesi [1]) :
B
y
B z
E t
Z Y 0 0 X ;
B
z
B x
E t
X Z 0 0 Y ;
B
x B
y
E t
Y X 0 0 Z cioè : [7]
B
y
Z 0 ;
B
x
E t
Z Y
0 0 ; 0 = 0 : [8]
La prima delle [8] dice che B è costante anche al variare di Y ; insieme alla [4] si conclude che B non dipende né da Y, né da Z cioè è costante nel piano YZ e dipende solo dalla X e, ovviamente, dal tempo t.
La terza è solo un’identità; la seconda dà la dipendenza cercata : la useremo qui di seguito.
E’ rimasto quindi il sistema:
E
x
B t B
x
E t
Y Z
Z Y
0 0[9]
Ricordando che le sole componenti sono EY = E e BZ = B possiamo anche scrivere
E
x
B t B
x
E t
0 0[10]
Deriviamo la prima rispetto a X e la seconda rispetto a t e otteniamo:
2 2
2
2
0 0 2
2
E x
B t x B
x t
E t
.
[11]Sotto le condizioni di validità del teorema di Schwarz, si può scambiare nella prima delle [11] l’ordine di derivazione delle derivate miste; sostituendo allora il temine comune
2B
x. t dalla prima nella seconda, si ottiene infine:
2 2
0 0 2
2
1 E t
E
x [12]
Analogamente derivando la prima rispetto a t e la seconda rispetto a X otteniamo:
2 2
0 0 2
2
1 B t
B
x [13]
Le [12] [13] costituiscono il sistema a cui il campo E e il campo B (da cui siamo partiti) devono soddisfare per essere soluzione delle equazioni di Maxwell [2].
Si riconosce che [12] e [13] sono le equazioni di un’onda (che si propaga con velocità V 1
0 0
).
Cioè: i campi E e B da cui siamo partiti, per essere soluzioni delle equazioni di Maxwell, devono anche soddisfare l’equazione delle onde: le perturbazioni elettrica e magnetica si propagano per onde (Onde Elettromagnetiche). Maxwell stesso si accorse che la velocità di propagazione V ha valore numerico praticamente uguale al valore allora conosciuto della velocità di propagazione c della luce nel vuoto. Egli stesso avanzò quindi l’ipotesi che le onde luminose fossero di natura elettromagnetica.
La soluzione delle [12] [13] si presenta come:
E f x ct B f x ct
1 2
( )
( )
con c 10 0
[14]
Naturalmente il tipo di funzione f1 e f2 dipende dalle condizioni al contorno.
Si vede dalle [14] che si tratta di onde monodimensionali (cioè funzioni della sola X).
Ipotizzando una soluzione di tipo sinusoidale (si ricordi il teorema di Fourier) le [14] divengono:
E E t kx B B t kx
0 0
sen( )
sen( )
dove rappresenta un eventuale sfasamento fra il campo elettricoe il campo magnetico. Queste relazioni ovviamente devono soddisfare per esempio le [10] perciò, operando le opportune derivate:
E
x E0(k) cos( tkx) e B
t B0 cos( tkx ) che sostituite nella prima delle [10]
danno: E0(k) cos(t kx ) B0cos(t kx Questa uguaglianza deve essere soddisfatta per) ogni x e per ogni t ; ciò comporta che sia 0. Allora, semplificando per cos(t kx ), che diviene fattore comune ai due membri, resta E
B0 k c
0
. [15]
In definitiva la soluzione delle [12] [13] è costituita da un campo elettrico E e da un campo di induzione magnetica B perpendicolari fra loro, in fase, per i cui moduli vale il rapporto [15].
I due campi si propagano sotto forma di un’onda trasversale (E e B sono perpendicolari alla direzione di propagazione: nel nostro esempio l’asse X), piana (i fronti d’onda (1) sono piani normali all’asse X).
La direzione di propagazione e, nell’ordine, i vettori E e B formano una terna destra .
1 Ricordare: si chiama Fronte d’onda la superficie luogo dei punti equifasi.
E e B costituiscono una soluzione delle equazioni di Maxwell e sono quei campi che si “sostengono”
vicendevolmente (secondo la legge di Faraday e la legge di Ampère-Maxwell ) . Naturalmente esistono altre soluzioni per il sistema iniziale: per esempio un campo E parallelo all’asse Z e un campo B parallelo all’asse -Y . E, trattandosi di un sistema lineare di equazioni differenziali, sarà pure soluzione anche una qualunque combinazione lineare di due soluzioni note.
Più in generale per i campi E e B nel vuoto (cariche e correnti nulle) si può scrivere:
rotE Bt
; rot
B Et
0 0 [16]
Prendiamo il rotore della prima delle [16] e (dopo aver scambiato le derivate rispetto alle coordinate spaziali con quelle rispetto al tempo) abbiamo :
rot rot rot
( ) ( t )
E B
Elaboriamo il primo membro e contemporaneamente sostituiamo rotB nel secondo:
grad div t
( ) t
( )
E E
E
2
0 0 da cui, essendo per ipotesi divE = 0 , abbiamo infine
2 0 0
2
E E2
t che è ancora l’equazione delle onde (nello spazio cioè per le tre componenti di E ) . Operazioni analoghe si possono compiere sulla seconda delle [16] ottenendo una analoga equazione per B.
