Le quattro equazioni di Maxwell

Le quattro equazioni di Maxwell

Di Silipo Serena 4B

A.S. 2016/2017 LICEO SCIENTIFICO E.MAJORANA

PRO.SSA CINZIA VITTORIA

INTRODUZIONE

A conclusone di tutti i concetti sviluppati nell’ambito dei fenomeni elettrici e magnetici, riportiamo queste equazioni, note come equazioni di Maxwell, fondamentali per lo studio dei fenomeni meccanici. La teoria sviluppata da Maxwell, infatti, fu di maggior portata di quanto egli stesso potesse immaginare, poiché le sue equazioni si dimostrano in accordo con la teoria della relatività speciale, come fu dimostrato da Einstein nel 1905.

Le equazioni di Maxwell non solo pongono in veste formalmente elegante le leggi dell’elettricità e del magnetismo, ma hanno anche molte importanti conseguenze. Vedremo che queste equazioni predicono l’esistenza delle onde elettromagnetiche (onde composte di campi elettrici e magnetici), che si propagano nello spazio con una velocità c = 3x10^8 m/s, la velocità della luce. La teoria dimostra anche che queste onde vengono irradiate dalle cariche elettriche accelerate.

LE QUATTRO EQUAZIONI DI MAXWELL:

PRIMA EQUAZIONE DI MAXWELL

LEGGE DI GAUSS PER IL CAMPO ELETTRICO

La prima equazione di Maxwell è la legge di Gauss, che dice che il flusso del campo elettrico attraverso la superficie chiusa è uguale alla carica contenuta all’interno della superficie divisa per

Questa legge lega il campo elettrico alla distribuzione

di carica; le linee di campo hanno origine dalle

cariche positive e terminano su quelle negative.

ILLUSTRAZIONE OPERATIVA DELLA RPIMA LEGGE DI MAXWELL

Q +

Consideriamo una carica puntiforme Q

posta al centro di una sfera di raggio r

come in figura. Dalla legge di Coulomb

sappiamo che l’intensità di campo

elettrico ovunque sulla superficie della

sfera è E = kq/r^2. Inoltre, le linee di

forza del campo sono radiali e hanno

verso uscente, quindi sono

perpendicolari alla superficie in ogni

punto. Cioè, in ogni punto, E è parallelo

al vettore A che rappresenta l’elemento

locale di area A.

Quindi: E ∆A

= E

∆ A

=E ∆ A

Il flusso totale attraverso la superficie gaussiana è dato da

Poiché E è costante sulla superficie e dato da E= kq/r^2. Inoltre per una superficie gaussiana sferica

, dA = A= 4

Quindi il flusso totale attraverso la superficie gaussiana è

Ricordando che K=1/4πε possiamo scrivere Ф=q/ε

SECONDA EQUAZIONE DI MAXWELL

LEGGE DI GAUSS PER IL MAGNETISMO

Per la seconda equazione di Maxwell deve essere considerata la legge di Gauss per il magnetismo, che dice il flusso magnetico

attraverso una superficie chiusa è sempre nullo, cioè il numero di linee di campo entranti in un volume limitato è sempre uguale al numero di linee di campo che escono dallo stesso volume. Questo implica che le linee di campo magnetico non hanno origine né fine in alcun punto. Se così non fosse, questo richiederebbe l’esistenza, in questi punti, di monopoli magnetici isolati, ed il fatto che questi monopoli non siano stati a tutt’oggi osservati può essere

considerato come una conferma delle validità dell’ equazione.

ILLUSTRAZIONE OPERATIVA DELLA SECONDA LEGGE DI MAXWELL

Q+

Q-

N S

TERZA EQUAZIONE DI MAXWELL LEGGE DI FARADAY

La terza equazione di Maxwell è la legge di Faraday dell’

induzione elettromagnetica, che descrive la relazione fra un

capo elettrico ed un flusso magnetico variabile. Questa legge

dice che l’integrale di linea del campo elettrico su un percorso

chiuso (che è uguale alla f.e.m) è uguale alla derivata rispetto al

tempo del flusso magnetico attraverso una qualsiasi superficie

limitata da quel percorso col segno cambiato. Una delle

conseguenze della legge di Faraday è la corrente indotta in una

spira conduttrice posta in un campo magnetico variabile.

LEGGE DI FARADAY-NEUMANN-LENZ.

Analizziamo il meccanismo di una corrente indotta.

Consideriamo una sbarra metallica in movimento

con velocità costante in un campo magnetico

uniforme nello spazio e costante nel tempo. La prima

delle figure seguenti mostra una sbarra che si muove

verso destra, in direzione perpendicolare alla propria

lunghezza, e che è immersa in un campo magnetico

perpendicolare alla sbarra con verso uscente dallo

schermo.

Gli elettroni di conduzione della sbarra, in aggiunta ai loro moti casuali, si spostano tutti assieme verso destra con la stessa velocità della sbarra; quindi risentono di

una forza di Lorentz =e v X B che li spinge verso l’alto. Questi

elettroni si accumulano all’estremità superiore della sbarra, che diventa

elettricamente negativa mentre l’estremità inferiore diventa positiva.

Man mano che le cariche di diverso segno si separano tra le due estremità, all’interno della sbarra si crea un campo

elettrico orientato verso l’alto, di intensità crescente. Gli elettroni subiscono allora la forza elettrica =-eE verso il basso, che contrasta . Quando

il modulo di giunge a uguagliare quello , le due forze si compensano.

+

+ +

Il sistema giunge così a uno stato di equilibrio, in cui la separazione delle cariche si

interrompe. Da allora in poi le cariche elettriche presenti alle estremità della sbarra, uguali in modulo e opposte in segno, si mantengono costanti. Ugualmente, resta costante la

differenza di potenziale elettrico che si è stabilita tra le due estremità.

i Che cosa cambia se la sbarra si muove a contatto con un filo conduttore a forma

di U fermo nel campo magnetico?

Gli elettroni che si spostano verso l’alto attraverso la sbarra non si accumulano i più all’estremità superiore della sbarra,

ma si muovono ininterrottamente lungo

il filo, cioè danno origine a una corrente c

elettrica continua. Dunque, una sbarra

conduttrice in moto in un campo magnetico si comporta come un generatore di forza elettromotrice. La corrente che questo particolare generatore fa scorrere nel circuito è una corrente indotta. La figura mostra che tale corrente è legata a una variazione del flusso del campo magnetico. Infatti, poiché la sbarra si avvicina al lato opposto del circuito, il flusso diminuisce continuamente

La legge di Faraday-Neumann, mette in relazione con la rapidità con cui varia il flusso del campo magnetico attraverso la superficie delimitata dal circuito. Per cui abbiamo:

questa formula si dimostra in modo elementare nel caso in cui una sbarra metallica di lunghezza l muove con una velocità costante ѵ, restando a contatto con un filo fermo, sagomato a forma di U.

Calcolo della variazione di flusso

Il campo magnetico B è perpendicolare alla superficie delimitata dal circuito.

Si indica con A l’area della superficie:

Ф(B)= BA

In un dato intervallo di tempo ∆t, mentre la sbarra si muove verso destra, l’area A si restringe, cioè subisce una variazione ∆A negativa. In valore assoluto, ∆A è uguale all’ area spazzata in ∆t dalla sbarra di lunghezza l, cioè:

|∆A|= l ѵ ∆t.

Quindi la variazione dell’area è:

∆A=-|∆A|=- l ѵ ∆t

e visto che il campo B non cambia né nello spazio, né al trascorrere del tempo, la variazione di Ф(B) è il prodotto tra il modulo di B e ∆A: ∆Ф(B)= B ∆A = -B l ѵ ∆t.

Quindi:

.

Calcolo della forza elettromotrice :

Il circuito è costituito solo da resistori ( la sbarra e i fili di metallo) ed è percorso da una corrente indotta di intensità i, generata dalla forza elettromotrice indotta ; pertanto, la potenza P in esso dissipata per effetto Joule è:

P= i.

La sbarra, che si muove verso destra, è ancora percorsa dalla corrente indotta dall’alto verso il basso (in verso opposto a quello del moto degli elettroni di conduzione al suo interno). Su di essa agisce una forza magnetica F che è orientata verso sinistra, per cui si oppone al moto. Il modulo di F è: F= B i l.

Perché la sbarra continui a muoversi con velocità costante, bisogna che sia spinta da una forza esterna uguale e contraria alla forza magnetica F. Il lavoro compiuto dalla forza esterna è quello che fornisce l’energia dissipata per effetto Joule.

In ∆t la sbarra compie uno spostamento verso destra ∆s= ѵ∆t. Quindi la forza esterna, che ha la stessa direzione e lo stesso verso di ѵ, compie il lavoro

W= F ∆s = B i l v ∆t.

La potenza sviluppata da questa forza, uguale alla potenza dissipata, è:

Confrontando le formule precedenti otteniamo:

da cui

L’espressione della forza elettromotrice è anche l’espressione della quantità .

La legge di Lenz

La legge di Lenz che prende il nome dal fisico stesso,afferma che:

Il verso della corrente indotta è sempre tale da opporsi alla variazione di flusso che lo genera.

La legge di Lenz spiega il segno meno che compare nella formula di Faraday-Neumann.

Il meno va messo in relazione con il vettore del verso S che

rappresenta la superficie attraversata dal flusso di campo

magnetico

QUARTA EQUAZIONE DI MAXWELL LA LEGGE DI AMPERE

La quarta equazione di Maxwell è la forma generalizzata della

legge di Ampère e fornisce una relazione fra campi magnetici,

elettrici e correnti, cioè l’integrale di linea del campo

magnetico su un percorso chiuso è determinato dalla

corrente di conduzione che è concatenata con tale percorso e

della derivata rispetto al tempo del flusso elettrico attraverso

una superficie qualsiasi limitata da quel percorso.

Le cariche in moto, o le correnti, producono campi magnetici.

Quando un conduttore percorso da corrente ha alta simmetria,è possibile calcolare il campo magnetico facendo uso della legge di Ampère :

dove l’integrale è esteso ad una qualsiasi linea chiusa attraverso il quale passa la corrente di condizione.

Se Q è la carica sulle armature di un condensatore, la corrente di conduzione è definita dalla relazione:

La legge di Ampère è valida solo se la corrente è costante nel tempo.

Maxwell si rese conto di questa limitazione e modificò la legge di Ampère in modo da renderla valida per tutte le possibili situazioni.

Si può capire questo problema considerando il caso del

condensatore che viene caricato.

Quando la corrente elettrica I varia nel tempo anche la carica sulle armature del condensatore è variabile, ma nessuna corrente di conduzione scorre fra le due armature. Consideriamo ora due superfici S₁ ed S₂ limitate dalla stessa linea

P.La legge di Ampère dice che l’integrale di linea di B x ds deve essere uguale a μ₀ I, dove I è la corrente totale che attraversa una qualsiasi superficie limitata dalla linea P.

Quando la linea P è associata ad S₁, il risultato dell’integrale è μ₀ I, poiché la corrente passa attraverso S₁. Invece, quando P è associata ad S₂ il risultato è nullo, perché non vi è alcuna corrente di conduzione attraverso S₂ . Si ha così una situazione contraddittoria, che è dovuta alla discontinuità di corrente! Maxwell risolse il problema postulando un termine aggiuntivo nel secondo membro dell’equazione, chiamato corrente di spostamento , definito dall’espressione:

dove Фс è il flusso del campo elettrico, definito come Ф= .

Qq A

LINEA P S₂ S₁

q

q

Mentre il condensatore si carica (o si scarica), il campo elettrico variabile tra le sue armature può essere immaginato come una specie di corrente che elimina la discontinuità della corrente di conduzione.

Qualunque sia la superficie considerata, una qualche combinazione di corrente di conduzione e di spostamento attraversa sempre questa superficie; con questo nuovo termine , possiamo scrivere la legge di Ampère generalizzata nella forma:

I campi magnetici sono generati sia da correnti di conduzione che da campi elettrici variabili nel tempo

Grazie per l’attenzione.