Compito di Fisica Matematica, 15/4/2009
Prof. F. Bagarello
Lo studente da 6 cfu risolva almeno quattro dei seguenti quesiti, quello da 9 cfu ne risolva almeno 6:
(1 Verificare se l’integrale R∞
−∞(1 + f0(x))(1 + g0(x)) dx definisce un prodotto scalare sul sot- toinsieme delle funzioni di L2(R) che ammettono derivata prima (almeno).
(2) Ottenere lo sviluppo in serie di Fourier per la funzione f (x) = x + π.
(3) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Fourier della funzione f (x) = 1
(x + 3i)2.
(4) Risolvere l’equazione differenziale y00(t) + 3 y0(t) + 2y(t) = 2e, con le condizioni iniziali y(0) = 1 e y0(0) = 1 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(5) Calcolare la derivata nel senso debole della distribuzione ϕ(t) = u(t) sin2(t).
(6) Sviluppare in serie di Taylor nell’intorno di z0= π la f (z) = ez+1sin (z) e determinarne il raggio di convergenza.
(TdP1) Dimostrare che la funzione f (x) = N e−|x|/4`e una densit`a di probabilit`a per un’opportuna scelta di N . Ricavare la funzione caratteristica associata ed i momenti di ordine 1 e 2.
(TP2) Ottenere la probabilit`a che, estraendo (e non reintroducendo) quattro numeri da un’urna contenente i numeri da 1 a 90, si ottenga le seguente sequenza: prima estrazione, numero pari; sec- onda estrazione, numero pari; terza estrazione, numero dispari; quarta estrazione, numero dispari.
1
