Compito di Fisica Matematica, 22/6/2009
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 cfu risolva almeno quattro dei seguenti quesiti, quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione f (t) = (t + 1) e2t, sta- bilendone l’ascissa di convergenza.
(2) Dimostrare che date le funzioni f1(t) = (1−3it)1 2 ed f2(t) = (1+3it)1 2, si ha (f1∗ f2)(t) = 0.
Si suggerisce di sfruttare le propriet`a della convoluzione e della trasformata di Fourier.
(3) Studiare la natura delle singolarit´a della funzione f (z) = z21+1ez, fornirne lo sviluppo di Laurent ed, in correspondenza delle singolarit´a, calcolare il valore dei residui.
(4) Verificare che la mappa
<< f, g >>:=
Z
R
f (x)g(x) x2e−|x|dx,
definisce un prodotto scalare su L2(R). Fornire un esempio di una funzione h(x) per cui < h, h >=
∞ ma << h, h >>< ∞.
(5) Sviluppare in serie di Fourier la funzione f (x) =
( 1, x > 1;
0, x < 1.
Verificare con una stima diretta che i cofficienti dell’espansione appartengano ad l2(N).
(6) Calcolare l’integrale I
γ
z ez z3+ 1dz,
in cui γ `e la frontiera del semicerchio centrato nell’origine, di raggio 2, e tutto contenuto nel semipiano <(z) > 0.
(TdP1) Consideriamo un’urna contenente 6 bussolotti numerati dai numeri pari tra 10 e 20.
Determinare la probabilit`a che, in 3 estrazioni (con reinserimento) successive, i risultati appaiano in un ordine strettamente crescente.
(TdP2) Dimostrare che la funzione f (x) = N x2(rect(x − 1/2) + rect(x + 1/2)) `e una densit`a di probabilit`a per un’opportuna scelta di N . Ricavare la funzione caratteristica associata ed i momenti di ordine 1, 2 e 3.
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