Compito di Fisica Matematica, 23/2/2009
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 CFU risolva almeno quattro dei seguenti quesiti. Quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Calcolare l’integrale
I = Z
γ
sin(z) dz z − i , γ essendo la curva γ(t) = 2eit, t ∈ [0, 2π[.
(2) Supponendo che la funzione f (z) sia analitica, verificare se risulti analitica anche la funzione h(z) := f (z).
(3) Risolvere l’equazione differenziale y00(t) + 3y0(t) + 2y(t) = t2, con le condizioni iniziali y(0) = 1 e y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(4) Sviluppare la funzione Sviluppare la funzione f (x) = 3 sin2(x) in serie di Fourier. Verificare l’uguaglianza di Parceval.
(5) Sia H2 := {f = (f1, f2), f1, f2 ∈ H} e sia << ., . >>:= H2× H2 → C la mappa cos`ı definita: ∀f , g ∈ H2, << f , g >>=< f1, g2> + < f2, g1>. Verificare se tale mappa definisce un prodotto scalare.
(6) Calcolare la trasformata di Fourier della f (x) = u(x) sin(x)e−x.
(7) In una mano di poker ogni giocatore riceve 5 delle 52 carte del mazzo. Quante possibili mani diverse pu`o ricevere?
(8) Qual’`e la probabilit`a che lanciando una moneta 5 volte non esca mai croce? E qual’`e la probabilit`a che ci`o accada, sapendo che nei primi 4 lanci `e sempre uscito testa?
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