2. Esercizi di Geometria 1
(Semestre Invernale 2018/2019)
Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. Nello spazio topologico X delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali (dotato della topologia) euclidea si considerino gli insiemi
A = {M ∈ X| tr(M ) = 1}, B = {M ∈ X|1 ≤ tr(M ) ≤ 2}.
Stabilire se A e/o B sono aperti, chiusi.
Esercizio 2. Si consideri la famiglia
B := {(a, b)|a, b ∈ R, a < b} ∪ {{q}|q ∈ Q}
di sottoinsiemi di R.
(1) Provare che B `e base di una topologia τ su R.
(2) Dare esempi di insiemi chiusi nella topologia τ .
(3) Confrontare τ con le topologie: euclidea, banale, discreta, cofinita, degli intervalli aperti centrati e di Sorgenfrey definite su R.
Esercizio 3. Si consideri X := C0([0, 1]) l’insieme delle funzioni continue su [0, 1]
e sia
d(f, g) := supx∈[0,1]|f (x) − g(x)| ∀f, g ∈ C0([0, 1]) (1) Dimostrare che d `e una metrica.
(2) Stabilire se i seguenti sottoinsiemi sono aperti rispetto alla metrica d:
A := {f ∈ X|f (0) > 0};
B := {f ∈ X|f (0) = 1};
C := {f ∈ X|f `e derivabile }.
Esercizio 4. Consideriamo la seguente famiglia T di sottoinsiemi di R A ∈ T ⇔ [x ∈ A ⇒ −x ∈ A]
(1) Dimostrare che T `e una topologia su R.
(2) Dimostrare che A ⊂ R `e aperto se e solo se A `e chiuso.
(3) Dimostrare che T non `e n`e pi`u fine n´e meno fine della topologia euclidea.
Esercizio 5. Consideriamo R. Siano E = (0, 1), F = [0, 1) ⊂ R. Trovare la chiusura, l’interno e la frontiera di E ed F con le seguenti topologie:
(1) la topologia discreta;
(2) la topologia banale;
(3) la topologia cofinita;
(4) la topologa euclidea;
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(5) la topologia della semicontinuit`a superiore;
(6) la topologia della semicontinuit`a inferiore;
(7) la topologia di Sorgenfrey;
(8) la topologia delle bolle centrate nell’origine. Cio`e la topologia che ha per base la famiglia di insiemi del tipo
{(−a, a)|a ∈ R, e a ≥ 0}.
(9) la topologia τ dell’esercizio 2.
(10) la topologia T dell’esercizio 4.
