4. Esercizi di Geometria 1
(Semestre Invernale 2018/2019)
Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. Si consideri R3 con la topologia euclidea e con coordinate cartesiane x, y, z. Ricavare le equazioni parametriche di un toro T ⊂ R3 come superficie di rotazione di una circonferenza intorno all’asse z. Infine ricavare l’equazione cartesiana di T .
Dimostrare che il toro cos`ı ottenuto `e omeomorfo allo spazio quoziente ottenuto considerando I2 ⊂ R2 (con topologia indotta dalla topologia euclidea) con i lati identificati come in figura.
V
V V
V a
b
a
b
Inoltre si consideri il prodotto topologico S1× S1 con la topologia porodotto ( S1 lo intendiamo con la topologia indotta dalla topologia euclidea di R2). Dimostrare che S1× S1 `e anch’esso omeomorfo a T .
Esercizio 2. Diciamo che un’ applicazione f : (X1, τ1) → (X2, τ2) `e continua in x0 ∈ X1 se per ogni V intorno aperto di f (x0) esiste un intorno aperto U di x0
tale che f (U ) ⊂ V . Dimostrare che sono equivalenti le seguenti affermazioni:
(1) f `e continua.
(2) f `e continua in ogni punto di X1. (3) Per ogni A ⊂ X1, f (A) ⊂ f (A).
(4) Per ogni B ⊂ X2, f−1(B) ⊂ f−1(B).
Esercizio 3. Sia R dotato della topologia euclidea.
(1) Dimostrare che la topologia prodotto in R×R `e equivalente alla topologia euclidea su R2.
(2) dimostrare che l’intervallo (0, 1) ⊂ R con la topologia indotta `e omeo- morfo a R.
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