3. Esercizi di Geometria 1
(Semestre Invernale 2018/2019)
Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. Siano X1e X2due insiemi, τ1una topologia su X1e τ2una topologia su X2.
(1) Siano τ1′ una topologia su X1 e τ2′ una topologia su X2. Dimostrare che se τ1 `e pi`u fine di τ1′ e τ2 `e pi`u fine di τ2′, allora la topologia prodotto τ1× τ2
`e pi`u fine della topologia prodotto τ1′ × τ2′. (2) Siano U1 ⊆ X1 e U2 ⊆ X2. Dimostrare che
U1× U2 = U1× U2, (U1× U2)◦ = (U1)◦× (U2)◦,
∂(U1× U2) = ∂U1× ∂U2.
Esercizio 2. Siano X e Y due spazi topologici e f : X −→ Y un’applicazione continua.
(1) Dimostrare che se A ⊆ X, allora
f (A) ⊆ f (A), ma che in generale non vale l’uguaglianza.
(2) Dimostrare che per ogni A ⊆ X, si ha che f (A) = f (A).
(3) Dimostrare che si ha
f (A) = f (A)
per ogni A ⊆ X se e solo se f `e continua e chiusa.
Esercizio 3. Sia X uno spazio topologico.
(1) Sia A ⊆ X. Dimostrare che le quattro seguenti condizioni sono equiva- lenti:
(a) L’insieme A `e denso in X (cio`e A = X).
(b) Il complementare Ac di A in X ha parte interna vuota.
(c) Se F ⊆ X `e un chiuso contentente A, allora F = X.
(d) Se U ⊆ X `e un aperto non vuoto, allora A ∩ U 6= ∅.
(2) Sia B ⊆ X. Dimostrare che B ∩ A 6= ∅ per ogni A ⊆ X denso se e solo se B◦ 6= ∅.
(3) Siano U, V ⊆ X due aperti densi di X. Dimostrare che U ∩ V `e denso in X.
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Esercizio 4. Uno spazio topologico X `e detto irriducibile se per ogni X1, X2 ⊆ X chiusi di X tali che X = X1∪ X2, allora X = X1 oppure X = X2.
(1) Mostrare che se X `e irriducibile e U ⊆ X `e un aperto non vuoto, allora U `e denso in X.
(2) Mostrare che se Y ⊆ X `e irriducibile, allora Y `e irriducibile.
Esercizio 5. Sia
S := {(x, y) ∈ R2| x 6= 0, y/x ∈ N},
sottoinsieme di R2munito della topologia euclidea. L’insieme S `e chiuso? Aperto?
Determinare la chiusura, l’interno e la frontiera di S.
Esercizio 6. Per ogni n ∈ N poniamo
An:= {(x, y) ∈ R2| x ≥ 0, y ∈ [nx, (n + 1)x]}, e sia
A := [
n∈N
(An)◦.
(1) L’insieme [
n∈N
An
`e chiuso?
(2) Determinare A◦, A e ∂A.
(3) Definiamo una relazione d’equivalenza ∼ su A0nel modo seguente: diremo che (x, y) ∼ (x′, y′) se e solo se (x, y) = (x′, y′) oppure (x, y), (x′, y′) ∈
∂A0 e d((x, y), (0, 0)) = d((x′, y′), (0, 0)), dove d `e la distanza euclidea.
Dimostrare che A0/ ∼ `e omeomorfo a R2.
Esercizio 7. Sia X uno spazio topologico infinito munito della topologia cofinita.
(1) Mostrare che la topologia cofinita su X × X e la topologia prodotto delle topologie cofinite su X × X non sono equivalenti.
(2) Le due topologie sono confrontabili? Se si, quale delle due `e pi`u fine?
