Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 21 Gennaio 2020 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Considerato il seguente sottospazio vettoriale di M2(R):
U = 1 1 1 1
,1 −1
1 0
,1 −1 0 0
,
(a) determinare la dimensione ed una base di U ;
(b) determinare un sottospazio vettoriale W tale che M2(R) = U ⊕ W . 2 Si consideri l’applicazione lineare G = F ◦ F , dove F : R3 −→ R3 `e tale che
F (x, y, z) = 1
4(x + y + z),1
4(x + y + z),1
4(x + y + z)
.
(a) Determinare la dimensione ed una base del nucleo e dell’immagine di G e stabilire se l’applicazione G `e suriettiva e/o iniettiva;
(b) stabilire se l’endomorfismo G `e diagonalizzabile ed in caso affermativo si determini una base di R3 diagonalizzante per G.
3 Discutere, al variare del parametro h ∈ R, il seguente sistema lineare:
x − y + z = −1
x + 3hy + (3h2− 2h)z = 3h
x − y + (3h2− 8h − 2)z = 3h2− 8h − 4.
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino i punti A = (0, 0, 1), B = (1, 1, 0) e C = (1, 1, 1).
(a) Determinare le equazioni parametriche e cartesiane del piano π passante per i punti O, A, B, dove O `e l’origine del riferimento;
(b) determinare le equazioni parametriche e cartesiane dela retta ` = OC;
(c) determinare i punti P tali che appartengono a π, d(O, P ) = 1 e cos θ = √1
3, dove θ `e l’angolo tra le rette OP ed `.
5 Sia V uno spazio vettoriale euclideo e siano u, v, w vettori non nulli di V a due a due ortogonali.
Dimostrare che u, v, w sono linearmente indipendenti.
6 Sia K un campo e siano V e W due K–spazi vettoriali tale che dim(V ) = 3 e dim(W ) = 2. Dimostrare che un’applicazione lineare F : V −→ W non pu`o essere iniettiva.
Traccia I — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 21 Gennaio 2020 — Traccia II
COGNOME NOME
1 Considerato lo spazio vettoriale R3[X] dei polinomi di grado ≤ 3.
(a) Mostrare che B = {(X − 1)3, (X − 1)2, X − 1, 1} `e una base di R3[X];
(b) determinare le componenti del vettore v = 3X3− 4X2+ 2X − 5 ∈ R3[X] rispetto alla base B.
2 Si consideri l’endomorfismo F : (x, y, z, t) ∈ R4 7−→ (3x + y, x + 3y, z −√
2t, −√
2z) ∈ R4. (a) Determinare la matrice A che rappresenta F rispetto alla base canonica di R4;
(b) determinare il nucleo e l’immagine di F e stabilire se l’applicazione F `e suriettiva e/o iniettiva;
(c) stabilire se la matrice A `e diagonalizzabile ed in caso affermativo si determini una matrice che diagonalizza A.
3 Discutere, al variare del parametro h ∈ R, il seguente sistema lineare:
x − y + z + (h2− 2)t = h
−x + y − z + h2t = h + 2 x − y + (h + 2)z = 1 x − y + z − t = −1.
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino i punti A = (1, 0, 0), B = (0, −1, 0), C = (2, 1, 1) ed il piano σ : y + z = 1.
(a) Determinare il piano π passante per A, B, C;
(b) determinare le equazioni cartesiane e parametriche della retta ` = π ∩ σ;
(c) determinare i piani che distano √1
6 dal punto P = (1, 1, 1) e che contengono la retta `.
5 Sia AX = b un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Dimostrare che se esso `e compatibile, allora rg(A) = rg(A|b).
6 Siano A, B ∈ Mn(R), 0 6= v ∈ Rn e λ ∈ R. Dimostrare che se v `e un autovettore di A + In relativo autovalore λ ed un autovettore di B + In relativo autovalore 2λ, allora λ2 `e un autovalore di (A − B)2.
Traccia II — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 21 Gennaio 2020 — Traccia III
COGNOME NOME
1 Determinare quali dei seguenti sottospazi vettoriali di R3 coincidono:
U1 = h(1, 1, −1), (2, 3, −1), (3, 1, −5)i, U2 = h(1, −1, −3), (3, −2, −8), (2, 1, −3)i, U3 = h(1, 1, 1), (1, −1, 3), (3, −1, 7)i.
(a) Si determini la dimensione ed una base di U1⊥, dove R3 `e dotato del prodotto interno standard.
2 Si consideri l’endomorfismo F : R3 −→ R3 tale che F (e1) = F (e2) = F (e3) = (1, 1, 1), dove {e1, e2, e3}
`e la base canonica di R3.
(a) Determinare la matrice M che rappresenta F rispetto alla base canonica di R3;
(b) determinare la dimensione ed una base del nucleo e dell’immagine di F e stabilire se l’applicazione F `e suriettiva e/o iniettiva;
(c) determinare una matrice P ∈ GL3(R) tale che P−1M P risulti diagonale.
3 Discutere, al variare del parametro h ∈ R, il seguente sistema lineare:
x + y + (h2− 4h + 1)z = h + 1 x + 2y + 2z = 2
x + y + z = 1.
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino i punti A = (0, 0, −1), B = (−5, 1, 0), C = (0, 0, 7), D = (7, 0, 0), E = (0, 1, 5).
(a) Determinare le equazioni parametriche e cartesiane del piano π contenente i punti C, D, E;
(b) determinare le equazioni cartesiane e parametriche della retta ` = AB;
(c) determinare il piano σ la cui giacitura `e l’immagine dell’applicazione lineare F : (x, y, z) ∈ R3 7−→
(4x − z, 2y, 0) ∈ R3 e passante per il punto P = ` ∩ π.
5 Sia V uno spazio vettoriale euclideo tale che dim(V ) = 4 e sia W un sottospazio di V con dim(W ) = 2.
Dimostrare che W⊥ `e un sottospazio vettoriale di V . Determinare la dimensione di W⊥.
6 Sia K un campo e sia V un K–spazio vettoriale. Dimostrare che se F : V −→ V `e un isomorfismo e λ `e un autovalore di F , allora λ2 `e un autovalore di F2 = F ◦ F .
Traccia III — 1
