an⇠ bn per n! +1

4. ESERCIZI sulle SUCCESSIONI, parte 2

Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

1. Sia (a_n) una successione divergente a +1. Allora A. (a_n) `e crescente.

B. ⇣

1 an

⌘

`e limitata.

C. inf{an| n 2 N} 2 R.

2. Siano (an) e (bn) due successioni positive tali che lim

n!+1an= lim

n!+1bn= `2 R. Allora A. a_n⇠ bn per n! +1.

B. e^an ⇠ e^bn per n! +1.

C. log a_n⇠ log bn per n! +1.

3. Siano (a_n) e (b_n) successioni positive, infinitesime e asintotiche per n! +1. Allora A. Per ogni successione (c_n), a_n c_n⇠ bn c_n per n! +1.

B. Per ogni ↵2 R, an↵ ⇠ bn↵ per n! +1.

C. log an⇠ log bn per n! +1.

4. Siano (a_n) e (b_n) due successioni positive e regolari tali che lim

n!+1a_n b_n= 0. Allora A. a_n⇠ bn per n! +1

B. e^an ⇠ e^bn per n! +1 C. log a_n⇠ log bn per n! +1

Utilizzando i limiti notevoli visti e l’algebra dei limiti, calcolare i seguenti limiti

5. lim

n!+1

log 1 +_n¹2

cosp¹

n 1 [0]

6. lim

n!+1

e^sinn21 1 q

cos¹_n 1

[ 4]

7. lim

n!+1

e^tan2n1 1

3

q

cos₃¹n 1

log cos₂¹n [+1]

8. lim

n!+1

tan_n¹3

p3

n²+ n p³

n²+ 1 [0]

9. lim

n!+1

q4

1 +₂¹n 1 log 1 +₂¹n + sin₃¹n

[¹₄]

10. lim

n!+1 1 + sin₃¹n

2ⁿ

[1]

11. lim

n!+1 q3

cosp¹n 1

log(1+n^↵) al variare di ↵2 R ^{[0 se}

↵ > 1, ¹₃ se ↵ = 1, 1 se ↵ < 1]

12. lim

n!+1 cos¹_n ^n↵ al variare di ↵2 R ^{[0 se}

↵ > 2, ^p1_e se ↵ = 2, 1 se ↵ < 2]

. Risolvere gli esercizi 4-7, 9-12 e 29-40 del libro di testo

19