Compito di Fisica Matematica, 30/1/2009
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 CFU risolva almeno quattro dei seguenti quesiti. Quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Sia f (z) = zsin(z)3−z4. Ottenere le parti singolari della f (z) associate a ciascuna delle sue singolarit`a.
(2) Sia H = C2 ed A =
à 1 2 2 4
!
. Stabilire se la mappa << ., . >>: H × H definita dalla
<< z, w >>=< Az, Aw >, in cui < ., . > `e il prodotto scalare ordinario su C2, `e un prodotto scalare o meno.
(3) Sviluppare la funzione Sviluppare la funzione f (x) = 3 sin(x) − 4 sin3(x) in serie di Fourier.
Verificare l’uguaglianza di Parceval.
(4) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) = x2χ[1,π](x), in cui χ[1,π](x) `e la funzione caratteristica dell’intervallo [1, π]. Stabilire inoltre se tale trasformata sia o meno una distribuzione temperata.
(5) Dopo avere verificato che la funzione f (x) =
(
cos(3x − π), x ∈ [0, 2] ∩ [4, 5]
0, altrove
appartiene ad L2(R), lo studente ne calcoli la trasformata di Fourier.
(6) Risolvere l’equazione differenziale y00(t) + 3y0(t) + 2y(t) = 3t, con le condizioni iniziali y(0) = 3 e y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(7) Determinare la probabilit`a che, in 3 lanci successivi di un dado, i risultati appaiano in un ordine strettamente crescente.
(8) Quanti numeri di 4 cifre possono essere formati con le 10 cifre 0, 1, . . . , 9 assumendo che lo 0 non possa mai essere la prima cifra e (a) ammettendo ripetizioni; (b) non ammettendo ripetizioni;
(c) non ammettendo ripetizioni e assumendo che l’ultima cifra sia 0.
1
