UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA
Corsi di Laurea in Ingegneria Ingegneria dell’Informazione I prova in itinere di Fisica Generale 2 – 16 Novembre 2020
Cognome _____________________ Nome _________________________ Matricola _______________
Problema 1
Due distribuzioni statiche di carica sferiche, 𝑞!, volumetrica di densità r, raggio 𝑅!= 10 cm e centro 𝑂!, e
𝑞", superficiale di densità 𝜎 = 6 nC/m", raggio 𝑅"= 20 cm e centro 𝑂", sono poste a distanza d = 40 cm fra i centri delle sfere
come in figura. Il potenziale rispetto ad infinito nel punto A sulla superficie della seconda sfera, posto sull’asse 𝑂!𝑂", è 𝑉#= 500 V. Calcolare :
1) la densità di carica volumetrica r
2) il potenziale (rispetto ad infinito) al centro della prima sfera 𝑉$!
3) la minima energia cinetica (in eV) di un elettrone emesso in B dalla
superficie della seconda sfera affinché possa raggiungere infinito 𝐸%
1) Il potenziale elettrostatico in A è la somma scalare dei potenziali (rispetto ad infinito) dovuti alle due distribuzioni di carica in quel punto
𝑉#= 𝑞!
4𝜋𝜀&(𝑑 − 𝑅")+ 𝑞"
4𝜋𝜀&𝑅"= 𝑞!
4𝜋𝜀&(𝑑 − 𝑅")+ 𝜎4𝜋𝑅""
4𝜋𝜀&𝑅"= 𝑞!
4𝜋𝜀&(𝑑 − 𝑅")+𝜎𝑅"
𝜀&
per cui
𝑞!= 4𝜋𝜀&(𝑑 − 𝑅") A𝑉#−𝜎𝑅"
𝜀& B = 8.11 × 10'( C
e la densità di carica volumetrica è 𝜌 = 𝑞!
43 𝜋𝑅!)
=3𝜀&(𝑑 − 𝑅")
𝑅!) A𝑉#−𝜎𝑅"
𝜀& B = 1.94 × 10'* C m⁄ )
2) Come nel punto precedente il potenziale elettrostatico è la somma scalare dei potenziali (rispetto ad infinito) dovuti alle due distribuzioni di carica al centro della prima sfera. Il potenziale dovuto alla distribuzione di carica volumetrica si ottiene integrando il campo elettrostatico su una linea di forza da infinito a 𝑂!
𝑉!= − J 𝑞!
4𝜋𝜀&𝑟"𝑑𝑟 − J 𝜌
3𝜀&𝑟𝑑𝑟 =
&
+!
+!
,
𝑞!
4𝜋𝜀&𝑅!+ 𝜌
3𝜀&
𝑅!"
2 = 1093 V mentre il potenziale dovuto alla carica 𝑞" in 𝑂! è dato da
𝑉"= 𝑞"
4𝜋𝜀&𝑑= 68 V
per cui il potenziale in 𝑂! è
𝑉$! = 𝑞"
4𝜋𝜀&𝑑+ 𝑞!
4𝜋𝜀&𝑅!+𝜌𝑅!"
6𝜀& = 1161 V
+ + + + + + + + + +
+ + + + + +
+
+ +
+ +
+ +
+ + R2
O2 + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + R1
O1
A
d
B
3) Si conserva l’energia per cui, considerando che l’energia minima si ha se l’elettrone raggiunge infinito, dove il potenziale è nullo, con velocità nulla
Δ𝐸%+ Δ𝑈 = (0 − 𝐸%) − 𝑒(0 − 𝑉-) = 0 da cui (in eV)
𝐸%
𝑒 = 𝑉-= 𝑞!
4𝜋𝜀&(𝑑 + 𝑅")+ 𝑞"
4𝜋𝜀&𝑅"= 257 eV
