prova in itinere di Fisica II – 14.7.2005 – Compito A

Facoltà di Ingegneria

2

^a

prova in itinere di Fisica II – 14.7.2005 – Compito A

Costanti: ₂

2 12

0 Nm

10 C 85 ,

8 ⋅ ⁻

=

ε ,

A 10 Tm

4 ⁷

0

⋅ −

π

= µ

Esercizio n.1

Su un cilindro di raggio R e lunghezza indefinita è distribuita una carica elettrica con densità volumica uniforme ρ. Detta r la distanza radiale dall’asse del cilindro, calcolare il modulo del campo elettrico per

• r>R

• 0<r<R

Rispondere quindi alle seguenti domande:

1. le linee di forza del campo elettrico generato dalla carica sul cilindro sono A. parallele all’asse del cilindro

B. radiali, cioè dirette come l’asse r (*)

C. circonferenze con centro sull’asse del cilindro e perpendicolari ad esso

D. a 45° rispetto all’asse del cilindro

2. La carica contenuta in una parte del cilindro di lunghezza h vale

A. ₂

R πh ρ B. ρ2πRh C. ρπR²h(*) D. R²h

ε0

ρ

3. per r>R il campo elettrico ha modulo

A. r

1 2 E R

0 2

ε

= ρ (*)

B. ₂

0 2

r 1 4 E R

πε

= ρ

C. r

1 R

E 2 ₂

ε0

= ρ

D. r

1 E 4

ε0

= ρ

4. per 0<r<R il campo elettrico ha modulo

A. r

1 2 E R

0 2

ε

= ρ

B. ₂

0 R

1 E 4

πε

= ρ

C. ₂

2

0 R

r E 2

ε

= ρ

D. r

E 2 ε0

= ρ (*)

Esercizio n.2

Il flusso del campo magnetico concatenato con una bobina, di resistenza complessiva R=1kΩ, è

(

²

)

^{1 2}

B = t −4t10⁻ Tm

Φ dove t è il tempo misurato in secondi.

Si trovi:

• la fem indotta in funzione del tempo

• il valore del flusso Φ_Bal tempo t=2s

• l’intensità della corrente indotta nella bobina al tempo t=2s.

Si risponda quindi alle seguenti domande:

r R

asse

h

5. la fem indotta in funzione del tempo è dato da A. fem=0.4t

B. fem=0.4−0.2t(*) C. fem=t²

D. fem=0.4t−0.2t² 6. il flusso Φ_Bal tempo t=2s vale

A. −0.01Tm² B. −0.4Tm² (*) C. −2Tm² D. −10Tm²

7. l’intensità della corrente indotta nella bobina, al tempo t=2s, vale A. 0 A (*)

B. 0.4 A C. 2 A D. 4 A Esercizio n.3

Una sfera conduttrice di raggio R₁=20cm è portata ad un potenziale di 10⁴V (potenziale all’infinito uguale a 0) ed è poi messa a contatto con una sfera neutra di raggio R₂ =30cm. Le due sfere vengono quindi separate.

Si calcoli:

• la carica iniziale sulla sfera di raggio R₁ =20cm (cioè la carica subito dopo che la sfera è portata al potenziale di 10⁴V)

• il potenziale (rispetto all’infinito) di ciascuna delle due sfere quando esse sono a contatto

• la carica su ciascuna delle due sfere dopo che esse sono state separate

• la densità di carica su ciascuna delle due sfere dopo che esse sono state separate e portate a distanza

2 1,R R

d>> l’una dall’altra Si risponda quindi alle seguenti domande:

8. la carica iniziale sulla sfera di raggio R₁=20cm vale A. 0.056 µC

B. 0.22 µC (*) C. 3.7 µC D. 8.5 µC

9. il potenziale della sfera di raggio R₁=20cm quando le due sfere sono a contatto vale A. 2300 V

B. 1250 V C. 4000 V (*) D. 8500 V

10. la carica sulla sfera di raggio R₁=20cm dopo che le due sfere sono state separate ha valore A. 5.46 µC

B. 1.24 µC C. 0.98 µC D. 0.089 µC (*)

11. la carica sulla sfera di raggio R₂ =30cm dopo che le due sfere sono state separate ha valore A. 4.88 µC

B. 0.13 µC (*) C. 0.078 µC D. 0 C

12. la densità di carica sulla sfera di raggio R₁=20cm dopo che le due sfere sono state separate (a distanza

2 1,R R

d>> ) ha valore A. 10.03 µC/m² B. 5.78 µC/m² C. 2.33 µC/m²

D. 0.177 µC/m² (*) Esercizio n.4

I due segmenti di filo della figura (tratti continui) sono percorsi da una corrente di A

0 .

2 , da R verso T. Essi si trovano in una regione dello spazio in cui c’è un campo magnetico B^r =1.0kˆT ( iˆ , jˆ , kˆ versori degli assi x,y e z rispettivamente, T=tesla); le loro lunghezze sono RS=30cm e ST=40cm

Si trovi la risultante della forza sui due segmenti di filo (RS ed ST).

Si trovi inoltre la forza su un terzo tratto di filo rettilineo, che collega R e T ed è percorso dalla stessa corrente di 2.0A, da T verso R.

Si risponda quindi alle seguenti domande:

13. Un campo magnetico uniforme B r

esercita su un filo rettilineo L r

, percorso da una corrente i (con verso uguale a quello del vettore L

r

), una forza F r

data da A. F iB L

r r r= ⋅ B. F iB L

r r r= × C. F iL B

r r r= × (*) D. F iL²B

r r=

14. la forza risultante sui due segmenti di filo RS ed ST vale A. ^Fr=−

(

^{0.4iˆ+0.3kˆ}

)

^N

B. ^Fr=

(

^{0.8iˆ−0.6jˆ}

)

^{N (*)}

C. ^Fr=−

(

^{0.6jˆ+0.4kˆ}

)

^N

D. ^Fr=

(

^{0.2iˆ+0.3jˆ}

)

^N

15. la forza su un terzo tratto di filo rettilineo, che collega R e T ed è percorso dalla stessa corrente di 2.0A, da T verso R, vale

A. ^Fr=

(

^{0.4iˆ+0.3kˆ}

)

^N

B. ^Fr=

(

^{0.6jˆ+0.4kˆ}

)

^N

C. ^Fr=−

(

^{0.2iˆ+0.3jˆ}

)

^N

D. ^Fr=−

(

^{0.8iˆ−0.6jˆ}

)

^{N (*)}

Altre domande

16. Una carica +Q è posta al centro della cavità praticata all’interno di un conduttore neutro isolato. Le cariche indotte sulla parete interna ed esterna del conduttore sono rispettivamente:

A. Q_int =0,Q_ext =−Q B. Q_int =−Q,Q_ext =0 C. Q_int =−Q,Q_ext =+Q (*) D. Q_int =+Q,Q_ext =−Q

17. Un filo di materiale isolante, uniformemente carico (densità di carica lineare λ), forma una circonferenza di raggio R. Il campo elettrico generato dal filo al centro della circonferenza ha modulo

A. ₂

0 R

4

1 λ

πε

B. 2 R

1

0

λ ε

C. ₂

0 R

4

1 λ

πε D. 0 (*)

18. La resistività di un metallo con l’ aumentare della temperatura A. aumenta (*)

B. diminuisce C. resta costante

x y

z

R S

T

D. diventa nulla

19. Un protone avente quantità di moto p^r e carica elettrica e entra in una regione con campo magnetico B r

ortogonale a vr

; la sua traiettoria diventa un arco di circonferenza di raggio di curvatura A. eB

p (*)

B. p eB

C. B ep

D. pB e

20. Una spira conduttrice quadrata, non percorsa da corrente, viene lanciata in una regione con campo magnetico B

r

uniforme, ad essa ortogonale. La spira entrando nella regione del campo

A. non subisce alcuna forza

B. viene attratta nella regione del campo magnetico C. viene respinta dalla regione del campo magnetico (*)

D. subisce una forza parallela alla direzione del campo magnetico B r

21. Due condensatori, rispettivamente di capacità C e ₁ C , collegati in serie, sono ₂ equivalenti ad un singolo condensatore di capacità

A. C₁+C₂ B. C₁−C₂ C.

2 1

2 1

C C

C C

+ ^(*) D.

2 1

2 1

C C

C C

−

22. L’energia immagazzinata nel campo magnetico di una bobina di induttanza L e precorsa da una corrente i vale:

A. Li B. L i

2 1 ₂

C. Li²

2 1 (*)

D. L²i² 2 1

Soluzioni Esercizio n.1

Il campo elettrico del cilindro è radiale. Vista la simmetria, il modulo del campo può essere ottenuto con il teorema di Gauss.

Prendendo come superficie gaussiana un cilindro di lunghezza h, concentrico al cilindro dato, ed applicando il teorema di Gauss si ha:

per r>R

r 2

R E 1

h 1 R rh Q

2 E dA Q E

A d E

2

0 2

0 0 int Gaussiana

0 Sup int Gaussiana

Sup

ρ

= ε

→ ε ρπ

ε =

= π

= ε →

=

⋅

∫

∫

^{r r}

per r<R ^r

E 2 h 1 r rh Q

2 E dA Q E

A d E

0 2

0 0 int Gaussiana

0 Sup int Gaussiana

Sup ε

= ρ

→ ε ρπ

ε =

= π

= ε →

=

⋅

∫

∫

^{r r}

Esercizio n.2

La forza elettromotrice indotta, fem, per la legge di Faraday, ha espressione t

2 . 0 4 . dt 0

fem=−dΦ^B = −

vr

B r

Al tempo t=2s, Φ_B(t=2s)=0.4Tm^{2 e 0A} R

) s 2 t ( ) fem s 2 t (

i_ind = = = = ^.

Esercizio n.3

Il potenziale di una sfera conduttrice di raggio R, con ^V

( )

∞ =⁰, ha espressione

R Q 4 V 1

πε0

= da cui si ottiene

C 22 . 0 C 10 222 . 0

C 10000Nm m 20 . Nm 0 10 C 85 . 8 14 . 3 4 V 4000 m 20 . Nm 0 10 C 85 . 8 14 . 3 4 RV 4 Q

6

2 2 12 2

2 12 0

µ

=

⋅

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

= πε

=

−

−

−

Quando le due sfere vengono messe a contatto acquistano lo stesso potenziale V₁ =V₂e la carica presente sulla sfera di raggio R si ridistribuisce tra le due sfere in accordo al principio di conservazione della carica (₁ Q₁+Q₂=Q):











µ

= + =

=

µ

= + =

=

 →







= +

→ =





= +

=

C 133 . 0 5Q Q 3 R R Q R

C 0889 . 0 5Q Q 2 R R Q R

Q Q Q

R Q R Q Q Q Q

V V

2 1

2 2

2 1

1 1

2 1

2 2 1 1

2 1

2 1

V R 4000 Q 4 V 1

1 1 0

1 =

= πε

La densità di carica sulla sfera di raggio R vale ₁

2 2

2 1 1

m 177 C . ) 0 m 20 . 0 ( 14 . 3 4

C 0899 . 0 R

4

Q = µ

⋅

⋅

= µ

= π σ

Esercizio n.4

Basta applicare la 2° formula di Laplace dF idl B r r

r = × che nel caso di campo uniforme e filo rettilineo si può scrivere come F il B

r r r= × .

forza sui tratti di filo RS ed ST:

(

^{0.8iˆ 0.6jˆ}

)

^N

iˆ m 4 . 0 T 0 . 1 A 2 jˆ m 3 . 0 T 0 . 1 A 2

iˆ ST iB jˆ RS iB iˆ Bdy jˆ Bdx i

B l id B l id F

d F d F F F

T

S S

R T

S S

R T

S ST S

R RS ST

RS RST

−

=

⋅

⋅ +

⋅

⋅

−

=

= +

−

=











− +

=

∧ +

∧

= +

= +

=^{r r}

∫

^r

∫

^r

∫

^{r r}

∫

^{r r}

∫ ∫

r

forza sul tratto di filo TR:

( )

(

^{0.8iˆ 0.6jˆ}

)

^N

iˆ m 4 . 0 T 0 . 1 A 2 jˆ m 3 . 0 T 0 . 1 A 2 F

iˆ ST iB jˆ RS iB iˆ Bdy i jˆ Bdx i jˆ dy iˆ dx B i B l id F d F

RST

S

T R

S S

R R

T R

T TS TS

−

−

=

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

−

=

=

−

=

−

= +

∧

=

∧

=

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

r

r r r r

r

Quest’ultimo risultato poteva essere ottenuto ricordando che la forza magnetica su una spira chiusa in un campo magnetico uniforme è nulla.