Lavoro ed Energia
Il problema della dinamica di un punto materiale è:
➢ determinare come si muove la particella,
➢ ovvero come varia nel tempo la sua posizione, note le forze che agiscono su di essa.
Se per esempio il moto è unidimensionale, il problema è quindi determinare
x
come funzione del tempox(t)
.➢ quando le forze sono costanti, utilizzando essenzialmente la II Legge di Newton:
F = ma
Rivediamo questo caso semplice che abbiamo già trattato e cioè quello di una forza
F
= costante.Se la forza
F
applicata sulla particella (o la risultante delle forzeF
i) risulta costante, poiché in base alla II Legge di Newton possiamo sempre scrivere che:a
=F / m
Adottando come sistema di riferimento un asse
x
lungo la direzione della forza (direzione che NON cambia, in quanto la forza è costante), sappiamo già che possiamo ridurrela trattazione al caso scalare e che potremo scrivere le semplici equazioni del moto:
x(t) = v
0t + ½ at
2e v(t) = v
0+ at E quindi:
x(t) = v
0t + ½
𝐹𝑚
t
2e v(t) = v
0+
𝐹𝑚
t
x x(t)
t
Il problema è un po’ più complicato quando la forza agente sulla particella non è costante, e si configura per esempio un moto del genere:
x x(t)
t
x(t) = v
0t + ½ at
2Ma perché sarebbe così complicato determinare
x(t)
nel caso in cuiF
non è costante ? Cioè nel caso in cuiF = F(t)
? Forse in questo caso NON vale la II Legge di Newton ?NO, la II Legge di Newton vale sempre e quindi se
F = F(t)
risulteràa = a(t)
:a(t) = F(t) / m
E allora? visto che possiamo comunque ricavare a(t) da F(t), una volta nota a(t),
nell’equazione del moto
v(t) = v
0+ at
possiamo scriverev(t) = v
0+ a(t)t ???
NO!
Non dimentichiamo che l’accelerazione è una quantità ricavata dal calcolo differenziale:
a(t) = dv(t)/dt
Se conosciamo la funzione
a(t)
e vogliamo ricavarev,
possiamo certamente scriveredv(t) = a(t) dt
Il che, se
a(t) =
costante = a implica che ad ogni intervallo di tempo infinitesimodt
si osserva lo stesso incremento infinitesimo di velocitàdv = a dt
e quindi in ungenerico intervallo finito di tempo
Δt
si osserveràΔv = a Δt
che altro non è che la precedente equazione del moto:v(t) = v
0+ at
Ma questo risultato è valido solo se
a =
costante !!!6
Se invece
a
non è costante, per esempio nel caso generale che abbiamo immaginato in cui è nota la dipendenza diF
dal tempo, e quindi di conseguenza la dipendenza dia
dal tempoa(t) = F(t) /m
come si fa a ricavare
v(t)
? Per esempio:t a(t) = F(t)/m
0
a(t)
Abbiamo riconsiderato la formula:
dv(t) = a(t) dt
Questa è una formula differenziale, ma certamente è applicabile con buona approssimazione nel caso di intervalli di tempo
Δt
abbastanza piccoli, e in cui si adotta pera(t)
unvalore costante pari al suo valore medio al tempo
t
i nell’intorno dell’intervallo di tempo in questione. Abbiamo visto che potremo certamente scrivere che:Δv(t
1) = a(t
1) Δt
t t
10
a(t)
Δt
a(t
1)
E in generale, per ogni intervallo relativamente piccolo
Δt
nell’intorno di un istantet
i in cui l’accelerazione media valea(t
i)
, potremo scrivere:Δv(t
1) = a(t
1) Δt Δv(t
2) = a(t
2) Δt
………
Δv(t
i) = a(t
i) Δt
………
Δv(t
N) = a(t
N) Δt
t
0
a(t)
Quindi, dato un valore iniziale della velocità
v
0 all’istantet=0
, il valore di velocità ad un istante successivo di tempot
N tale che:t
N –t
0 =∑ Δt
iSarà dato dalla relazione:
v = v
0+ ∑ a(t
i) Δt
Questa formula, nel caso di intervalli di tempo infinitesimi, e cioè per
Δt → 0
si chiama integrale di
a (t)
rispetto al tempot
ed è definito come segue:v = v
0+ a(t) dt
i = 0 N
i = 0 N
t = 0 ∫
t
Forze che dipendono dalla posizione:
la forza gravitazionale, la cui intensità dipende dal quadrato della distanza, oppure la forza esercitata da una molla
deformata
Lo studio di questi casi porta alla definizione di importanti grandezze fisiche come
➢ Lavoro
➢ Energia Cinetica
➢ Legge di Conservazione dell’energia
Lavoro fatto da una forza costante
Consideriamo ancora il caso di una forza
F
= costante, e di un moto rettilineo lungo la direzione della forza. In questo caso, come sappiamo possiamo ridurre nuovamente lo studio al caso unidimensionale (scalare) (moto lungo l’assex
) .E sappiamo già che la particella di muoverà di moto accelerato con accelerazione costante
a = F/m F
Definiamo Lavoro fatto dalla forza
F
sulla particella come il prodotto del modulo della forzaF
per la distanza d percorsa dalla particella lungo l’asse x:L = F d
x
Consideriamo adesso il caso in cui la forza (sempre costante) non agisce però lungo la direzione di moto:
F
x
In questo caso definiremo il Lavoro fatto dalla forza
F
sulla particella come il prodotto della componenteF
x della forza lungo la direzione di moto, per la distanza percorsa dalla particellaL = F
xd L = F cos (θ) d
Se θ = 0, il Lavoro è semplicemente
F d,
come per il caso precedente , mentre se θ= 90° il lavoro fatto dalla forzaF
sulla particella è nullo.F
x13
Unità di misura del Lavoro
L’unità di misura del lavoro è il lavoro fatto dall’unità di forza nel muovere un corpo dell’unità di lunghezza nella direzione della forza.
Quindi nel sistema SI l’unità di lavoro è 1 Newton-metro, detto
joule (J)
Il Lavoro è una quantità scalare ed altro non è che il prodotto scalare dei vettori Forza
F
e spostamentod
L = F • d
Definizione del Lavoro per forze costanti
Lavoro compiuto da una forza costante
Lavoro: L = Fd
Si misura in (newton) x (metro) = joule (J)
Dimensionalmente: L = Fd = (ma)(d) = [M][LT
-2][L] = [M][L
2][T
-2]
L = 0 quando d = 0
In questo esempio: forza e spostamento paralleli
15
Quanti joule sono...
Attività Lavoro (J)
Utilizzazione annuale
di energia in Italia 10
19Cibo mangiato in media in un giorno
da una persona
10
7Lampadina da 100 W per 1 minuto 6 10
31 battito del cuore 0.5
Salto di una pulce 10
-7Rottura di un legame di DNA 10
-2016
w
Esercizio
Un’automobile di massa m = 850 kg scende in folle lungo una strada inclinata di un angolo q = 20
orispetto all’orizzontale. Se l’aria esercita
una forza costante di 1.5 kN in direzione opposta al moto e l’auto percorre una distanza d = 2.0 km, qual è il lavoro totale fatto sull’auto ?
N
d
faria
w sen q
MJ 2.7
J 10
2.7
6=
=
0 d =
Asse y L = 0
( - f mg senθ ) d
L =
aria+ =
Asse x
(
+ )
== (-1.5 103 N (850kg) (9.8ms-2) (sen 20o) 2.0 103 m N
w faria
d
17
Lavoro fatto da una forza variabile
Consideriamo il caso di una forza che varia soltanto in modulo, che agisce lungo la
direzione
x
, e supponiamo di conoscere come varia il moduloF
in funzione dix.
Ci poniamo il quesito di calcolare il lavoro fatto da questa forza variabile quando il punto materiale si sposta dax
1 ax
2.
Supponiamo per esempio di sapere che la funzioneF(x)
sia come in figura:
x F(x)
x
1x
20
x F(x)
x
1x
20
Dividiamo lo spostamento totale
x
1 →x
2 in tanti piccoli intervalli consecutiviΔx.
Il lavoro fatto falla forza
F
nello spostare il punto materiale dax
i ax
i+ Δx,
assumendo che la forza sia costante nell’intervallo in questione , sarà dato da
ΔL
=F(x
i) Δx
Δx
ΔL
=F(x
i) Δx =
area del rettangolox F(x)
x
1x
20
Il lavoro totale fatto forza
F
nello spostare il punto materiale dax
1 ax
2,
sarà dato approssimativamente dalla somma di un numero di termini come di seguito:
L
12≈ ∑ F(x
i) Δx
Δx
x F(x)
x
1x
20
Per migliorare la nostra approssimazione, possiamo suddividere in intervalli
Δx
sempre più piccoli.
L
12≈ ∑ F(x
i)Δx
Δx
Otterremo un risultato esatto per il lavoro fatto dalla forza
F(x)
nello spostare il punto dax
1 ax
2, attraverso un processo al limite:L
12= lim ∑ F(x
i) Δx = F(x) dx
Δx → 0
∫ x x12
x F(x)
x
1x
20
Questa relazione definisce l’integrale di F rispetto a
x
dax
1 ax
2 e numericamente è esattamente uguale all’area indicata in figuraSupponiamo di avere una molla attaccata ad una parete, e supponiamo che nel suo stato di equilibrio l’estremità della molla sia posizionata alla coordinata
x
0x
0x
La forza esercitata dalla molla quando è stata allungata fino ad un certo valore
x
dalla sua posizione di equilibriox
0, è data dalla cosiddetta Legge di Hooke:F = − k (x−x0)
e il suo verso è sempre opposto allo spostamento da
x
0x
0x
F
k
= costante elastica della mollaQuando la molla è allungata
x > x
0; quando la molla è compressax < x
0La forza
F
è sempre diretta versox
0, e quindi cambia segno quando il suo estremo passa per la posizione di riposox
0x
0x
x
0x
Possiamo assumere
x
0= 0
e la formula diviene semplicementeF = − k x
24
Per deformare la molla, è sufficiente applicare alla molla una forza
F’
esattamente eguale e contraria alla forzaF
esercitata dalla molla su di noi.La forza che applicheremo sarà quindi:
F’ = kx.
Il lavoro fatto da questa forza
F’
per allungare la molla da0
ax
è:L = kxdx = ½ kx ∫ 0 x
2Come calcolare un integrale così semplice, in modo grafico: (l’integrale è l’area….)
F’(x)
x kx
Area =
½ kx
2Il caso che abbiamo trattato è molto semplice, infatti abbiamo preso in esame:
a) uno spostamento che avviene lungo un asse
x
b) una forza
F
che varia solo in modulo, ma ha sempre direzione lungo lo stesso assex
Conosciamo la dipendenza di F dallo spostamento, cioè
conosciamo F(x)
Più in generale la forza
F
può variare sia in direzione che in modulo, e la particella su cui questa forza è applicata può muoversi lungo un cammino curvilineo. Per calcolare il lavoro in questo caso generale, dobbiamo conoscere l’angolo θ fra la forzaF
in un dato punto della traiettoria e lo spostamento infinitesimods
in quello stesso punto.ds
F
θ
In questo caso dovremmo integrare la seguente:
dL = F • ds = F cos θ ds
Potenza
Fin qui non abbiamo considerato il tempo impiegato per compiere un dato lavoro.
E in base alla definizione di lavoro, non c’è dubbio che per spostare un corpo
ad una data altezza, compiamo lo stesso lavoro
L
, qualsiasi tempot
ci impieghiamo.Non c’è dubbio, tuttavia, che il tempo impiegato per compiere un dato lavoro, o meglio la rapidità con cui viene compiuto, può essere rilevante in alcune applicazioni.
Rifacendoci al concetto di derivata che abbiamo già introdotto in diverse occasioni, definiremo la potenza
P
come la rapidità con cui il lavoroL
è compiuto, quindi:P = dL / dt (potenza istantanea)
<P> = ΔL / Δt (potenza media)
Ovviamente, se la potenza è costante nel tempo:
P = L t
Avendo adottato nel sistema SI il joule come unità di misura del lavoro, l’unità di misura della potenza sarà
1 joule /s denominato
Watt .
Unità di misura della Potenza
Energia cinetica
Supponiamo il caso in cui la risultante
F
delle forze applicate ad una massam
sia costante (in termini vettoriali cioè sia in modulo che in direzione e verso). Come sappiamo, una forza costante imprime alla massa in questione una accelerazione costantea
, data dalla II Legge di Newton:a = F / m
Scegliamo come sistema di riferimento l’asse delle
x
coincidente con la direzione comune della forzaF
e dell’accelerazionea
, e calcoliamo il lavoro fatto dalla forzaF
nello sposare la massam
di una quantitàx.
d=x x
F a
0 x
Il prodotto scalare fra i due vettori
F
ed L = F • d
in questo caso si riduce ad una semplice moltiplicazione:F x
. Stiamo parlando di un moto uniformemente accelerato (a
= costante, in senso vettoriale, quindi in modulo, direzione e verso), e quindi rettilineo.La forza, l’accelerazione e lo spostamento hanno quindi la stessa direzione.
Il prodotto scalare
F • d
si riduce al prodotto dei moduli dei due vettori.L = F x
Essendo
a
= costante, dalle equazioni del moto definite in cinematica sia ha:v = v
0+ a t
→a = (v –v
0) / t x = <v> t
→x = ½ (v+v
0) t
Dove
v
0 è la velocità della particella at
= 0 ev
è a sua velocità all’istantet
Il lavoro
L = F x
è quindi dato da:L = F x = ma x = m (v –v
0) / t x ½ (v+v
0) t =
= ½ mv
2− ½ mv
02 (ricordate i «prodotti notevoli» ?)Definiamo questa quantità l’Energia Cinetica (energia di movimento) della massa
m
e la indicheremo col simboloK
K= ½ mv
2In base a questa formulazione quindi:
Il lavoro fatto da una forza su una particella è uguale alla sua
variazione di Energia Cinetica
Sebbene abbiamo ricavato questa formulazione nel semplice caso di una forza costante, si dimostra che la formulazione è del tutto generale e vale anche nel caso di una forza
variabile. Supponiamo per esempio il caso di una forza
F
che varia in modulo, in funzione della posizione, ma non in direzione. Consideriamo lo spostamentos
nella direzione dell’assex.
Il lavoro fatto dalla forzaF
per spostare la particella dax
0 ax
è dato da:∫ x x0
L = F • d = F(x) dx
In base alla II Legge di Newton
F=ma
. L’accelerazionea
può essere scritta come:a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = (dv/dx) v = v dv/dx
Quindi:
F = ma
diventaF = m v dv/dx
e di conseguenza:∫ x x0
L = F(x) dx = [mv (dv/dx)]dx = mv dv =
= ½ mv
2− ½ mv
02∫ x x0 ∫ v v0
Si dimostra che anche nel caso in cui la forza non solo varia in modulo, ma varia anche in direzione, in ogni caso risulta sempre che il lavoro fatto dalla risultante delle forze su una particella è eguale alla sua variazione di energia cinetica :
L (lavoro della forza risultante) = K –K
0= ΔK
(Teorema Lavoro-Energia)
Il caso del moto circolare uniforme
Non dobbiamo dimenticare che il lavoro è il prodotto scalare della forza per lo
spostamento. Ciò che è rilevante pertanto è la componente della forza nella direzione dello spostamento. In tutti i casi in cui la forza applicata risulta ortogonale allo
spostamento, risulta evidente che
L = 0
. Per esempio nel moto circolareuniforme, la forza centripeta, istante per istante, è ortogonale allo spostamento e pertanto tale forza NON compie lavoro sulla massa
m
in questione.In generale, una forza che determina una variazione della sola direzione della velocità, ma non del suo modulo, NON compie lavoro. Infatti, se una forza avesse una
componente nella direzione del moto (così da avere
L ≠ 0
), allora determinerebbe anche una variazione del modulo della velocità.Sul significato di lavoro negativo
Supponiamo che l’energia cinetica K di una particella diminuisca. Allora
il lavoro
L
fatto su di essa dalla risultanteF
delle forze applicate risulta negativoL = K − K
0< 0 se K < K
0• Questa equazione può essere interpretata affermando che l’energia cinetica di una particella diminuisce di una quantità eguale al lavoro da essa prodotto per contrastare una forza (così come aumenta di una quantità uguale al lavoro ricevuto da una forza)
• In sostanza: una particella in moto possiede una certa quantità di energia, sotto forma di energia cinetica (energia di movimento). Non appena produce lavoro, perde
energia cinetica (cioè velocità).
• Quindi: l’energia cinetica di un corpo in movimento è pari al lavoro che produce nel fermarsi.
Ecco il significato del teorema lavoro-energia: il lavoro produce energia, l’energia
restituisce lavoro in pari misura. In senso figurativo potremmo affermare che entrambe sono due grandezze fisiche in cui in sostanza l’energia appare come «accumulata»
Supponiamo per esempio che un blocco di massa
m
si muova su un tavolo senza attrito ad velocità costantev
. Lungo il suo percorso incontra una molla ancorata ad una parete che lo porta a riposo, cioè lo ferma. In base al teorema lavoro-energia, possiamo per esempio determinare di quanto si comprime la molla se la sua costante elastica è nota.Il blocco in movimento possiede una energia cinetica
K
data dalla relazione:K= ½ mv
2Questa energia cinetica eguaglia il lavoro che il blocco esegue sulla molla nell’arrestarsi, e che è dato dalla:
L = F(x) dx ∫0x
dove: F(x) = kx
→ L = ½ kx
2
Eguagliando lavoro ed energia, si ha pertanto
½ kx
2 =½ mv
2Da cui possiamo ricavare la compressione della molla
x:
x = (mv/k)
1/2E interessante verificare che se lasciamo la molla libera di espandersi, la massa
m
riacquista interamente l’energia cinetica ceduta alla molla sotto forma di lavoroEcco il significato del teorema lavoro-energia: il lavoro produce energia, l’energia
restituisce lavoro in pari misura. In senso figurativo potremmo affermare che entrambe sono due grandezze fisiche in cui in sostanza l’energia appare come «accumulata»
Quello che avevamo appena affermato sul significato del teorema lavoro energia
Energia Potenziale Energia cinetica
E questo ci ricorda qualcosa che avevamo intuito durate la prima lezione, discutendo in modo del tutto qualitativo i concetti di energia potenziale e energia cinetica
E infatti, vedremo che la definizione di questa grandezza fisica, il lavoro, ci conduce verso la definizione dell’energia potenziale.
La Legge di conservazione dell’energia
Forze conservative e forze non conservative
Consideriamo un pallone che viene lanciato verso l’alto con una velocità inziale
v
0, il che corrisponde ad una energia cinetica inzialeK
0= ½ mv
02Cosa possiamo notare ?
A causa della forza di gravità
F = -mg
la sua velocitàdecresce, fino ad annullarsi una volta raggiunto il punto più alto
y
max . Di conseguenza in questo puntoK = 0
Poi la il pallone inverte il suo moto e la sua velocità, e di
conseguenza la sua energia cinetica aumenta, fino ad arrivare allo stesso valore inziale, quando arriva a terra
y
0
y
maxv=v
0→ K
0= ½ mv
02v=0 → K=0
Avevamo visto che un corpo dotato di energia cinetica è in grado di effettuare lavoro (a scapito della sua energia cinetica):
Non c’è dubbio che nel caso della palla lanciata verticalmente, dopo un viaggio di andata e ritorno, la capacità della palla a fare lavoro è ritornata la stessa, è stata conservata.
y
0
y
maxv=v
0→ K
0= ½ mv
02v=0 → K=0
Se per esempio posizionassimo a terra una molla che la palla intercetta prima di toccare il suolo…..:
E questo ovviamente vale anche per il corpo che viaggiava In orizzontale: se nel suo viaggio di ritorno, verso sinistra, incontra un’altra molla, è di nuovo in grado di comprimerla a scapito della sua energia cinetica.
Le forze per cui si osserva questo fenomeno si chiamano forze conservative:
lo è la forza esercitata da una molla, come lo è la forza gravitazionale
In un esperimento di questo tipo, l’energia cinetica viene ceduta e riacquisita periodicamente
Le forze conservative, come la forza di una molla o come la forza gravitazionale, sono in grado di restituire ad una massa
m
la sua energia cinetica.Le forze non conservative come le forze di attrito, o di deformazione non elastica
NO!!!
Il blocco NON riacquista la sua energia cinetica !!!
Quindi: se in parallelo ad una forza conservativa (per esempio la forza gravitazionale) è presente anche una forza non conservativa, per esempio l’attrito dell’aria, non tutta l’energia cinetica della massa
m
sarà restituita:Se per esempio il pallone nel suo viaggio di andata e ritorno in verticale è soggetto all’attrito dell’aria, il pallone tornerà al punto di partenza con meno energia cinetica di quanto ne possedeva alla partenza.
Possiamo definire le forze conservative in base al lavoro
L
da esse eseguito:Se non vi è variazione di energia cinetica di una massa
m
alla fine di un certo percorso,il lavoro fatto su di esso lungo lo stesso percorso è nullo. Ciò deriva dal teorema lavoro-energia
L = ΔK = 0
Nel caso del pallone lanciato in verticale, il lavoro negativo fatto dalla forza di gravità durante la fase di salita (in cui la massa
m
perde energia cinetica), è uguale ma di segno opposto al lavoro positivo eseguito sulla massam
nella fase di discesa in cui la massa riacquista la sua energia cinetica.Quindi: il lavoro fatto dalla forza di gravità in un ciclo completo è nullo.
Più in generale: una forza si dice conservativa se il lavoro fatto su una massa m in un ciclo completo (cioè un ciclo chiuso) è nullo.
Nel caso delle forze d’attrito, queste si oppongono al moto della massa
m
sia in salita che in discesa, rendendo negativo il lavoro totale fatto in un ciclo completo, con una perdita netta di energia cinetica da parte della massam
. Queste infatti sono forze non conservativeUna conseguenza interessante è che dati due punti
A
eB
, il lavoro fatto da una data forza conservativaF
nel muovere una massam
daA
aB
è indipendente dal percorso effettuato.
A
B
Questo è proprio una conseguenza del fatto che il lavoro eseguito da una forza conservativa su una massa
m
in un ciclo completo (cioè un ciclo chiuso) è nullo.Consideriamo per esempio il lavoro fatto dalla forza di gravità per spostare una massa
m
daB
adA
lungo il percorsoB-C-A
A
B
C h
Il lavoro risulta essere:
L = m g h
Il lavoro fatto per chiudere il tratto
A-B
lungo uno qualsiasi dei percorsi di ritorno indicati, dovrà essere necessariamente
L = − m g h
Questo in quanto su ciclo chiuso
B → B
deve risultare
L = 0
A
B
In sostanza, ciò che risulta rilevante ai fini del computo del lavoro
L
effettuato da una forza conservativaF
nel muovere una massa daA
aB
è la sola componente del segmentoA-B
lungo la direzione della forzaF,
o le componenti dei segmenti verticali infinitesimiΔh
lungo la direzione della forza, la cui sommatoria è sempre:F = -mg
∑ Δh = h
per il percorso in salita∑ Δh = −h
per il percorso in discesaIn sostanza, quando la massa
m
si muove dalla quotaA
alla quotaB
, il lavoro fatto dalla forza in questione è negativo (si deve fare lavoro contro la forza di gravita: il pallone lo fa a scapito della sua energia cinetica)B
A
Quando invece la massa
m
si muove dalla quotaB
alla quotaA
, il lavoro fatto dalla forza in questione è positivo (il pallone riacquista la sua energia cinetica)B
A
Al contrario, nel caso di forze NON conservative, per esempio le forze d’attrito, il lavoro fatto dalla forza in questione dipende dal percorso seguito per spostarsi fra il punto iniziale e il punto finale e in generale il lavoro lungo un ciclo chiuso NON è nullo.
Supponiamo per esempio un corpo che si muove su un tavolo, dotato di attrito, da un punto
A
ad un puntoB
seguendo di volta in volta percorsi differenti:A
B
Al contrario, nel caso di forze NON conservative, per esempio le forze d’attrito, il lavoro fatto dalla forza in questione dipende dal percorso seguito per spostarsi fra il punto iniziale e il punto finale e in generale il lavoro lungo un ciclo chiuso NON è nullo.
Supponiamo per esempio un corpo che si muove su un tavolo, dotato di attrito, da un punto
A
ad un puntoB
seguendo di volta in volta percorsi differenti:A B
56
Al contrario, nel caso di forze NON conservative, per esempio le forze d’attrito, il lavoro fatto dalla forza in questione dipende dal percorso seguito per spostarsi fra il punto iniziale e il punto finale e in generale il lavoro lungo un ciclo chiuso NON è nullo.
Supponiamo per esempio un corpo che si muove su un tavolo, dotato di attrito, da un punto
A
ad un puntoB
seguendo di volta in volta percorsi differenti:A
B
In qualsiasi direzione si stia muovendo ad ogni istante il corpo in questione, la forza di attrito si oppone sempre al suo moto, quindi effettua sempre un lavoro negativo a scapito dell’energia cinetica del corpo.
A B
58
E quindi anche lungo un ciclo chiuso, il lavoro NON risulta nullo, ma negativo, con una perdita netta di energia cinetica
A
B
Possiamo adottare indifferentemente le due definizioni di forze conservative, che sono una la conseguenza dell’altra.
Una forza si dice conservativa se il lavoro da essa eseguito nello spostare un corpo
da un punto ad un altro dipende solo dalla posizione dei due punti e non dal percorso seguito.
Una forza si dice conservativa se il lavoro da essa eseguito nello spostare un corpo lungo un percorso chiuso risulta nullo.
Energia potenziale
Abbiamo visto che il lavoro fatto da una forza conservativa su di una particella dipende soltanto dal punto di partenza e da punto di arrivo.
Ne consegue che una tale forza può dipendere solo dalla posizione della particella, e non per esempio dal tempo, o dalla velocità della particella.
Per esempio se la forza dipendesse dal tempo, adottando fra i due punti
A
eB
un percorso che ci fa impiegare più tempo, il lavoro risulterebbe differente rispetto a quello risultante per un percorso che ci fa impiegare meno tempo. Il che abbiamo visto che non è il caso.Consideriamo il caso di un percorso rettilineo di una massa
m
. Il lavoro fatto dalla risultanteF
delle forze applicate alla massa in questione è uguale alla variazione di energia cinetica della massam
L = Fdx = ½ mv ∫ x x
0 2− ½ mv
02Nel caso di un moto unidimensionale, tutte le forze che dipendono dalla posizione sono conservative. Se
F
dipende solo dax
, l’energia cinetica del corpo dipende anche essa solo dax
. Può essere diversa in posizioni differenti dell’assex
ma è sempre la stessa in un dato punto. L’esempio della palla lanciata verticalmente in alto o di una massa che incide su una molla illustrano questo caso.In queste condizioni stabiliremo che ogni variazione dell’energia di movimento,
l’energia cinetica, lungo il percorso, è associata ad una variazione di segno opposto dell’energia di posizione, l’energia potenziale.
Rappresentando con
U
l’energia potenziale, questo enunciato risulta espresso dalla formulaΔK = −ΔU
In base al teorema lavoro-energia che abbiamo appena riscritto, la variazione di energia cinetica vale:
ΔK = F(x)dx
da cui ne segue che:
ΔU = − F(x)dx
Questa quantità è funzione soltanto della posizione
∫ x x
0∫ x x
0Notiamo che in generale :
ΔU = − F(x)dx = F(x)dx
(abbiamo invertito gli estremi di integrazione)Quindi possiamo scrivere:
ΔU = U(x) –U(x
0) = F(x) dx
Cioè: la variazione dell’energia potenziale che si osserva posizionandosi in un punto
x
, rispetto al valore in un punto di riferimentox
0 è il lavoro fatto dalla forza quando la particella si muove dal puntox
al puntox
0∫ x x
0∫ x x
0∫ x x
0U(x) –U(x
0) = F(x) dx ∫ x x
0Confrontando la formula appena enunciata:
con la formula del teorema lavoro-energia:
Fdx = ½ mv
2− ½ mv
02∫ x x
0ci rendiamo conto che possiamo riscrivere quest’ultima come segue, semplicemente invertendo di segno ambo i membri dell’equazione
− Fdx = ½ mv ∫ x x
0 02− ½ mv
2Dove il primo membro è uguale a
U(x) –U(x
0)
(cambiando il segno e invertendo i limiti)Risulta quindi:
U(x) –U(x
0) = ½ mv
02− ½ mv
2cioè:
U(x) + ½ mv
2= U(x
0) + ½ mv
02Si noti che in questa equazione compaiono soltanto posizione e velocità
Il membro di destra di questa equazione dipende soltanto dalla posizione
e dalla velocità iniziali
v
0ex
0 e la quantitàU + K
a sinistra si mantiene pertanto costante ed uguale al valore iniziale in qualsiasi puntox
durante il moto unidimensionale.Definiremo l’energia meccanica totale la quantità
E = U + K
Questa quantità si conserva durante il moto quando la forza in gioco è conservativa
67
In sostanza, abbiamo ricavato la Legge di Conservazione dell’Energia Meccanica (cinetica + potenziale):
E = U + K
di cui avevamo intuito fin dalla prima lezione l’esistenza.
Energia potenziale
U
Energia cineticaK
Energia MeccanicaE
I due esempi classici di sistemi conservativi unidimensionali
Due esempi classici di forze conservative sono la forza di gravità e la forza di richiamo di una molla
Nel caso della forza di gravità, il moto unidimensionale è verticale. Assumendo l’asse positivo delle
y
diretto verso l’alto, la forza di gravità risulta diretta secondo il versonegativo delle
y
. Si ha quindi:F = −mg
= costante (che rappresenta un caso particolare di una forza dipendente dalla posizione).Per l’energia potenziale potremo scrivere pertanto:
U(y) – U(0) = (−mg) dy = mgy
Il caso della forza di gravità
= Fdy ∫ y 0 ∫ y 0
Adottando una energia potenziale nulla per
y =
0, si ha semplicemente:U (y) = m g y
Il fatto che l’energia potenziale di una massa m ad una certa altezza dal suolo cresca con l’altezza è certamente coerente con la nostra esperienza quotidiana:
Maggiore è l’altezza
h
dalla quale lasciamo cadere una massam
, maggiore è la velocità (e quindi l’energia cinetica) con cui arriva al suolo.Il caso della forza di una molla
Consideriamo la forza esercitata da una molla elastica su di una massa
m
che si muove su di una superficie orizzontale (priva di attrito), e consideriamo ilpunto
x
0 = 0 come posizione di equilibrio della molla. La forzaF
esercitata sulla massam
quando la deformazione è
x
valeF = −k x
dovek
è la costante elastica della molla L’energia potenziale è data dalla formula:U(x) − U(0) = (−kx) dx
Se scegliamo
U(0) = 0 ,
l’energia potenziale, come pure la forza, è nulla nella posizione di riposo della molla e risulta:U(x) − U(0) = (−kx) dx = ½ kx
2 (metodo grafico delle aree)∫ x
0
∫ x
0
Sistemi conservativi a 2 e 3 dimensioni
Tutto quanto abbiamo discusso fino adesso per il caso unidimensionale, in cui la forza era orientata lungo la direzione del moto si può facilmente generalizzare al caso di un moto in più dimensioni.
L’ipotesi che stiamo considerando è comunque quella in cui il lavoro fatto da una data forza
F
dipende soltanto dai punti estremi del moto del percorso.In questo caso la forza in questione è una forza conservativa.
In questo caso, l’energia potenziale U sarà una funzione delle coordinate
x,y, z
dello spazio in cui avviene il moto , e cioèU = U(x,y,z)
E di nuovo troveremo che l’energia meccanica è conservata:
K + U = E =
costanteCioè:
½ mv
x2+ ½ mv
y2+ ½ mv
z2+ U(x,y,z) = E
Forze non conservative
Ricapitoliamo:
Partendo dal teorema lavoro-energia:
L = ΔK
abbiamo trovato che quando la risultante
F
delle forze è conservativa, il lavoro fatto può essere espresso come diminuzione dell’energia potenziale:−ΔU = ΔK
Questo ci ha condotto all’idea della conservazione dell’energia cinetica + energia potenziale, cioè:
ΔK + ΔU = 0 Δ(K + U) = 0
K + U =
costanteAbbiamo chiamato questa costante
E,
energia meccanica totale del sistemaSupponiamo adesso che fra le forze agenti sulla massa in questione ve ne siano alcune non conservative. Il lavoro fatto dalla risultante delle forze sarà uguale alla somma del lavoro fatto dalle forze conservative e da quelle non conservative:
In base al teorema lavoro-energia, potremo quindi scrivere sempre:
L
conserv+ L
non-conserv= ΔK
D’altra parte, il lavoro fatto dalle forze conservative può essere scritto come diminuzione dell’energia potenziale:
L
conserv= −ΔU
Da cui:
L
non-conserv= ΔK + ΔU
E cioè:
L
non-conserv= Δ(K + U) = ΔE
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L
non-conserv= Δ(K + U) = ΔE
Quindi: in presenza di forze non conservative, l’energia meccanica totale
E
di un sistema non è costante, ma cambia di un ammontare pari al lavoro effettuato dalle forze non conservative.Nel caso della forza dissipativa come la forza d’attrito, cosa ne è stato dell’energia meccanica totale ? In questo caso, l’energia meccanica si è trasformata in calore,
e risulta che l’energia termica sviluppata è esattamente eguale alla energia meccanica dissipata
La conservazione dell’energia
Abbiamo visto che nel caso di forze non conservative risulta che il teorema lavoro energia può essere scritto come segue:
L
non-conserv= ΔK + ΔU
In generale la formulazione più corretta sarà:
L
non-conserv= ΔK + ∑ ΔU
dove il simbolo di sommatoria si riferisce ai contributi di energia potenziale di tutte le forze conservative presenti.
Allo stesso tempo, possono essere presenti diverse forze non conservative, di cui la forza di attrito che abbiamo visto che sviluppa energia termica è solo un esempio.
Una importante affermazione, che fino adesso non è stata mai contraddetta dai risultati sperimentali è la seguente:
L’energia totale di un sistema, come risulta dalla somma
dell’energia cinetica, dell’energia potenziale, dell’energia termica
e di altre forme di energia, non cambia
79
Alcune considerazioni:
Abbiamo iniziato l’approccio alla conservazione dell’energia parlando della conservazione dell’energia meccanica
K+U
.Poi abbiamo scoperto che l’energia meccanica si conserva solo nel caso di forze conservative.
Per esempio nel caso di forze d’attrito, l’energia meccanica non si conserva ma viene dissipata in energia termica
Adesso abbiamo affermato che l’energia totale di un sistema, come risulta dalla somma dell’energia cinetica, dell’energia potenziale, dell’energia termica e di altre
forme di energia, non cambia
Sembra quasi che si voglia rincorrere assolutamente un teorema (la conservazione dell’energia, appunto) invocando eventuali altre forme di energia, laddove
apparentemente l’energia non si sarebbe conservata.
Di fatto è l’esperienza che ci conferma la veridicità del teorema.
La forza gravitazionale è conservativa
L
totale= L
AB+ L
BC+ L
CD+ L
DA= 0-mgh +0 + mgh = 0
L=0 L=0
L= - mgh L=mgh
montagne russe
81
L’attrito è una forza non conservativa
Vista di fronte muro mattoni
Il lavoro dipende dal percorso scelto. Se si andasse da A a B procedendo a zig-zag il lavoro sarebbe maggiore perché si farebbe più strada
Vista di lato muro mattoni
F
F
N
Una forza conservativa
applicata lungo un percorso chiuso compie un lavoro totale nullo
L1
L2
L3
0 L
L
1+
2= 0 L
L
1+
3= L =
2L
3Il lavoro fatto da una forza conservativa è indipendente dal percorso
83
F × ds
ò = 0
L= - mkmgd
L= - mkmgd
L= - mkmgd
L= - mkmgd
Esempio 1
Un blocco di massa
m
scivola lungo una superficie curva priva di attrito come in figura.In ogni istante, la forza normale N risulta perpendicolare alla superficie e quindi alla direzione del moto e pertanto NON esegue lavoro.
Soltanto la forza gravitazionale compie lavoro e questa forza è
conservativa. Pertanto l’energia meccanica si conserva e scriveremo:
mgy
1+ ½ mv
12= mgy
2+ ½ mv
22Da cui si ricava:
v
22= v
12+ 2 g (y
2– y
1)
Se il blocco inizialmente è a riposo ad una quota
y = h
, si ha quindi:v
2= (2 g h)
½Esempio 2
Supponiamo di disporre di una molla con costante elastica k = 800 nt/m, posizionata come in figura.
Supponiamo di comprimere la molla di 0,05 m rispetto alla posizione di equilibrio e di porre davanti la molla un biglia di 0,02 kg.
Facendo l’ipotesi che la superfice orizzontale sia priva di attrito, con quale velocità la palla si distaccherà dalla molla ?
Trattandosi di una forza conservativa (la forza esercitata dalla molla), l’energia meccanica si conserva.
L’energia meccanica iniziale è l’energia potenziale della molla:
½ k x
2L’energia meccanica finale è l’energia cinetica della biglia:
½ mv
2Pertanto scriveremo
: ½ k x
2= ½ mv
2Da cui risulta:
v = x (k/m)
1/2= 0,05m x ((800 nt/m)/0,02 kg)
1/2v = 10 m/s
N
Esempio 3
Consideriamo un pendolo semplice. Il moto si svolge nel piano x-y, si tratta cioè di un moto bidimensionale. La tensione del filo è sempre perpendicolare alla traiettoria della massa
m
per cui tale forza non compie lavoro. Se il pendolo viene spostato di un angolo θ dalla sua posizione di equilibrio e poi lasciato libero, soltanto la forza gravitazionale compie
lavoro sulla massa m. Poiché si tratta di una forza conservativa, possiamo applicare la legge di
conservazione dell’energia in due dimensioni e scrivere:
½ mv
x2+ ½ mv
y2+ U(x,y) = E
x
y
½ mv
x2+ ½ mv
y2+ U(x,y) = E
Possiamo porre:
v
x2+ v
y2= v
2 dovev
è la velocità lungo l’arcoInoltre
U = m g y
dove l’origine dell’assey
coincide col punto più bassoQuindi:
½ mv
2+ m g y = E
Quando posizioniamo la massa ad un angolo θ ed un’altezza
h
, la sua energia cinetica ènulla, quindi:
E = m g h
In ogni punto sarà quindi:
½ mv
2+ m g y = m g h → ½ mv
2= m g (h –y)
Quindi la velocità massima si ha per
y = 0
ed èv = (2 g h)
1/2La velocità minima risulta in
y = h
dovev = 0
Esempio 4
Un blocco di 10 kg viene lanciato in salita lungo un piano inclinato di 30° con una velocità inziale di 5 m/s. Il blocco percorre 2 m, si ferma e poi ritorna alla base.
Quesito: Calcolare la velocità con cui il blocco ritorna alla base, e la forza d’attrito
f.
30°
Quando siamo alla sommità del moto, l’energia cinetica è zero, mentre l’energia potenziale è data
dal lavoro esercitato contro la forza di gravità, a scapito appunto dell’energia cinetica.
U = m g h =
= (10kg) (9,8 m/s
2) (2m) (cos 60°) = 98
joule Alla base, dove il moto è iniziato èU = 0
mentre l’energia cinetica eraK = ½ m v
2= ½ (10kg) (5 m/s)
2= = 125 joule
Esempio 4
Un blocco di 10 kg viene lanciato in salita lungo un piano inclinato di 30° con una velocità inziale di 5 m/s. Il blocco percorre 2 m, si ferma e poi ritorna alla base.
Quesito: Calcolare la velocità con cui il blocco ritorna alla base, e la forza d’attrito
f.
30°
Quando siamo alla sommità del moto, l’energia cinetica è zero, mentre l’energia potenziale è data
dal lavoro esercitato contro la forza di gravità, a scapito appunto dell’energia cinetica.
U = m g h =
= (10kg) (9,8 m/s
2) (2m) (cos 60°) = 98
joule Alla base, dove il moto è iniziato èU = 0
mentre l’energia cinetica eraK = ½ m v
2= ½ (10kg) (5 m/s)
2= = 125 joule
Risulta una differenza netta di energia di
98 joule − 125 joule = −f x 2 m
da cui risulta:
f = 27 joule / 2 m = 13,5 nt
Consideriamo adesso la discesa. Alla sommità avevamo:
U = 98 joule
La perdita di energia cinetica dovuta all’attrito durante la discesa sarà sempre
27 joule,
per cui l’energia cinetica all’arrivo sarà98 – 27 = 71 joule
Da cui
½ m v
2= 71 joule → v = (71 x 2 / 10kg)
1/2= 3,7 m/s
Riassumendo:
• La massa parte con una velocità in salita di 5 m/s
• Ritorna al punto di partenza con una velocità di 3,7 m/s
• Questo è dovuto alla perdita netta di energia, che si è trasformata in calore a causa dell’attrito sia in andata che in ritorno.
Pertanto se quando la massa torna al punto di partenza trova una molla che semplicemente le inverte il moto, risalirebbe ma percorrendo una distanza
minore, e arriverebbe al punto di partenza con una velocità sempre più bassa, fino a fermarsi.