Facolt` a di Agraria

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Facolt` a di Agraria

Prova scritta di Matematica

A.A. 2000-2001 Appello del 20/12/2001

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli protocollo di cui ` e composto l’elaborato.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

1. Data la funzione

f (x) = x

(11 − √ 3x) ² 1. determinarne il dominio;

2. determinare in quali intervalli f `e crescente e in quali decrescente;

3. determinare in quali intervalli f `e concava e in quali `e convessa;

4. disegnarne un grafico approssimativo.

1. [0, +∞[\{121/3}

2. f ⁰ (x) = 11 (11 − √

3x) ³ ; f `e crescente in [0, 121/3[ e decrescente in ]121/3, +∞[;

3. f ⁰⁰ (x) = 99 2(11 − √

3x) ⁴ √

3x ; f `e convessa in [0, 121/3[ e in ]121/3, +∞[.

121/3 1/3

0

2. Data la successione

a n = n

(11 − √

3n) ² n = 1, 2, 3, ...

1. dire se `e limitata;

2. calcolare estremo superiore e inferiore ri- conoscendo se sono, rispettivamente, massimo e minimo.

1. `e limitata

2. min a n = a 1 ' 0.01,

max a n = max{a 40 , a 41 } = a 40 ' 19279.9

3. Risolvere la disequazione

log ₃ |3 − 2x| + log _1/3 (1 + x ² ) ≥ 0 [−1 − √

3, −1 + √

3]

2 Matematica, 20/12/2001

4. Dato il problema di Cauchy

½ y ⁰ = y log t + t ^t , t > 0 y(1) = 1,

1. stabilire se la funzione y(t) = 1 per ogni t > 0 `e una soluzione;

2. determinare una soluzione e dire se possono esservene altre, giustificando l’affermazione.

Suggerimento: pu`o essere utile osservare che per ogni t > 0 vale l’uguaglianza t ^t = e ^{t log t} .

1. no

2. y(t) = t ^t (e − e ^2−t + e ^1−t ). Non esistono altre soluzioni perch`e l’equazione `e lineare.

5. Si consideri la funzione f : R → f (R) con legge

f (x) =

½ arctg x se x ≤ 0 x ^a se x > 0 dove a `e un parametro reale.

1. Dire per quali valori di a la funzione `e invertibile;

2. dire se per a = 1/2 la funzione `e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa;

3. determinare per quali valori di a, se ne esistono, la funzione f `e continua in ogni punto;

4. determinare per quali valori di a, se ne esistono, la funzione f `e derivabile in ogni punto.

1. a 6= 0

2. f ⁻¹ :] − π/2, +∞[→ R

f ⁻¹ (y) =

½ tg y se − π/2 < y ≤ 0 y ² se y > 0

3. a 6= 0 4. a = 1

6. Calcolare il limite

x→0 lim

arcsen(3x)

arctg(5x) 3/5

7. Determinare le equazioni della retta tangente, della retta normale e della parabola osculatrice alla funzione f (x) = log x nel punto (1, 0) e disegnarle insieme al grafico della funzione.

retta tangente: y = x − 1 retta normale: y = 1 − x

parabola osculatrice: y = − ¹ ₂ x ² + 2x − ³ ₂