Calcolo delle Probabilità 2011/12 – Foglio di esercizi 7
†Variabili aleatorie assolutamente continue multivariate e riepilogo.
Esercizio 1. Sia X una variabile aleatoria reale tale che P(X ∈ A) ∈ {0, 1} per ogni A ∈ B(R). Mostrare che esiste c ∈ R tale che X = c q.c..
Equivalentemente: sia µ una misura su (R, B(R)) tale che µ(A) ∈ {0, 1} per ogni A ∈ B(R).
Allora esiste c ∈ R tale che µ = δc.
Esercizio 2. Un segnale viene trasmesso in un istante aleatorio X. Il ricevitore viene acceso in un istante aleatorio Y e resta acceso per un intervallo di tempo aleatorio Z.
Supponendo che X, Y, Z siano variabili aleatorie indipendenti con X ∼ U [0, 2] e Y, Z ∼ U [0, 1], qual è la probabilità che il segnale venga ricevuto?
Esercizio 3. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio bidimensionale con distribuzione uniforme sul cerchio di raggio unitario. Si determinino, possibilmente senza fare calcoli, le seguenti probabilità condizionali:
P
max(|X|, |Y |) ≤ 1 2√
2
X2+ Y2 ≤ 1 4
, P
max(|X|, |Y |) ≤ 1 2
|X| + |Y | ≤ 1
. [Sugg.: fare qualche disegno.]
Esercizio 4. Consideriamo la funzione f : R2→ R definita da f (x, y) = c y e−xy1[0,∞)×[0,2](x, y) .
Indichiamo con (X, Y ) un vettore aleatorio bidimensionale che abbia f come densità.
(a) Si determini il valore di c affinché f sia effettivamente una densità. D’ora in avanti c assume il valore determinato.
(b) Si determinino le densità marginali di X e Y e si riconosca la legge di Y . (c) X e Y sono indipendenti?
(d) Si determini una densità g : R2 → [0, +∞] diversa da f ma che abbia le stesse marginali.
(e) (*) Si mostri che V := max(X, Y ) è una variabile aleatoria reale assolutamente continua e se ne determini la densità.
(f) (*) Posto U := X + Y , si dica se U e V sono indipendenti. [Sugg.: non è necessario calcolare la densità congiunta di (U, V ).]
Esercizio 5. Siano {Xn}n∈N variabili aleatorie i.i.d. con X1 ∼ U (0, 1).
(a) Poniamo Yn:= − log(Xn) per n ∈ N. Si determini la legge di Yn e si dica se variabili aleatorie {Xn}n∈N sono indipendenti.
(b) Si determini la legge di Sn:= Y1+ . . . + Yn. (c) Si deduca infine la densità di Zn:= X1· X2· · · Xn.
†Ultima modifica: 1 dicembre 2011.
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Esercizio 6. Fissati p ∈ (0, 1) e n ∈ N con n ≥ 2, siano ξ1, . . . , ξn variabili aleatorie i.i.d.
ciascuna a valori in {−1, 1} con P(ξ1 = 1) = p. Definiamo X :=
n
Y
i=1
ξi = ξ1· ξ2· · · ξn. (a) Si determini E(X). Si deduca quindi la legge di X.
(b) X è indipendente dal vettore aleatorio (ξ1, . . . , ξn)?
(c) (*) X è indipendente dal vettore aleatorio (ξ2, . . . , ξn)?
Esercizio 7. Fissiamo s ∈ (1, ∞) e definiamo ζ(s) := X
m∈N
1
ms ∈ (0, ∞) .
Introduciamo quindi la probabilità P su (N, P(N)) definita sui singoletti da P({n}) := 1
ζ(s) 1 ns.
Indichiamo l’insieme dei numeri primi con P := {2, 3, 5, . . .}. Per ogni k ∈ N sia Mk :=
{k, 2k, 3k, . . .} = kN l’insieme dei multipli di k.
(a) Si mostri che P(Mk) = k1s per ogni k ∈ N.
(b) Si mostri che Mp∩ Mq = Mpq se p e q sono primi tra loro. Si deduca che per ogni scelta di ` ∈ N e p1, . . . , p`∈ P si ha T`
i=1Mpi = MQ` i=1pi.
(c) Si deduca che {Mp}p∈P è una famiglia (numerabile) di eventi indipendenti.
(d) Si deduca che
P
\
p∈P
Mpc
= Y
p∈P
P(Mpc) . (e) Si noti che T
p∈PMpc= {1} e si concluda che vale la formula di Eulero:
ζ(s) = Y
p∈P
1
1 − p−s, ∀s ∈ (1, ∞) .
