y x2+ x+ x − 2 Esercizio Risolvere i seguenti problemi di Cauchy (y0 = 1−e2x+1−y y(0

Tutoraggio di Analisi Matematica - Ingegneria Energetica Foglio 8

Esercizio

Si determini l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali

y⁰− y²

x log x = − 1

x log x, y⁰ =^p3 2y + 3 tan²x y⁰= e^xy log y

y⁰ = 2x − y

x − 1 y⁰ = 1

xy −3x + 2

x³ y⁰ = e^x+y y⁰ = e^2x 1 + e^2xy

y⁰ = y²− 5y + 6

x²+ 1 y⁰+ 2xy = xy² x²(1 − y)y⁰+ (1 + x)y²= 0

y⁰ = −y + 1

e^x+ 1 xy⁰ = y + 2x²

1 + x² y⁰ = − y

x²+ x+ x − 2

Esercizio

Risolvere i seguenti problemi di Cauchy

(y⁰ = ^1−e_2x+1^−y y(0) = 1

(y⁰ = ¹₂ y²− 1
cos x y(π) = 3

(y⁰= (1 + y²) sin x y(0) = 1





 y⁰ =

s1 + y 1 + x² y(0) = 2







y⁰= y + arctan x 1 + x² y(0) = 0

(y⁰ = _x+1^3y + e^x(x + 1)³ y(0) = 2

(y⁰ = x³(y²+ 1)(3 + 4 arctan y)² y(0) = 0







y⁰ = 1

(e²+ x) log(e²+ x)(y − 2) y(0) = 0

Esercizio

Risolvere il seguente problema di Cauchy

(e^yy⁰= 4x³log x(1 + e^y) y(√⁴

e) = 0 nella semiretta [√⁴

e, +∞).

1

2

Esercizio

Nell’intervallo (−2, 2) si risolva il seguente problema di Cauchy (y⁰ = _x2^3x₋₄|y|

y(0) = −1

Esercizio

Al variare di α ∈ R, risolvere il seguente problema di Cauchy (y⁰ = (2 + α)y − 2e^αx

y(0) = 3

Stabilire, successivamente, per quali valori di α il seguente integrale improprio

+∞

Z

0

y(x) dx converge.

Esercizio

Data l’equazione differenziale

y⁰sin(2x) − 2(y + cos x) = 0, x ∈

 0,π

2



determinarne l’integrale generale e indicare la soluzione che si mantiene limitata per x → ^π₂⁻.

Esercizio

Siano a, b ∈ R. Risolvere il problema di Cauchy (y⁰= a^y_x + 3x^b

y(2) = 1 sulla semiretta [2, +∞].

Esercizio

Data l’equazione differenziale

y⁰(x) = −3xy(x) + kx, k ∈ R 1. se ne trovi la soluzione che si annulla nell’origine;

2. per tale soluzione, si determini k in modo che y(x) ∼ x² per x → 0.

Esercizio

Data l’equazione differenziale

y⁰ = y²− 2y − 3 2(1 + 4x) 1. determinare l’integrale generale;

3

2. determinare la soluzione che soddisfa la condizione iniziale y₀(0) = 1;

3. scrivere lo sviluppo di Maclaurin di y₀(x) arrestato al secondo ordine.

Esercizio

Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee

y⁰⁰+ y = x cos x y⁰⁰− 3y⁰+ 2y = x² y⁰⁰− y = e^xsin x

Esercizio

Risolvere i seguenti problemi di Cauchy (y⁰⁰− 2y⁰+ y = e^xsin x

y(0) = 0, y⁰(0) = 0

(y⁰⁰− y = (x + 1)e^x y(0) = 0, y⁰(0) = 0

(y⁰⁰+ y = cos x y(0) = 1, y⁰(0) = 2

(y⁰⁰+ 4y = e^x+ 1 y(0) = 0, y⁰(0) = 0

(y⁰⁰− 2y = −2xe^xsin x y(0) = ¹₂, y⁰(0) = ¹₂

(y⁰⁰− 8y⁰+ 16y = 0 y(0) = 1, y⁰(0) = 0