Analisi di una guida a facce piane parallele

Si vuole analizzare, a questo punto, una struttura di questo tipo:

Questa `e una struttura gi`a nota da Campi Elettromagnetici, ma presenta forti analogie con quanto si vuole analizzare, dunque `e un buon punto di partenza; essa verr`a analizzata con il formalismo delle linee di trasmissione

caricate¹. Sostanzialmente, dunque, `e come avere una linea di trasmissione chiusa su due corto-circuiti.

Al fine di modellare il sistema, dunque, possiamo scriverne le equazioni dei telegrafisti:

( −dV

dx = jk_xZ∞I −dI

dx = jk_xY_∞V

eliminando la corrente e sostituendo, si trova l’equazione d’onda per la tensione:

d2V

dx2 + k_x²V = 0

A questo punto, vogliamo trovare i modi TE di questa struttura: E_y 6= 0, H_x,z 6= 0. Trovare i modi, come detto, significa trovare una espressione E_y(x, z) (si considera y ininfluente) con una dipendenza del tipo:

E_y(x, z) = V₀⁺u(x)e^−jβz

Ci`o che si pu`o fare per il problema `e porre l’eguaglianza V₀⁺u(x) = V (x)

nelle equazioni delle linee di trasmissione; si trova, alla fine, il seguente problema, sostituendo l’espressione di k_x:

d2u

dx2 + (k²₀− β2)u(x) = 0

(si ha solo k₀ supponendo che tra i due PEC ci sia il vuoto). Il problema non `e ancora completamente definito: bisogna infatti anche introdurre le condizioni al contorno, ossia:

u d 2  = u  −^d 2  = 0

Data anche la condizione al contorno, il problema `e ben posto e pu`o essere risolto; prima di tutto, dunque, si deve trovare l’integrale generale dell’equa-zione differenziale, e risolverla, ma ci`o `e semplice, dal momento che essa `e

1Il modo pi`u corretto sarebbe basato su una applicazione del formalismo di Marcuvitz e Schwinger, risolvendo il problema agli autovalori (∇2

tΦ + k2

tΦ = 0 e ∇2 tΨ + k2

tΨ = 0), applicando le condizioni al contorno, ma il risultato `e equivalente e non si vuole introdurre una matematica troppo complicata

semplicemente un’equazione delle linee di trasmissione, e quindi un’equazione d’onda, con una componente progressiva e una regressiva:

u(x) = u⁺₀e^−jkxx

+ u⁻₀e^jkxx

A questo punto, su questa, impongo le condizioni al contorno: 0 = u⁺₀e^−jkx^d₂ + u⁻₀e^jkx^d₂, x = ^d

2 0 = u⁺₀e^jkx^d₂ + u⁻₀e^−jkx^d₂, x = −^d

2

Questo significa avere due equazioni in due incognite, quindi si pu`o scri-vere tutto sotto forma di sistema di equazioni algebriche:

" e^−jkx^d₂ ejkx^d₂ e^jkx^d₂ e^−jkx^d₂ #  u+ 0 u⁻₀  = 0

Il sistema lineare `e omogeneo, come del resto ci si poteva aspettare: il problema differenziale di partenza era infatti omogeneo. Al fine di avere soluzioni oltre a quella banale, `e necessario chiedere che il determinante della matrice, chiamata A, sia nullo:

detA = e−jkxd− ejkxd= −2j sin(k_xd) = 0 questa cosa si ha per

kxd = mπ, m = 0, ±1, ±2, ±3... Quindi:

k_x,m = ^mπ d

questi sono i valori degli autovalori del sistema! Data u(x) la autofunzione (autovettore), k_x,m `e l’autovalore.

Abbiamo trovato, per questo sistema, gli autovalori; a questo punto, `e di nostro interesse trovare anche le espressioni degli autovettori: per fare ci`o, `e necessario risolvere il sistema lineare; si pu`o verificare che la soluzione `e:

u⁻₀ = −e^−jkx,mdu⁺₀ tuttavia, si pu`o vedere che:

quindi

= −u⁺₀e^−jmπ

al fine di effettuare l’analisi del risultato, conviene distinguere il caso di m pari a quello di m dispari.

• se m `e dispari, si ha: u<sub>m</sub>(x) = 2u<sup>+</sup><sub>0</sub> cos<sup>mπ</sup> d <sup>x</sup>  • se m `e pari, si ha: u_m(x) = −2ju⁺₀ sin^mπ d ^x 

si parla di u_m: si parla delle autofunzioni u associate a un particolare valore di m.

Si noti che gli interi hanno doppio segno: se invece di m = 1 ho m = −1 non c’`e problema: per m dispari infatti la funzione `e un coseno, e il coseno `

e una funzione notoriamente pari; nel caso di m pari, invece, la funzione cambia segno; questo cambia l’autovettore, ma non nella direzione! Ci`o che conta di un autovettore non `e tanto il segno quanto la sua direzione, quindi va comunque tutto bene.

Queste sono le autofunzioni, ma esse non sono ancora completamente specificate: ci`o che si pu`o a questo punto richiedere `e il fatto che esse siano ortonormali, ossia normalizzate rispetto a una certa costante. Ortogonali in realt`a lo sono gi`a, quindi ci`o che si deve richiedere `e:

Z +^d₂ −d 2 u_m(x)dx = 1 si ricava: u_m(x) = r 2 d^(sin)(cos) mπ d ^x 

Le distribuzioni di campo sono sinusoidali, dunque sono quelle ben note dalla teoria delle guide d’onda; m d`a, sostanzialmente, solo il numero di arcate con cui si ha a che fare.

Curve di dispersione Abbiamo trovato che:

k_x = q k2 0− β2 quindi: β = r k2 0−^mπ d 2

Questo ha una conseguenza importante: data ω (e quindi k₀) come va-riabile, si ha ci`o:

si ha che β = 0 quando il radicando `e nullo; al crescere di ω, quindi, si ha un’iperbole. Essendo un iperbole, si ha un asintoto: per k₀ → ∞, infatti, l’iperbole va sostanzialmente come:

β → ^ω c

questo `e l’asintoto. Questo significa che, per ω → ∞, l’onda “se ne frega” delle pareti: essa si propaga lungo z come se fosse nel vuoto, cosa che invece non capita nel vuoto.

Per ω < ω_c, β diventa immaginario, dunque si ha una curva sostanzial-mente ellittica (o circolare); essa vale:

β = −j^mπ d

Questa, quindi, `e la curva di dispersione per i modi della guida, costituita da specchi perfetti. Quella appena vista `e la teoria analitica per trovare i modi della guida: di questi, quindi, si possono per esempio volere quelli per m = 1, e vedere che essi sono interpretabili come la somma di due onde piane, che “vanno a zig zag” nella struttura.

Osservazioni aggiuntive sull’esempio svolto

Si vuole a questo punto proporre qualche osservazione su ci`o che `e stato appena fatto.

Come detto, si era partiti dalla “guida a specchi perfetti”, ossia all’e-quivalente PEC in ambito ottico; come visto, si `e messo il riferimento “in mezzo” alla struttura: questa fatto spesso `e molto utile, dal momento che la struttura `e visibilmente simmetrica. Il fatto di sfruttare le simmetrie di una struttura per la definizione del sistema di riferimento in cui essa viene

studiata `e molto utile, in strutture complicate, dal momento che la presen-za di simmetria di una struttura rispetto al sistema di riferimento in cui si calcolano le funzioni si va a rispecchiare nelle funzioni che modellano il com-portamento del sistema: per esempio una sorgente potrebbe eccitare i soli modi pari di una struttura e quindi, nel caso di presenza di simmetrie di questo genere, `e possibile senza alcun problema dimezzare i conti da fare.

Si vuole proporre un’analogia, a questo punto, tra il metodo dell’espan-sione modale e l’applicazione del principio delle immagini: la struttura che si sta studiando, infatti, potrebbe essere eccitata da una sorgente filiforme (per esempio un dipolo), posto in mezzo alla struttura, per x = 0 rispetto al riferimento introdotto, proprio al fine di eccitare solo alcuni modi (per esem-pio, in una struttura di questo genere, si ecciterebbero solo i modi pari). Un modo di studiare ci`o `e basato sul prendere l’espressione della funzione, pro-iettarlo nella base delle autofunzioni modali, quindi trovare i modi eccitati; si troverebbe, in questo caso, che solo i modi pari sono eccitati, mentre quelli dispari (quelli che per x = 0 sono nulli) non lo sono. Un metodo alternativo a questo `e basato sull’applicazione del principio delle immagini:

In cosa consiste l’applicazione? Si deve fare qualcosa di particolare: si ha una sorgente tra due piani metallici; quello che si pu`o fare `e considerare un problema equivalente rispetto a uno dei due piani, quindi sdoppiarlo, otte-nendo il secondo passo: il solito piano (nell’esempio quello in alto) che resta dov’`e, idem la sorgente, quindi una seconda sorgente “girata al contrario”, e un altro piano metallico, che rappresenta l’immagine del piano precedente; questo si pu`o quindi riapplicare al piano sotto, trovando qualcosa di analogo, e cos`ı via, fino a ottenere sostanzialmente infinite sorgenti e un solo piano metallico. Il risultato, quindi, `e avere infinite sorgenti equivalenti, al posto di una sola sorgente con due piani metallici.

Applicare ci`o non `e necessario, ma talvolta pu`o essere utile: se si vuole calcolare il campo a una certa distanza (abbastanza lontano dalla sorgente) l’espansione modale `e il metodo pi`u consigliato, dal momento che l’espan-sione modale, come detto, consiste nel prendere le funzioni, espanderle in una serie, e quindi dividere in vari contributi; lontano dalla sorgente, tutta-via, dei vari contributi solo pochi si manterranno intatti, dal momento che solo pochi dei modi si propagano, mentre gli altri si attenuano, dunque le espressioni dei campi sarebbero relativamente semplici; vicino alla sorgente, invece, si avrebbe qualcosa di duale: i campi elettromagnetici vanno secondo la funzione di Hankel bidimensionale:

E_y ∝ H0⁽²⁾(k%) ∼ r

2 πk%^e

Se si `e vicini alla sorgente, questo secondo metodo `e pi`u comodo dal momento che si ha a che fare con degli esponenziali (al contrario del caso in cui si `e lontano, dove il decadimento `e come √¹

%), quindi con espressioni rapidamente convergenti a 0. Si noti che in questo metodo non ha senso parlare di modi, dal momento che in questo caso si indaga sulle espressioni del “campo totale”, non dei singoli modi, quindi quella con cui si ha a che fare `e la somma degli infiniti modi, dei modi gi`a “mescolati” tra loro.

Come gi`a accennato in precedenza, i due metodi sono legati tra loro: la trasformazione tra espansione modale e metodo basato sulle infinite sorgenti `

e dato dalla formula di Poisson (la stessa che si studia in Teoria dei Se-gnali), e ci`o permette di usare un “trucco”: quando si devono fare calcoli, conviene essere nel dominio in cui la funzione converge pi`u rapidamente, co-me in questo caso: a seconda del tipo di problema, ci saranno situazioni in cui la convergenza sar`a pi`u rapida nel dominio “diretto”, altre nel dominio “trasformato”.

Note sui problemi agli autovalori

Si vuole a questo punto introdurre un’ulteriore osservazione, riguardante i problemi agli autovalori. Precedentemente, `e stato proposto e risolto il seguente problema: ( d2u dx2 + (k2 0− β2)u(x) = 0 u ^d₂
= u −d 2
= 0

questo `e un problema di Dirichlet, dal momento che quando si hanno condizioni che annullano il valore del campo ai bordi, si attribuisce alle con-dizioni al contorno il nome “concon-dizioni di Dirichlet”; k2, qui, `e l’autovalore del sistema. Questo sistema `e stato risolto, quindi `e stato detto che

k = ^mπ

a ^{, m = ...}

sono stati gestiti i vari casi di valori assumibili da m, e sono state fatte alcune discussioni.

Precedentemente, `e stata fatta un’introduzione generale sui problemi agli autovalori finito-dimensionali, ossia su matrici; si era detto che, al fine di avere soluzioni non banali, si era imposto che

detA − λI = 0

Come si fa a risolvere invece un problema differenziale come quello pro-posto? Beh, in questo caso, chiamare la funzione “eig” di MATLab non `e

certo possibile, dal momento che essa opera su matrici, e qua di matrici non ce ne sono.

Dopo aver scritto la soluzione generale dell’equazione differenziale e ap-plicate su di essa le condizioni al contorno, era stato ricavato un sistema lineare omogeneo del tipo:

" e^−jkx^d₂ e^jkx^d₂ ejkx^d₂ e^−jkx^d₂ #  u+ 0 u⁻₀  = 0

Al fine di avere soluzioni non banali, quindi, si imponeva che il determi-nante di questo sistema fosse non nullo.

Cosa stiamo facendo ora? Beh, abbiamo un problema ricondotto a un problema matriciale, e ora quindi si ha a che fare con una condizione del tipo

detA − λI = 0

Ma prima, il problema era diverso: si aveva un problema differenziale, con k2 come autovalore: prima si aveva un problema differenziale con una dipendenza non lineare dall’autovalore: un problema agli autovalori non lineare.

La differenza tra questo problema e i problemi normali `e il fatto che i problemi lineari si risolvono con le tecniche standard, le normali routine dei vari programmi, quelli non lineari no: di solito si ha una soluzione diversa per ciascun problema.

Un metodo di solito utilizzato `e basato sullo studio (magari grafico) della curva del determinante della matrice A funzione di λ, e si vede che si ha una funzione molto “frastagliata”, magari con picchi a pendenza elevatissima:

I picchi possono avere ripidit`a davvero mostruose, dunque `e possibile che uno zero abbia anche valori relativamente elevati; quando si parla di calcoli analitici, uno “zero” deve essere sul serio 0, ma quando si parla di analisi numerica esso va accettato con una certa tolleranza; quando si hanno pendenze cos`ı ripide, `e possibile che quello che consideriamo “zero” sia per esempio un valore pari a 150, dal momento che la precisione con cui si valuta l’asse delle ascisse si ripercuote sulla precisione dello zero.

Questo discorso vuole semplicemente proporre un fatto: anche quando i problemi agli autovalori contengono operatori differenziali, si ha in qualche modo a che fare con una matrice di cui si deve annullare il determinante; la cosa, tuttavia, `e meno immediata, e non `e assolutamente detto che il problema in questione sia semplice come uno dei problemi “standard”.

5.2.3 Verifica della natura modale delle espressioni