Coefficienti di riflessione della struttura

Qual `e il collegamento tra i grafici prima mostrati, e quelli mostrati a priori dell’introduzione del formalismo matematico, riguardanti il coefficiente di riflessione della struttura? Si era visto che:

Volendo per esempio progettare la struttura con un Γ_A− = 0, 99, si pu`o fare ci`o. Imponendo (non `e strettamente obbligatorio, ma `e la scelta ottima)

d₁ = ^λg1 4 d₂ = ^λg2

4

si sceglie un certo N , numero di celle, in modo da avere, con i dielettrici dati, il coefficiente di riflessione massimo desiderato.

Come `e collegato tutto ci`o alla teoria prima vista? Al fine di utilizzare un riferimento diretto alla prima curva, si immagini che ϑ_i= 0 (poi, ovviamente, con un calcolatore si possono fare i conti esatti): la ω₀ `e la pulsazione per cui si `e “in mezzo alla prima banda attenuata”: essa `e dunque, la zona in cui la banda attenuata presenta la massima parte immaginaria per φ. In

questa situazione, dunque, l’onda incidente sulla struttura periodica eccita onde di Bloch evanescenti in essa, essendo φ immaginario. Dal momento che le discontinuit`a sulla regione periodica sono 2 (infatti, prima bisogna accedere alla struttura da sinistra, ma poi, essendo la struttura periodica finita, vi sar`a, a “destra” di essa, un’ulteriore zona in cui si avr`a il vuoto, dunque una discontinuit`a per le onde di Bloch), si hanno due onde di Bloch evanescenti nella struttura: quella progressiva e quella regressiva; in questo caso, quindi, si ha, per le onde di Bloch, la FTR (riflessione totale frustrata), e parte della potenza passa dall’altra parte dello specchio.

Al crescere della frequenza, quindi, si esce dalla banda attenuata: per certe frequenze, addirittura, arriva ad avere Γ_A− = 0. Cosa significa tutto ci`o? Beh, come detto, nella struttura quelle che si hanno sono onde di Bloch; queste situazioni per cui il coefficiente di riflessione si annulla, sono quelle per cui

φ_totale = nπ

ossia, per cui lo sfasamento complessivo introdotto dalla struttura pe-riodica `e multiplo di π. Lo sfasamento da considerare `e quello quindi sulle N celle, e sar`a:

φ_totale= N φ quindi, quando N φ = nπ, si ha Γ = 0.

Alla frequenza 3f₀, quindi, si avr`a una successiva zona di riflessione; come mai a 3f<sub>0</sub> e non a 2f<sub>0</sub> ? La risposta `e abbastanza semplice: se le strutture sono state progettate come si deve, ossia con d₁ = ^λg1

4 , d₂ idem, si ha la cosiddetta struttura λ/4 stack. In questo caso, per f = 2f₀, si ha che si raddoppia la frequenza, e gli strati, la cui lunghezza `e fissa, sono tali da avere lunghezze elettriche pari a λ<sub>g</sub>/2. Come noto da quanto studiato precedentemente, gli strati a mezz’onda sono invisibili, trasparenti, quindi di sicuro non possono riflettere, dal momento che il mezzo elettrico appare come elettricamente omogeneo. Si noti che questa cosa non `e per niente banale: il fatto che raddoppiando la frequenza (e dunque dimezzando λ) si abbia un dimezzamento anche delle lunghezza d’onda guidata, non `e assolutamente banale. Questo deriva non da propriet`a intrinseche della struttura, bens`ı dalla rappresentazione utilizzata per rappresentare il campo incidente: quella basata su ϑ_i; infatti:

k_z = ^ω

c^{n1cos ϑi}

se si usasse un’espressione (peraltro pi`u formale, per quanto tradizional-mente non utilizzata) del tipo:

k_z = q

k2 0n2

1− ξ2

in questo caso, raddoppiando la frequenza non si raddoppierebbe la λ_g; dunque, questa, `e tutta questione di rappresentazione.

Si noti inoltre che il legame tra band edge e stop band non `e evidente: studiando con le espressioni esatte l’andamento della riflettivit`a, si vede che ci sono situazioni in cui esistono punti nei quali, sebbene la parte immaginaria sia nulla, si ha una riflessione elevatissima; questo, dipende dal fatto che in realt`a la riflessione `e dettata da due cause:

• da un lato, la presenza di onde di Bloch evanescenti, per le quali dunque si ha un fenomeno di riflessione totale all’ingresso della struttura; • se tuttavia la struttura ha costanti di propagazione con parte

imma-ginaria nulla, il punto precedente salta; quello che si ha, quindi, `e un fenomeno diverso: un disadattamento di impedenza; questo `e il secondo meccanismo che partecipa all’aumento della riflettivit`a della struttura.

La situazione, come si era gi`a discusso precedentemente (considerando uno strato centrale invece di uno specchio di Bragg), `e simile a quella per cui si ha incidenza da angolo di Brewster, ma con una fondamentale differenza: se l’angolo di Brewster funziona per ogni frequenza, in questo caso il fenomeno `

e puramente legato a fenomeni di risonanza; fenomenologie diverse, ma il succo non cambia: la banda attenuata continua a non esserci, a 2f₀.

Al fine di mostrare il comportamento della struttura in una casistica diversa, si analizzino le seguenti figure:

In questo caso, a = b; questo significa che, per nessuna frequenza, si hanno spessori entrambi pari a λ_g/4; il discorso su 2f₀ appena visto dunque non si pu`o applicare, e anche a 2f<sub>0</sub> vi sar`a una banda attenuata. I grafici usano un angolo ϑ per la descrizione della figura, definito come:

ϑ = ^c Λ dove Λ = d, come gi`a detto.

Per quanto riguarda il grafico relativo al modo TE, si pu`o vedere che, per ϑ<sub>i</sub>= 0, le ondulazioni quasi non si vedono, ma si vedono solo i picchi di banda attenuata; al crescere di ϑi, quindi, i picchi si spostano un poco, dal momento che, come visto precedentemente, le bande attenuate (dal grafico precedente) si spostano a frequenze un poco pi`u elevate. Inoltre, dal momento che Γ in modulo cresce con ϑi come visto precedentemente, si ha che i picchi

crescono: ci`o dipende tuttavia esclusivamente dai coefficienti di riflessione di Fresnel. Aumentando l’angolo, le oscillazioni diventano sempre pi`u presenti ed evidenti, e la banda passante diventa sempre pi`u larga: β (o ξ) infatti `e proporzionale a ω, quindi il grafico si taglia non verticalmente, ma con una retta con una certa pendenza: tagliando di sbieco, l’intervallo in frequenza, a certe frequenze, in cui la retta intreccia la banda passante `e molto largo, da ci`o l’intersezione si va a riportare in questo grafico, ottenendo quindi un allargamento della banda.

Per quanto riguarda il grafico TM, non c’`e nulla da aggiungere, se non il fatto che, per ϑ<sub>i</sub>= 45<sup>◦</sup>, si ha un annullamento dei picchi: ci`o dipende dal fatto che, per i mezzi, questo angolo `e molto prossimo all’angolo di Brew-ster, ottenendo quindi un annullamento della banda attenuata, quindi della riflessione.