Analisi

Una volta ultimato il progetto, seguendo i passi precedenti, `e necessario ef-fettuare l’analisi: essa si fa o utilizzando la teoria delle linee, o utilizzando la teoria degli interferometri di Fabry-Perot introdotta, basata sull’approccio con le matrici scattering. Le riflettivit`a degli specchi possono essere rica-vate mediante le nozioni precedentemente introdotte sugli specchi di Bragg, essendo per l’appunto gli specchi cos`ı realizzati.

Al fine di avere un’idea tuttavia di ci`o che si deve ottenere in linea di massima, si vuole proporre un’idea qualitativa del risultato. Una curva di un interferometro di Fabry-Perot, ha un andamento di questo genere:

Questa curva `e sostanzialmente basata su un’ipotesi fondamentale: il fat-to che gli specchi non abbiano un comportamenfat-to particolare al variare della frequenza (dal momento che `e stata trovata, a patto di avere S_ij^0,00 costanti rispetto alla frequenza). Nel nostro caso, tuttavia, gli specchi hanno un com-portamento chiaramente dipendente dalla frequenza, dal momento che essi sono composti da reticoli di Bragg; un reticolo di Bragg ha trasmissivit`a e riflettivit`a di questo tipo:

La riflettivit`a dello specchio di Bragg deriva dal fatto che si ha un fe-nomeno di riflessione totale frustrata, motivabile dalla presenza di onde di Bloch evanescenti nella struttura periodica.

Per avere la curva risultante, `e necessario sostanzialmente giustapporre la curva del Fabry-Perot su quella degli specchi di Bragg (le curve di Bragg saranno leggermente pi`u accentuate, rispetto a quelle del singolo, essendo gli specchi in questione due); si ha quindi ci`o:

Si ha sostanzialmente un andamento caratteristico degli specchi di Bragg, con un picco di risonanza dovuto all’effetto della configurazione “Fabry-Perot”: all’interno della banda attenuata dello specchio si ha un picco di trasmissione.

Come noto dalla teoria degli interferometri Fabry-Perot, dopo un certo FSR (Free-Spectral Range) si ha un altro picco di trasmissione, ma questo generalmente si trova a frequenze troppo alte per essere apprezzabile: di solito, infatti, si ha che questo secondo picco `e a frequenze troppo elevate, quindi finisce per essere in un range di frequenze in cui gli specchi di Bragg

sono trasparenti, e quindi in una situazione in cui un picco non `e apprezza-bile, essendo la trasmissivit`a gi`a molto elevata: al fine di vedere un picco, `e necessario trovarsi in un “panorama”.

La funzione totale `e, come detto, la giustapposizione delle due: si ha quindi la giustapposizione di un andamento passa banda e di un andamento rigettabanda: questo significa che il comportamento finale `e un passa banda, dove la banda `e molto stretta rispetto a quella rigettata. A condizione che il FSR sia sufficientemente elevato, e quindi l (la lunghezza della cavit`a) ridotta, si avr`a solo un picco (che peraltro `e quanto richiesto dalle applicazioni tipiche di questo sistema, ossia il LASER). La larghezza della valle su cui sorgono i picchi, come si vede dalla matematica precedentemente presentata, dipende dagli specchi, e a loro volta da n₁ e n₂: tanto pi`u gli indici di rifrazione sono diversi, tanto pi`u la stop-band `e ampia. Esiste una formula approssimata che pu`o stimare la stop band:

∆ω_gap ω₀ ∼ ² π ∆n n ^{, n =} n₁+ n₂ 2 ^{, ∆n = n1}− n₂

∆f potrebbe per esempio essere 1/10 della stop band (questa potrebbe essere una richiesta ragionevole).

Il comportamento degli specchi di Bragg, dunque, `e buono solo nella stop band; questo significa che il materiale attivo deve comportarsi come tale esclusivamente in una sottobanda, rispetto alla stop band: se cos`ı non fosse, in uscita dagli specchi non si avrebbe una sola riga spettrale, bens`ı svariate componenti: tutto ci`o serve per prendere, a partire da un materiale attivo, una singola frequenza, come in un oscillatore; non ha senso che il rigetta-banda non riesca a rigettare tutte le frequenze, perch`e in caso diverso si avrebbe a che fare con dispositivi che non si comportano correttamente, che non produrrebbero luce coerente. Quello che si vede in uscita da un LASER `

e lo spettro di emissione della cavit`a, ossia quello del materiale attivo filtrato. Si noti che il discorso che si sta facendo riguarda solo il comportamento lungo z: trasversalmente, consideriamo le interfacce piane e onde piane, ma ci`o non corrisponde alla realt`a: nella realt`a si possono avere gli specchi curvi, oppure un LASER in fibra ottica.

Note conclusive

Una nota conclusiva: molto spesso, per descrivere questa struttura, si sento-no discorsi magari sento-non sbagliati, ma molto fumosi : si suol dire che il sistema sia sostanzialmente una cavit`a risonante, quindi una struttura che presenta dei modi di risonanza (non perfetti, dal momento che si ha a che fare con perdite dovute all’irradiazione dell’energia verso l’esterno, quindi l’ampiezza

di oscillazione `e non costante). Dato che il collegamento con l’esterno `e tra-mite un coefficiente di trasmissione molto piccolo, si pu`o pensare che l’onda si trovi davanti un muro impenetrabile, dunque dovrebbe essere interamente riflessa, ma grazie alla presenza di un modo di risonanza l’onda sarebbe tale da eccitare la risonanza e mediante essa arrivare dall’altra parte. Questo discorso non `e per forza sbagliato, ma fare un progetto a partire da esso `e sostanzialmente impossibile; utilizzare invece l’approccio basato sullo studio come se fosse (ed in effetti `e) un interferometro di Fabry-Perot, basta met-tere insieme l’approccio scattering con le matrici scattering degli specchi di Bragg, e tutto `e finito.

Si consideri inoltre la struttura, sotto questo punto di vista:

Si immagini che l = λ_g1/2: si avrebbe a che fare con una struttura perio-dica ovunque, tranne che nello strato centrale. Si parla, di solito, di difetto rispetto alla struttura periodica: se infatti l = λ_g1/4, si ha una struttura periodica senza discontinuit`a, quindi sostanzialmente uno specchio; si suol dire che questo “difetto” sia quello che permette di aggiungere un picco di risonanza (si parla di questa struttura come di un λ_g/4 shift), ma anche in questo caso la formulazione non permette di arrivare a risultati interessanti.

Capitolo 5

Guide d’onda dielettriche

5.1 Introduzione

Si vuole a questo punto introdurre qualcosa di molto diverso rispetto a prima: quanto discusso finora, infatti, era un esempio di una categoria di disposi-tivi noti come PBG Materials (Photonic Band-Gap); queste sono strutture periodiche, ma in una dimensione: tutto ci`o che `e stato studiato finora presenta periodicit`a su una sola dimensione. Negli ultimi anni, tuttavia, si `e arrivati a immaginare, studiare e realizzare strutture di questo tipo:

Ci`o pu`o essere realizzato in molti modi: cilindri di dielettrico con n_dielettrico> n_ambiente (per esempio immettendo questi cilindri di dielettrico in aria), o il contrario (per esempio considerando un vetro con delle aperture di forma cilindrica e riempite d’aria). In questo caso, si hanno due spaziature: con-siderando che questo piano sia l’asse (x, y), si avranno spaziature d_x su una direzione, d_y sull’altra, e quindi si avr`a a che fare con due periodicit`a spaziali, ossia periodicit`a in due direzioni.

Data un’onda elettromagnetica che si propaga con un vettore k che sta su un piano, si avr`a dunque qualcosa di diverso rispetto a prima: prima la costante di propagazione era un k<sub>z</sub>, dove la periodicit`a del sistema era solamente verso z (infatti, la struttura periodica presentava la periodicit`a solo lungo la direzione di propagazione, la quale era per l’appunto z), e ci`o portava ad avere onde che potessero viaggiare in una sola direzione, con due versi possibili, o, in altre parole, onda progressiva e onda regressiva. Ora ci`o non `e pi`u vero, dal momento che k pu`o assumere qualsiasi valore, e quindi qualsiasi direzione nel piano, e quindi qualsiasi direzione pu`o essere la direzione di propagazione di un’onda piana.

Ci`o che capita ora `e che a seconda di k si hanno diverse curve di disper-sione, ossia curve ω(k ); nella fattispecie, stiamo parlando di strutture

perio-diche, dunque la k che stiamo considerando `e una k<sub>B</sub>, ossia una costante di propagazione di Bloch (dal momento che le onde che stiamo considerando non sono tradizionali onde piane, bens`ı onde di Bloch). Queste strutture, a seconda di questo k , presentano diverse zone di gap:

Al fine di studiare le curve di dispersione in questo ambito, si deve consi-derare un certo contorno sul piano (x, y), ossia una “prima cella di Brillouin”, quindi si rappresenta su questa cella un contorno indicante i vari valori assunti da k , e infine si “distende” questo insieme di valori su un asse, ottenendo delle curve che indicano il fatto che, per certi ω, non ci sono k reali: esattamen-te come le curve di dispersione relative alle curve di Bloch precedenesattamen-temenesattamen-te introdotte.

Se dunque si manda un fascio LASER con la frequenza appartenente a questo gap, capita ci`o che capitava allo specchio: si ha una forte riflessione, dal momento che all’interno della struttura periodica il k diventa complesso, e l’onda si attenua. Ci`o che si pu`o fare `e dunque realizzare specchi bidimen-sionali nel piano, semplicemente cambiando la spaziatura di queste inclusioni dielettriche. La stop band si pu`o modificare, ingegnerizzare, scegliendo ido-neamente d<sub>x</sub> e d<sub>y</sub>: `e una sorta di specchio sintonizzabile, nel senso che, prima di costruirlo, se ne possono ingegnerizzare le caratteristiche.

Ci sono realizzazioni di strutture che sfruttano questi concetti, eliminando per`o una delle righe:

Questa struttura elimina una delle righe di barre. A cosa serve ci`o? Cosa fa? Beh, questa struttura `e una specie di guida d’onda: la parte di sopra si comporta come uno specchio, per onde che vi incidono dall’interno: una volta che l’onda, andando in su, trova uno specchio, viene riflessa da essa e va avanti; poi, va in gi`u, incontra un altro specchio, viene riflessa, e cos`ı via. Le guide d’onda normali funzionano sul principio della riflessione totale: invece che avere un “groviera” come in questo caso, si ha una struttura con-tinua. La cosa per`o ha dei grossi svantaggi: la riflessione, in una struttura di questo tipo, `e totale solamente se l’angolo di incidenza sulle pareti `e maggiore di un certo angolo critico, ricavabile con la solita teoria; se tuttavia si prende questa guida e la si fa curvare, l’onda, che va avanti a suon di riflessioni, potrebbe trovarsi a incidere con un angolo inferiore rispetto a quello critico, e dunque uscire dalla struttura guidante!

Se nella struttura tradizionale dunque non si possono fare curve se non molto poco accentuate, sulle strutture periodiche non si corre un rischio del genere: per come sono progettati gli specchi, essi fanno“da specchi” in ogni direzione! `E dunque possibile fare percorsi anche molto curvi, senza avere perdite di irradiazione: si possono avere, in ogni caso, forti riflessioni. Ci`o permette di costruire circuiti ottici con curve a raggio strettissimo, anche di

qualche µm, a patto di accettare una contropartita: ci`o, da studiare, `e molto complesso, e quasi sempre necessita metodi numerici.