Rombo di Fresnel - Fasci gaussiani

Si vuole a questo punto concludere la sezione proponendo un esempio ap-plicativo della riflessione a singola interfaccia, richiamando alcune nozioni e introducendo alcune precisazioni su alcuni concetti.

Si consideri un dispositivo di questo tipo:

Si consideri un’onda piana che arriva sulla faccia, inclinata in modo tale da avere un angolo di incidenza superiore a quello critico; si ha riflessione to-tale, quindi il raggio riflesso subisce un’ulteriore riflessione, ancora una volta ad angolo superiore a quello critico (il sistema va ovviamente progettato in modo tale da avere queste riflessioni effettivamente totali), quindi il raggio esce fuori dall’altra faccia. Questo tipo di dispositivo funziona da polariz-zatore: le due polarizzazioni infatti subiscono storie di fatto indipendenti tra loro. Un’onda piana non `e in generale o TE o TM: essa infatti pu`o avere polarizzazione circolare, ellittica, o anche lineare, ma non `e detto che anche nel caso lineare il vettore di campo elettrico sia puramente TE o puramente TM; quello che tuttavia si pu`o fare, grazie alla linearit`a delle equazioni che studiamo, `e scomporre questi vettori in componenti per l’appunto TE e TM, applicando dunque su ciascuna componente, la quale avr`a in generale un certo valore di modulo e un certo valore di fase, le nozioni precedentemente presentate; quello che vale in generale `e tuttavia il fatto che i coefficienti di riflessione, per le due componenti, saranno diversi. La riflessione cambia le caratteristiche di polarizzazione del campo riflesso, e ci`o permette di realiz-zare, con questo dispositivo, un polarizzatore, dal momento che il dispositivo permette di discriminare i diversi contributi (TE e TM) dell’onda su di es-so incidente. Essendoci inoltre due riflessioni, l’effetto sulla fase raddoppia, quindi quello che si pu`o fare `e cambiare la polarizzazione dell’onda incidente, per esempio partendo da un’onda lineare in ingresso e “uscendo” con un’onda a polarizzazione circolare.

Si noti una cosa molto importante: stiamo applicando il modello pre-cedentemente elaborato, su una situazione che sembrerebbe, a prima vista, essere fuori dal suo range di validit`a: il dispositivo ha infatti una superficie

finita, mentre le onde piane hanno come superfici a fase costante per l’ap-punto dei piani, di dimensioni idealmente infiniti. Qui, invece, si incide da un lato su una superficie finita, dall’altro con onde non esattamente piane: come gi`a detto infatti l’onda “piana” deve essere ricavata a partire da una qualche sorgente, per esempio un LASER; un LASER tuttavia non produce un’onda esattamente piana, dal momento che produce un “fascetto” di onde piane, nella fattispecie un fascio gaussiano (come si pu`o sapere dai corsi di Optoelettronica).

Come si era detto precedentemente, la tensione `e rappresentabile, spet-tralmente, come (considerando per esempio un’onda TE):

V^TE(ξ, z) = Z +∞

−∞

E_y(x, z)e^+jξxdx e con la sua trasformazione inversa:

E_y(x, z) = ¹ 2π

Z +∞ −∞

V (ξ, z)e^−jξxdξ

Di tutte le possibili onde piane, ci`o che `e stato finora fatto, nella pre-sentazione del modello, `e stato fissare un certo ξ, dunque “selezionare” una singola onda piana, e considerare solo questa; si aveva, come noto:

ξ = k₀n₁sin ϑ_i

Se come campo incidente si ha tuttavia un fascio gaussiano, non si avr`a pi`u un solo ξ, o una “δ(ξ) come accennato precedentemente, bens`ı un insieme di ξ. Fascio gaussiano significa sostanzialmente che il campo sul piano ha un andamento gaussiano (si pensi all’analogia con le antenne, e il campo sull’apertura):

Ey(x, 0) = e⁻2w0^x2

ossia, una gaussiana con varianza w₀ (w sta per width).

Si supponga, per semplicit`a, che il fascio sia a incidenza normale sul piano di discontinuit`a: i piani a fase costante dei fascetti sono tendenzialmente orientati normalmente al piano, dal momento che la funzione del campo `e reale, dunque non interviene nella variazione di fase: questo significa che, lungo x, non si hanno variazioni di fase; in altre parole, i piani a fase costante sono tutti quelli normali a ˆz: i piani z = costante.

Volendo calcolare, a partire dal campo, la tensione, `e sufficiente ricordare le propriet`a della trasformata di Fourier, e vedere che:

V (ξ, 0) = E0L√

2πe^−ξ22w2 0

ossia, si ha ancora una volta una gaussiana, in cui per`o la varianza `e w⁻¹₀ : il reciproco della varianza di prima. Questa osservazione deriva semplicemen-te dal “caso limisemplicemen-te” del principio di indesemplicemen-terminazione: la gaussiana `e infatti il tipo di funzione per cui si ha il minimo del principio di indeterminazione, ossia il caso in cui si ha che il prodotto delle larghezze nei due domini `e uguale a una costante, e non “minore”.

Si supponga ora di avere un esempio del tipo: se w₀ = 1 mm, ricordando che le lunghezze d’onda λ₀ nell’ottica sono dell’ordine di grandezza del mi-cron, si ha che w₀ = 1000λ₀: quindi 1 mm `e effettivamente tantissimo, ossia assimilabile a infinito! Questo, dal momento che, come sempre in Elettroma-gnetismo, le dimensioni spaziali devono essere rapportate alla variazione di fase che si ha quando si percorre una certa distanza, ossia a k₀; ricordando che, ovviamente,

k = ^2π λ₀ⁿ¹

con lunghezze d’onda di quel genere possiamo “stare tranquilli”.

Cosa significa ci`o? Beh, semplicemente, che, nel dominio reciproco, k<sub>0</sub> `e “molto pi`u avanti”: dal momento che si ha una gaussiana, dunque, di “onde piane” se ne han tante, dal momento che tanti sono i valori di ξ di cui si dispone; tuttavia, la variazione dei valori di ξ `e estremamente piccola se rap-portata al k₀. Per ogni ξ, come ben noto, si ha a che fare con un certo angolo, dunque con un certo valore di Γ, di coefficiente di riflessione; se tuttavia, seb-bene la variazione di ξ sia non nulla, essa `e totalmente trascurabile, quindi si pu`o considerare il coefficiente di riflessione dell’onda sostanzialmente co-stante, dal momento che tutto il fascio occuper`a, a stima, qualche decimo di grado (non `e detto che sia cos`ı ma `e per dare un ordine di grandezza): Γ(ϑ_i) `

e dunque circa costante.

In altre parole: stiamo lavorando con fasci gaussiani, ma, di fatto, essi so-no assimilabili, per i so-nostri calcoli, a onde piane: il dispositivo si pu`o dunque progettare a partire da questa osservazione. Questo `e un esempio che per-mette di capire quale sia la potenza dello strumento analitico rappresentato dalle onde piane: il suo campo di applicazione `e enorme, anche in problemi che sembrano molto complicati rispetto alla semplicit`a del modello che vi si vorrebbe applicare (e che in effetti, come appena visto, si pu`o applicare in molte situazioni).