2.3 Onde piane
2.3.1 Osservazioni preliminari
Si vuole a questo punto proporre un metodo di soluzione per le equazioni di Maxwell, basato su un certo insieme di ipotesi preliminari; l’obiettivo di questa sezione, nella fattispecie, `e quello di introdurre i concetti fondamentali riguardanti le onde, e nel dettaglio un particolare tipo di onde: le onde piane.
Le equazioni di Maxwell, come ben noto ormai, sono le seguenti: ( ∇ × E = −jωµH
∇ × H = jωεE Si ha a che fare con due ipotesi fondamentali:
• il primo, si pu`o notare dalla forma delle equazioni: non si ha a che fare con sorgenti; quando si vuole determinare una soluzione di tipo “onda” (sia essa piana, sferica, cilindrica o di qualche altro tipo), non si devono considerare le sorgenti nel problema (la cosa verr`a ancora ripresa e discussa);
• si assumono le seguenti ipotesi sul dielettrico: dielettrico omogeneo e illimitato.
Precedentemente, `e stato introdotto un punto di vista “sistemistico”, fon-dato sulla Teoria dei Sistemi, al fine di introdurre alcuni concetti fondamen-tali; qua si potrebbe riprendere questa interpretazione, per quanto riguarda il primo punto: il campo, a tutti gli effetti, dovrebbe derivare da un certo insieme di sorgenti che, oscillando, lo producono: si dovrebbe partire da sor-genti, ingressi del “sistema”, ottenendo campi elettrici e magnetici (si ricordi infatti che, a meno che ω = 0, i fenomeni elettrici e magnetici sono tra loro accoppiati, come si pu`o anche notare dalle equazioni di Maxwell). Verreb-be da dire che, senza sorgenti, non potrebVerreb-bero neanche esistere campi, ma in realt`a non `e cos`ı: potremmo avere anche delle risposte che non derivano dalle sorgenti; questa cosa pu`o essere interpretata a partire da un concetto matematico.
A x = n
la soluzione di questo sistema, normalmente, esiste solamente quando detA 6= 0; nel caso il determinante della matrice sia nullo, o esistono infinite soluzioni, o la soluzione non esiste proprio, ottenendo un sistema impossibile. Il ruolo di n, in questo contesto, `e quello di fare “da sorgente”: rappresenta un po’ il ruolo delle Je nelle equazioni di Maxwell. Nel caso dunque il determinante della matrice sia nullo e n appartenga allo spazio delle colonne della matrice A1, la soluzione esister`a, e non sar`a unica; altrimenti, non esiste.
Esiste tuttavia un caso di sistema sicuramente non impossibile, in ogni situazione: il sistema omogeneo, ossia il sistema in forma
A x = 0
nella nostra interpretazione, x sono i campi, A sono i vari operatori dif-ferenziali in gioco che vengono applicati sui campi. In questo caso, si noti che x = 0 `e sicuramente soluzione, quindi esiste; in questo caso, tuttavia, se il determinante di A `e nullo, allora quella “banale” non `e l’unica soluzione: il fatto che il determinante sia nullo implica che lo spazio nullo, il kernel, ossia lo spazio dei vettori che, se vi si applica l’operatore rappresentato dal-la matrice, vengono portati nell’origine, sono tutti soluzione, dal momento che, andando nell’origine, rispettano l’eguaglianza appena proposta. Dire che c’`e uno spazio nullo significa dunque che ci sono dei vettori x non nulli che rispettano l’equazione.
Un esempio visivo di vedere ci`o `e: dato un operatore, una matrice, che descrive l’operazione lineare di proiezione di un vettore su un certo piano, per esempio xy, tutti i vettori perpendicolari al piano, che sono infiniti, vengono proiettati nell’origine: lo spazio nullo ha dimensione 1, ossia `e costituito dall’insieme dei vettori perpendicolari al piano.
Questa idea, applicata sulle matrici, dunque su “operatori” che operano su uno spazio di dimensione finita, pu`o essere applicata anche su cose ma-tematicamente pi`u complicate, come un’equazione differenziale; quando si risolve un’equazione del tipo:
dy dt = Ay
in questo caso, si pu`o dire che gli operatori di derivazione si comportino come una matrice con determinante nullo: questo non `e sicuramente molto
formale da dirsi ma, dal momento che lo spazio delle soluzioni ha dimensione 1 (un esponenziale complesso), non `e neanche troppo errata. La molteplicit`a delle soluzioni di un’equazione differenziale, dunque, nasce sostanzialmente da un concetto di questo tipo.
Discussi questi aspetti preliminari, `e possibile procedere alla soluzione delle equazioni di Maxwell. Prima di tutto, consideriamo un’osservazione sul dielettrico: essendo esso omogeneo e illimitato, l’equazione `e di fatto a coefficienti costanti, dal momento che µ e ε non subiscono variazioni nello spazio. ω `e inoltre considerata fissa.
Al fine di risolvere l’equazione, l’idea `e ipotizzare che la soluzione sia quel-la esponenziale (cosa ragionevole dal momento che gli operatori differenziali in gioco, i vari rotori, sono sostanzialmente combinazioni lineari delle deriva-te, nelle varie direzioni); per risolvere il sistema, tuttavia, `e ancora necessario definire una cosa: il set di variabili indipendenti da utilizzare, ossia il tipo di sistema di riferimento. Una scelta `e quella delle coordinate cartesiane, (x, y, z); un’altra, quella delle coordinate sferiche (r, ϑ, ϕ); un’altra ancora, quella delle coordinate cilindriche (%, ϕ, z): questi sono tutti differenti modi per rappresentare la posizione di un punto. La cosa interessante, tuttavia, `e il fatto che, a seconda del sistema di rappresentazione scelto, si ottiene una diversa famiglia di soluzioni: se per esempio si usa un sistema di tipo cartesiano, la soluzione che si otterr`a sar`a una famiglia di onde piane (e vedremo in seguito cosa significa ci`o); con un sistema sferico si otterranno onde sferiche, e cos`ı via. La notazione vettoriale ci svincola dal riferimento: a seconda delle coordinate utilizzate, si avranno comunque sempre soluzioni delle equazioni di Maxwell.
Si noti che si sta per utilizzare questo formalismo per risolvere un proble-ma di fatto astratto: un probleproble-ma in assenza di sorgenti; volendo risolvere un problema concreto, sembrerebbe che ci`o che stiamo facendo non abbia senso; in realt`a per`o, quello che stiamo facendo `e perfettamente motivato, dal momento che noi in realt`a stiamo cercando soluzioni in questa forma al fine di determinare delle “soluzioni base” per la soluzione del problema reale, quello del mondo vero, che tiene conto anche delle sorgenti; di fatto stia-mo suddividendo un problema in vari step, e questo `e solamente uno step intermedio; lo step successivo a questo potrebbe essere quello di prendere le soluzioni da noi trovate, la base di onde piane, per la rappresentazione delle sorgenti: data una sorgente, ci si pu`o porre la domanda “quali onde piane eccita?”. Questa soluzione, secondo onde piane, `e comoda in un certo insieme di casi, ossia quello di sorgenti a simmetria planare; nel caso si aves-se a che fare con simmetria rispetto a un certo asaves-se, un asaves-se di invarianza, dunque una simmetria cilindrica, le onde cilindriche sarebbero pi`u indicate; nel caso invece del campo di un’antenna, campo generato da un punto, le
onde sferiche sono il caso pi`u indicato: nel caso delle onde sferiche infatti il campo parte per l’appunto da un punto e si propaga secondo superfici a fase costante (approfondiremo il concetto) sferiche.
Nota conclusiva: tutto quello che stiamo per fare parte dalla soluzione di un sistema omogeneo con “rango inferiore al rango massimo”; questo pre-suppone di lavorare con infinite soluzioni, ma in realt`a non `e cos`ı: una volta che si `e specificato tutto ci`o che si deve specificare, ossia le varie condizio-ni icondizio-niziali o al contorno, di tutte le inficondizio-nite soluziocondizio-ni, se ne “seleziona” una proprio mediante queste condizioni.