Caso della singola cella come degenerazione caso generale147

3.5 Note conclusive sui riflettori di Bragg

3.5.3 Caso della singola cella come degenerazione caso generale147

generale

Un’ulteriore interessante osservazione potrebbe riguardare un’interpretazione dell’uso delle onde di Bloch, per un caso molto particolare: quello di cella unica. Si supponga di avere qualcosa di questo tipo:

Questa struttura `e stata sostanzialmente presentata ancora mediante l’uso delle linee di trasmissione, studiando dunque lo scattering multiplo, ma non `

e necessario fare ci`o: questo tipo di struttura pu`o essere pensata come un reticolo, composto da una sola cella!

Questo sicuramente funziona, ed `e possibile ottenere le curva con le for-mule basate sulle onde di Bloch anche in questo caso, ponendo N = 1, per`o questo approccio ha anche i propri limiti: sarebbe come considerare un cam-bio di base, in un singolo punto; le onde di Bloch, con l’approccio da noi utilizzato, sono infatti definite su singoli punti, perdendo dunque di interesse al di fuori di essi.

3.5.4 Confronto tra reticoli di Bragg e reticoli di

dif-frazione

Precedentemente si `e parlato di strutture di questo genere:

Questa struttura era stata introdotta nel capitolo introduttivo al resto della trattazione; questa struttura è molto complicata da studiare, dal mo-mento che non si ha un’interfaccia piana, bens`ı dei rilievi (che possono sia esser realizzati mediante scavi, sia mediante la crescita di rilievi, a seconda della tecnologia che si ha a disposizione); il periodo spaziale della struttu-ra è d ∼ λ. Precedentemente, si è detto che una struttura di questo tipo, data un’onda piana incidente, ha un’onda piana riflessa (ordine 0), ma non solo: vi sono varie onde piane riflesse, a vari ordini, minori o maggiori di 0. La domanda principale che ci si potrebbe porre è: quante onde piane effettivamente sono riflesse da questa struttura? Come in pratica quasi ogni problema lineare, questa domanda ha risposte banali: 0, 1, infinite; in questo caso, le onde piane sono infinite, ma solo un numero finito è ben visibile, dal momento che il kz associato è reale: infinite onde sono infatti evanescenti, e solo alcune presentano k_z reale e dunque effettivamente si propagano (un po’ come i modi sopra taglio in una struttura guidante). Quando d λ, si han-no tantissime onde piane riflesse; in alternativa, nei reticoli subwavelenght, ossia quelli per cui d < λ, tutte le onde riflesse sono sotto taglio, tranne una. Abbiamo ripreso l’argomento, ma cosa c’entra questo con Bragg? A prima vista, sembrerebbe nulla, ma ciò non è vero. Questo è un problema difficile da studiare, ma è possibile fare una cosa del genere:

Questo problema, in qualche modo, deve essere modellato; il punto essen-ziale è riconoscere la presenza di due interfacce, dividerle, e poi applicare il formalismo delle matrici scattering (qui si darà solo l’idea ma non si proce-derà, anche dal momento che questi calcoli non sono fattibili in forma chiusa). La prima delle due interfacce è pensabile come un reticoli di Bragg, ruotato però di 90^◦: questo significa che, in questo caso, la direzione di propagazione `

e parallela alle interfacce tra i vari strati, invece che normale. A questo pun-to, per questa struttura, è necessario imporre la continuità dei campi elettrici trasversali alle interfacce, con una differenza: se il problema con cui siamo abituati a che fare è 2 × 2, questo è ∞ × ∞, essendo la struttura illimitata lungo x. Un’idea per affrontare ciò potrebbe essere quella di prolungare la periodicità anche a sinistra, nel mezzo n₀: n₀ = n₁. Questo semplifica il problema.

I modi di propagazione nel mezzo omogeneo, sono onde piane, ma qui non tutte le possibili onde piane sono valide, bens`ı solo quelle, con un certo ϑ, con i seguenti valori discreti:

ξ_n = k₀n₀sin ϑ + n^2π d

in pratica, non tutte le onde piane “a sinistra” sono possibili, ma sola-mente quelli che sono legati agli ξ incidenti in questo modo. A destra, si ha a che fare con un reticolo di Bragg infinito, oppure in alternativa un array di guide d’onda planari equispaziate; in questo caso, i modi di propagazione sono caratterizzati da una certa β (costante di propagazione), e dal fatto che lo sfasamento su una cella φ `e dato da:

φ = k₀n₀sin ϑd

questi sono, se si pensa bene, gli stessi simboli utilizzati per gli specchi di Bragg: le due cose, in effetti, sono quindi abbastanza vicine tra loro: questo potrebbe essere un collegamento tra le due strutture. Questo è lo sfasamento per cella; precedentemente, quello che era stato fatto era fare dei grafici in cui fissavamo ω, β, e trovavamo φ; noi invece ora vogliamo trovare β funzione di φ e ω, dove φ è fissato dall’onda incidente; considero il problema come lo studio di un reticolo di Bragg, dove però fisso lo sfasamento grazie a ciò che conosco dal campo incidente, e ricavo β; ricavato β, si impone la continuità dei campi e cos`ı via.

Commento aggiuntivo

Un commento aggiuntivo: uno specchio di Bragg pu`o essere utilizzato come “carico” per una guida planare, in questa maniera:

Cosa si può, qualitativamente, dire su questa struttura? Data un’onda che arriva in una guida (supponiamo per esempio da destra), essa incontra discontinuità, ma discontinuità complicate da studiare: a differenza di quello che capita in una normale interfaccia piana (dove si ha una sola onda riflessa e una sola onda trasmessa), quello che si rischia di avere è una situazione in cui vi sono varie onde incidenti e scatterate da essa, ottenendo un accoppia-mento tra i vari modi: dato un solo modo viaggiante, si rischia di eccitare i modi dello spettro continuo, facendo nascere una miriade continua di modi (per l’appunto dello spettro continuo) che irradiano da tutte le parti; questo significa che un osservatore, a occhio, vedrebbe della luce associata a questo rilievo, e ciò non è per niente positivo: l’energia non è confinata. Ad ogni modo, in realtà, questo è uno dei modi standard di utilizzare i reticoli di Bragg in una guida, però con attenzione: si deve fare attenzione di ridurre al minimo l’eccitazione; ad ogni modo, più o meno, questa struttura si compor-ta come uno dei reticoli di Bragg studiati, per quanto i calcoli esatti siano estremamente complicati da fare.

3.5.5 Analisi per piccole riflessioni

Al fine di studiare i reticoli di Bragg, ciò che si può fare è partire da un approccio completamente diverso da quello analizzato, molto più vicino a quello basato sullo studio dello scattering multiplo invece che da quello delle onde di Bloch. Il ragionamento, dunque, per quanto approssimato, sarà basato solo ed esclusivamente sulle onde di potenza, e sarà basato sull’analisi per piccole riflessioni.

Si immagini di avere a che fare con una struttura di questo tipo: dove

φ₁ = k_z1d₁ φ₂ = k_z2d₂

φ `e uno sfasamento “vero”, non “per cella”. Si introduca il coefficiente di riflessione di Fresnel tra le interfacce 1 e 2 come:

Γ0 = ^Z^∞2− Z_∞1 Z∞2+ Z∞1

mediante alcuni calcoli, basati sull’uso dell’approssimazione per piccole riflessioni, si pu`o trovare che il coefficiente all’ingresso della struttura di N_C celle sia: Γ(NC) = Γ0 1 − e^−j2(φ1+φ2) NC−1 X i=0 e^−j2(φ1+φ2)i

Questa sommatoria ha un significato fisico: essa rappresenta la somma delle riflessioni. La teoria delle piccole riflessioni semplifica tutto, nel sen-so che trascura un contributo fondamentale: quello delle riflessioni multiple. Il termine delle riflessioni multiple, come si pu`o intuire da un ragionamen-to qualitativo, `e quello che dipende dal denominatore, che si trascura per l’appunto con la teoria delle piccole riflessioni: il denominatore di ciascun termine si poteva infatti studiare come la serie geometrica, i cui vari termini erano i singoli contributi delle onde riflesse, e questo per ciascuna interfaccia. Si vuole a questo punto semplificare i termini, usando un po’ di algebra; si consideri z il termine della sommatoria:

z = e^−j2(φ1+φ2)

NC−1 X i=0 zⁱ = z⁰+ z + z²+ z³+ ... + z^NC−1 = = ^z NC−1 z − 1

questo si pu`o alternativamente scrivere come: zNC−1 z − 1 ⁼ z^NC2 z¹2 z^NC2 − z−^NC 2 z¹2 − z−¹₂ = = z^NC−12 sin(N_C(φ₁+ φ₂)) sin(φ₁+ φ₂)

Un caso molto interessante `e quello per cui φ₁ = φ₂ = φ; questo, per esempio, `e il caso delle strutture λ/4, come visto precedentemente; si ha, in queste situazioni, che:

Γ(N_C) ∼ jΓ₀e^−j(2NC−1)φsin(2N_Cφ) cos φ

Questa `e una formula molto semplice e comoda da utilizzare.

Se si sovrappone questa espressione a quella esatta, ricavata mediante le onde di Bloch e quel formalismo, si vede che le due si sovrappongono in maniera quasi indistinguibile per i “lobi secondari”, mentre sono molto differenti per quanto riguarda la zona a elevata riflettivit`a; questo accade dal momento che, per quei valori, Γ `e grande, quindi la teoria sbaglia molto: non `

e pi`u nel proprio range di validit`a.

I massimi per questa espressione sono per φ = (2n + 1) ^π 2

il caso più semplice, di questi, è n = 0, quindi φ = π/2; φ, tuttavia, è sia φ₁, sia φ₂: questo capita quando entrambi gli spessori sono λ_g/4, proprio come atteso.

Capitolo 4

Interferometri di Fabry-Perot

4.1 Introduzione e concetti preliminari

Si `e detto, precedentemente, che il formalismo delle onde di Bloch pu`o essere utilizzato anche per strutture semplici, a poche celle; si immagini per esempio di avere a che fare con una struttura a due celle:

Si consideri, per ipotesi, d₁ d₂: il caso di interesse, in questa situazione, `

e quello di riflessione totale frustrata, dunque per cui n₂ < n₁, e ϑ_i > ϑ_c, in modo tale che le onde di potenza (questi discorsi sono relativi alle onde di potenza) siano siano evanescenti in n₂, ma possano propagarsi in n₁.

Al fine di analizzare queste strutture, un approccio è di nuovo quello delle formule a partire dalle quali sono stati analizzati gli specchi di Bragg, ma non è l’unico: ciò che si potrebbe fare, per quanto riguarda questa struttura, `

e utilizzare un approccio basato sulle cavit`a risonanti: questo sistema pu`o essere modellato mediante due specchi semitrasparenti: specchi con un certo coefficiente di riflessione, piuttosto elevato, e uno di trasmissione conseguen-temente piccolo; il modello in questo caso potrebbe essere ottico, e potrebbe essere il seguente:

Si hanno due specchi, con in mezzo un certo mezzo n, separati da distanza l. Questo oggetto `e, a tutti gli effetti, un interferometro di Fabry-Perot, e, come vedremo, esso ha dei picchi di trasmissione ad alte frequenze.

Pensare che un oggetto di questo genere, con riflessione elevata e svariati strati, intuitivamente difficilmente potrà avere un coefficiente di trasmissione elevato; questo in realtà si avrà, esclusivamente, per delle frequenze partico-lari: per φ = nπ, infatti, si ha un certo picco di trasmissività. Questo si era visto quando si aveva uno slab, per esempio; questa, è la stessa situazione, dove però lo specchio semitrasparente ora è, invece che l’interfaccia, una cosa più complicata: un certo reticolo.

I reticoli di Bragg possono studiare anche strutture di questo tipo, e si parla di resonant tunnelling: si ha un tratto per cui l’onda è evanescente, e questo è legato a un fenomeno di risonanza, dal momento che la trasmissione totale avviene solamente quando d₁ è un multiplo di λ_g1/2.

Introdotto questo concetto con questo approccio, andiamo avanti con il problema, continuando con il modello:

Il modello che verrà utilizzato è ancora una volta basato su un circuito a parametri distribuiti: si hanno due componenti (gli specchi) caratterizzati ciascuno da una certa matrice scattering: lo specchio sinistro avrà matrice S⁰, lo specchio destro S⁰⁰. Il dielettrico centrale, n, sarà complesso, ma non nel solito senso: in questo caso, infatti, esso sarà:

n = β − jα, α < 0

questo significa che il dielettrico centrale è attivo, ossia che può avere un guadagno: questo è, per esempio, il modello di una cavità LASER. Tutto ciò `

e eccitato da un’onda piana incidente da sinistra, con angolo ϑ_iarbitrario. Il guadagno nella fattispecie è in potenza: se si considera una sola percorrenza del tratto, quindi solo l, il guadagno è di potenza; se si considera sia “andare” sia “tornare”, allora è considerabile come un guadagno di tensione (essendo infatti il guadagno di tensione pari alla radice di quello di potenza).

Deve essere calcolata la matrice scattering dei due elementi in cascata; ci`o si pu`o fare subito, per quanto riguarda il S₂₁ dell’interferometro totale, ricordando le formule e vedendo quindi che:

S₂₁ = ^S 0 21S₂₁⁰⁰e^−jkzl 1 − S00 11S0 22e−j2kzl

Questa formula è fondamentale, dunque vogliamo “sviscerarla” per bene. Prima di tutto, al fine di ricavare informazioni importanti, un’idea è quella di calcolarne il modulo quadro, trovando ciò:

|S21|² = |S00 21|²|S0 21|²G₀ |1 − G₀S₂₂⁰ S₁₁⁰⁰e−j2βl| dove G₀ = e^−2αl

e, si ricorda, questa volta α < 0, essendo il materiale attivo. L’esponen-ziale quindi non ha modulo unitario, e anzi in questo caso `e tale da aumentare l’ampiezza dell’onda. Considerando n₀ il mezzo di ingresso “da sinistra”, si ha:

k_z = k₀ q

n2− n2 0sin²ϑ_i

Nel documento Componenti per ottica integrata (pagine 148-155)