Banda dell’interferometro

k₀ q n_cavity− n2 1sin²ϑ_i 

Al variare di β, S₂₁ pu`o presentare dei massimi; dal momento che il numeratore `e costante e che il denominatore ha come parte variabile il solo seno, il massimo si avr`a quando:

|S₂₁|²_max= ^{G0(1 − R1)(1 − R2)} 1 − G₀√

R₁R₂
² questo accade quando

sin ϕ = 0 quindi per

ϕ = nπ

Si noti che, tuttavia, ϕ rappresenta met`a della fase del guadagno di anello T (essendo la fase completa 2ϕ); si ha dunque che la massima trasmissivit`a si ha per:

∠T = 2nπ

A questo punto, |S₂₁|²_max potrebbe essere maggiore, minore o uguale a 1! Si consideri una condizione particolare, per cui G₀ = 1: in queste condizioni, |S₂₁|²_max< 1, a meno che ovviamente R₁ = R₂.

4.2.1 Banda dell’interferometro

Abbiamo determinato il valore massimo della trasmissivit`a che l’interfero-metro pu`o avere; questo non `e tuttavia l’unico parametro interessante, dal momento che possiamo essere interessati anche a quello che capita per altri valori della frequenza.

Qual `e la larghezza di banda della struttura? Beh, per definire la larghez-za di banda, `e necessario scegliere un parametro sul quale basarla; come fatto molto spesso in ambito elettronico, ci`o che si fa `e definirla a met`a potenza, mediante un valore di sfasamento ϕ−3dB. Quanto deve valere questo sfasa-mento? Beh, la risposta `e abbastanza semplice: al denominatore si hanno due termini, uno costante e uno variabile; quando il termine variabile, dipen-dente dal seno, eguaglia l’altro, si ha concettualmente che il denominatore raddoppia rispetto al caso massimo; la condizione, dunque, `e:

sin²(ϕ−3dB) = ^{(1 − G0} √

R₁R₂)² 4G₀√

R₁R₂

L’espressione pu`o tuttavia essere modificata: ϕ−3dB rappresenta il valore di fase “assoluto” rispetto cui si ha un abbassamento della potenza di 3 dB; quello che si pu`o fare, tuttavia, `e scrivere questo valore di fase come il valore del massimo, pi`u la distanza, in termini di fase, rispetto al massimo:

ϕ−3dB = nπ ± ^∆ϕ−3dB 2

detto ϕ−3dB quindi l’intero range. Il punto chiave, ricavabile a questo punto mediante le formule degli archi associati note dalla goniometria, `e:

sin²ϕ−3dB = sin² ∆ϕ_−3dB 2



In generale, tuttavia, la larghezza di banda funzione della fase sar`a molto piccola; non `e dunque una cattiva approssimazione il fatto di confondere l’argomento del seno con il seno, ottenendo:

∆ϕ−3dB ∼ nπ ± ^{1 − G0} √ R₁R₂ 2√ G0 ⁴ √ R1R2

A questo punto, facciamo un’operazione diversa: supponendo di poter variare G₀, ossia di poter variare il “guadagno” del dielettrico attivo, dati specchi fissi, cosa capita? Beh, se G₀ = 1, abbiamo detto che il massimo della trasmissivit`a `e minore di 1; man mano che si cresce, il denominatore diventa sempre pi`u piccolo, fino a quando non si assume un particolare valore:

G₀ = √ ¹ R₁R₂ in questo caso, il denominatore va a 0, e: |S₂₁|²_max→ ∞

Al contempo per`o, osservando la formula della larghezza di banda, si vede che:

∆ϕ−3dB → 0

Cosa significa ci`o? Al fine di capirlo, si ricordi qual `e la definizione di parametro scattering: S₂₁, ^b2 a₁     a2=0

quindi, o a₁ `e finito e b<sub>2</sub> `e infinito, o b₂ `e finito e a<sub>1</sub> infinitamente piccolo. Ci`o che si ha, ovviamente, `e la pi`u realistica delle due, ossia la seconda si-tuazione: se S₂₁ esplode, si ha sostanzialmente un’uscita finita anche con un ingresso sostanzialmente nullo: questa `e la condizione che si ha in un oscil-latore. Un oscillatore, tuttavia, ha un comportamento particolare: data una certa energia, a una certa frequenza (che potrebbe anche essere la frequenza nulla, ossia la continua), si ha in uscita un segnale a un’altra frequenza; parte della potenza introdotta (non tutta, dal momento che il sistema sicuramente avr`a un’efficienza meno che unitaria), verr`a quindi convertita in energia in uscita sotto forma sinusoidale.

Come mai capita ci`o? Come mai lo si `e ottenuto facendo crescere G₀ ? La risposta `e abbastanza semplice, dal momento che ancora una volta `e legata al guadagno di anello: se trattiamo il massimo, al solito, abbiamo che ∠T = 2nπ, quindi una delle condizioni per il criterio di Bode `e rispettata; l’altra condizione, era il fatto che |T | = 1, e, se si ha

G₀ = √ ¹ R1R2

si ha esattamente questa condizione! Aumentare G0 significa quindi au-mentare il guadagno di anello, fino a farlo arrivare a unitario, ottenendo per il sistema la condizione di oscillazione.

Il sistema ha perdite, non nel senso ohmico, bens`ı nel senso “radiativo”: gli specchi, avendo una riflettivit`a non totale, irradiano parte dell’energia contenuta tra essi, dunque contenuta nella cavit`a; la cavit`a, dunque, ha delle pareti “forate“ sotto il punto di vista dell’energia, ossia l’energia scappa da essa. Avere |T | pari a 1 significa sostanzialmente fare in modo che l’energia che esce sia controbilanciata da quella introdotta dal materiale attivo: il guadagno ripristina l’energia, sommando in fase e con la stessa ampiezza ci`o che vi era prima che l’energia sfuggisse dai “buchi”.

Proseguiamo con la nostra analisi: abbiamo identificato, a ϕ−3dB = nπ, la posizione del primo massimo; fissato n, il massimo successivo sar`a a ϕ−3dB =

(n + 1)π. Per tradizione, l’intervallo tra due massimi `e stato detto FSR: Free-Spectral Range. Come si pu`o vedere facendo la sottrazione tra le ϕ_−3dB dei due massimi, si pu`o vedere che, in radianti,

FSR = π

Questa `e una definizione alternativa a quella del Q, ossia del fattore di qualit`a: in strutture di questo tipo, il Q verrebbe elevatissimo, essendo la banda evidentemente molto stretta, quindi ci`o che si fa `e definire il parametro di Finesse, F , come:

F , ^FSR ∆ϕ−3dB

ribadendo che FSR = π, ricordando la formula precedentemente scritta: F = √ G0 ⁴ √ R1R2 1 − G₀√ R₁R₂^π

(infatti, si ha che la formula di prima teneva conto del ¹₂ che veniva dai conti, ma, dal momento che ora non si ha, non lo si `e messo, essendo il doppio del semitermine, per dirla alla buona).

Come si pu`o esprimere, in frequenza, la larghezza di banda? Quella che si vuol presentare, si vuol ribadire, `e un’espressione che non tiene conto delle variazioni di fase degli specchi, considerati ideali; questa, dunque, non sar`a sufficiente nel caso dei riflettori di Bragg. ϕ<sub>−3dB</sub> `e pensabile come variabile da β, il quale `e

β = k_zl ma quindi: ∆ϕ−3dB = −∆Re {kzl} avevamo che: ϕ = ¹ 2∠S11⁰⁰ S₂₂⁰ − βl

l’altro termine `e costante, dunque ce ne possiam fregare; si ha, quindi: ∆ϕ−3dB = ∆βl

utilizzando la formula degli incrementi finiti, `e possibile legare una varia-zione di ∆ω−3dB a quella di β:

∆β = ^∂β

∂ω^∆ω−3dBl

in questo modo, abbiamo potuto esprimere ∆β. A questo punto, si pu`o osservare che: ∂β ∂ω ⁼ 1 v_g quindi: ∆β = ^l v_g^∆ω−3dB infine, invertendo e usando la formula di prima:

∆ω_−3dB = ^vg l ^{∆β =} v_f l 1 − G₀√ R₁R₂ √ G₀√4 R₁R₂

Questa `e l’espressione della banda, espressa in rad/s (ossia secondo un’u-nit`a di frequenza); questo `e un risultato pi`u utile, sotto il punto di vista applicativo, dato che la larghezza di banda di solito `e espressa in termini della frequenza.

Analisi in transitorio del comportamento della cavit`a, alimentata CW

Tutto ci`o che `e stato fatto finora si riferisce a un’analisi del comportamento della cavit`a, supponendone regime sinusoidale continuo, CW (Continous Wa-ve): si `e supposto che ci sia una certa onda incidente a una certa pulsazione ω, abbiamo calcolato per ogni frequenza |S₂₁|², abbiamo fatto il grafico in ϕ (o, equivalentemente, in ω), e abbiamo trovato il picco di risonanza.

In transitorio, ossia nel dominio del tempo, cosa capita? Beh, si `e detto che il S<sub>21</sub> esplode; il fatto che, nel dominio della frequenza, si abbia que-sto comportamento, `e riconducibile al fatto che un sistema risonante venga alimentato esattamente alla frequenza di risonanza; in tale situazione, nel dominio del tempo l’andamento dell’uscita, dell’onda trasmessa, `e qualcosa di questo tipo:

Ossia, si ha che

E(r , t) ∝ t sin(ω0t)

Come noto infatti, un sistema risonante (ideale) presenta poli sull’asse immaginario, ossia per:

s = ±jω₀

se l’ingresso `e un segnale monocromatico a pulsazione ω 6= ω₀, calcolando l’uscita mediante il metodo delle trasformate di Laplace come:

L⁻¹{H(x)X(s)}

se la situazione `e quella appena descritta, si hanno dei poli semplici, e la situazione tende a convergere dopo un certo tempo. Se la situazione `e la stessa di prima, ma con ω = ω₀, si ha qualcosa di diverso: l’eccitazio-ne infatti presenta gli stessi poli che presenta la funziol’eccitazio-ne di trasferimento, quindi l’antitrasformata di Laplace, come si pu`o dimostrare, porta ad avere una sinusoide, moltiplicata per il tempo t; questo, si noti, vale per qualsiasi sistema LTI descritto mediante il formalismo delle trasformate di Laplace, dunque mediante la funzione di trasferimento.