Strati antiriflesso

Si vuole a questo punto proporre una prima applicazione pratica dello studio precedentemente effettuato, in modo da vedere a cosa pu`o servire. Prece-dentemente, `e stato ipotizzato, dati due mezzi n₁ e n₃, n₁ = n₃; questo non `

e assolutamente necessario, dal momento che i due mezzi possono in effetti essere tra loro diversi: in questo caso (supponendo per ora che non ci sia nulla in mezzo), ci sar`a della riflessione; questa riflessione, in molte occasioni, pu`o essere alquanto fastidiosa; ci`o che si pu`o fare, tuttavia, `e introdurre tra i due mezzi uno strato antiriflesso, ossia uno strato con un particolare spessore e un particolare coefficiente di rifrazione, tale da avere Γ<sub>A</sub>− = 0. La situazione `

e dunque la seguente:

Quello che si pu`o fare, come si pu`o osservare dal modello a linee di tra-smissione, `e ricondurci alle nozioni gi`a note sull’adattatore a λ/4: se infatti si ha

AB = λ_g2/4 e

Z∞2 =^pZ∞1Z∞3

si ha uno strato antiriflesso, ossia l’equivalente ottico dell’adattatore a quarto d’onda.

Al fine di dimensionare una struttura di questo genere, la prima idea po-trebbe essere quella di determinare, a partire dalla richiesta su Z∞2, il valore di n₂: nelle espressioni delle impedenze modali, infatti, si trova un’equazione in funzione di n₂. Prima di parlare di ci`o, tuttavia, `e opportuno evidenziare il fatto che, in questo sistema, vi sono delle arbitrariet`a:

• qual `e l’angolo di incidenza dell’onda (supposta piana) sulla struttura? • quale polarizzazione stiamo utilizzando?

• a quale frequenza si sta lavorando?

Purtroppo, questa struttura presenta uno svantaggio enorme: essa fun-ziona, ma solo fissati i tre parametri di cui si parlava. Al fine di comprendere il ragionamento dietro il progetto della struttura, tuttavia, si vogliono pro-porre alcuni calcoli esemplificativi. Si supponga di lavorare con un angolo ϑ_i fisso e noto, e con un’onda a polarizzazione TE. Detto ci`o, si ha:

ωµ k_z2 ⁼ r ωµ k_z3 ωµ k_z1

Questa si pu`o riscrivere, semplificando tutto ed elevando al quadrato: k_z2² = k_z1k_z3

a questo punto, si recuperino le espressioni dei vari k modali, e le si sostituiscano: k₀² n²₂ − n²₁sin²ϑi
= k2 0 q n2 1− n2 1sin²ϑi
n2 3 − n2 1sin²ϑi

Noto n₂ da questa equazione, essendo esso l’unica incognita di tutti i parametri contenuti, `e noto che:

λ_g2 = ^2π k₀^pn2

2− n2 1sin²ϑ_i ricordando poi che:

λ0 = ^2π k₀ si trova: λ_g2 = _p ^λ0 n2 2− n2 1sin²ϑ_i

Questo permette di determinare lo spessore effettivo dello strato, quindi, sapendo che deve essere pari a un quarto di quello appena analizzato, il dimensionamento `e ultimato. Nel caso di polarizzazione TM, si ha qualcosa di un poco pi`u complicato, a causa delle espressioni della ZTM

∞2 (ma i conti sono sostanzialmente simili, se non per il fatto che si trova un’equazione di secondo grado in n2 invece di una di primo grado).

Quella appena proposta `e una possibile soluzione pratica di un problema. Quali sono i suoi limiti, i suoi problemi?

• L’angolo di incidenza spesso non `e definito in maniera precisa: esso sta in un certo campo di variabilit`a; si immagini per esempio che si voglia progettare uno strato antiriflesso per un sistema ottico di una macchina fotografica: non `e assolutamente detto che la luce del Sole incida con un angolo preciso e ben definito sull’obiettivo!

• La polarizzazione non `e ben definita: quando si ha la luce dall’ambiente, la polarizzazione come gi`a detto precedente `e arbitraria.

• Non `e detto di avere a che fare con una luce monocromatica: potrebbe interessare un certo range di colori di luce, quindi una certa banda; il progetto, invece, vale a una singola frequenza.

Quello che si pu`o chiedere, in pratica, non `e tanto un funzionamento perfetto per tutti i parametri, ma un buon funzionamento su un certo range di parametri; questo concetto si pu`o sostanzialmente ricondurre al progetto di un filtro: un filtro si pu`o progettare introducendo dei parametri iniziali, quindi eseguendo un programma, un software, in grado di ottimizzare i vari parametri liberi fino a ottenere un risultato soddisfacente.

La strategia di progetto `e: non chiedere un risultato “ottimo” per un certo valore di frequenza, ma chiederlo per un valore di frequenza “mediano”, in modo tale da avere, a partire da questo valore di frequenza, una banda in cui il parametro che si intende ottimizzare (nel nostro caso, il Γ) abbia valori ragionevoli, rispetto alla specifica fornita.

Studiamo a questo punto il problema della variabilit`a in frequenza, con-siderando tuttavia fissati gli altri parametri: polarizzazione e angolo di inci-denza. Si considera inoltre la frequenza f variabile in una certa banda ben definita:

f ∈ [f_min, f_max]

Volendo considerare un grafico dell’andamento di Γ funzione della fre-quenza f , si potrebbe avere qualcosa del genere:

Si cerca il valore f₀ mediano, dunque, usando la strategia di progetto prima proposta, Γ(f₀) = 0, e in un intorno il Γ cresce. Si deve quindi verificare il valore di Γ_max accettabile, per vedere se, nella banda, il sistema soddisfa le specifiche. In realt`a, purtroppo, con questo tipo di adattatore, a quarto d’onda, non `e possibile fare di meglio. Si ha nella fattispecie la seguente situazione:

Nel caso n₁ ∼ n₃, la curva `e pi`u “aperta”, dunque sar`a tendenzialmente pi`u semplice soddisfare le specifiche con essa; nel caso invece n₁ sia molto diverso da n₃, l’andamento di Γ(f ) `e molto pi`u ripido; in altre parole, la

banda in cui l’adattatore funziona in maniera accettabile dipende molto dal salto di indice di rifrazione.

A questo punto, si ha un problema: non sono i progettisti quelli che pos-sono decidere n₁ e n₃, dal momento che spesso n₁ `e l’aria (o comunque un mezzo molto poco denso), n<sub>3</sub> per esempio l’obiettivo della macchina fotogra-fica; l’idea, dunque, `e quella di “gradualizzare” il salto, introducendo pi`u di una sezione:

Di solito si indica come prima linea una linea con caratteristiche derivanti dall’aria, o comunque da un mezzo esterno, come detto poco denso: n₀; i vari tratti di linea, tutti lunghi λ_g,i/4, hanno indice di rifrazione n_i, i = 1, 2...; l’elemento finale, quello da “adattare”, avr`a indice di rifrazione n<sub>s</sub> (s sta per substrato, dal momento che l’antiriflesso si ottiene mediante deposizione di vari strati di film sottili su questo substrato). L’obiettivo finale `e quindi quello di ridurre il salto grosso in tanti salti piccoli, eliminando il problema della larghezza di banda.

Il fatto di introdurre diversi tratti di linea introduce molti parametri di progetto: a seconda di come si scelgono gli indici di rifrazione, si hanno risultati diversi in termini di curva di progetto; il fatto infatti di avere tutti questi parametri, si presta a utilizzare metodi “sistematici”: metodi in grado di far realizzare, al coefficiente di riflessione, curve al variare della frequenza f che siano ben note, per esempio dalla teoria dei filtri. Si noti che quello che stiamo facendo presenta notevoli analogie con i filtri passa-banda, ma anche una sostanziale differenza: a noi, sostanzialmente interessa solo la banda passante, non la banda attenuata: fuori “banda” `e probabile che non arrivino neanche segnali, quindi non si hanno problemi di questo tipo.

Dalla teoria dei filtri, due esempi di risposte molto famose sono le seguenti: La prima `e una risposta alla Butterworth, anche detta a massima piattezza: si tratta di una funzione nulla a f<sub>0</sub> e con un certo numero di derivate nulle; questa `e la curva pi`u piatta che si pu`o ottenere. La seconda curva `e detta alla Chebyshev, ed `e estremamente interessante: essa per-mette di avere delle ondulazioni, ad ampiezza costante; questa di solito `e pi`u apprezzata, dal momento che presenta propriet`a molto interessanti.

A questo punto, non si vuole presentare il procedimento esatto per proget-tare sistemi di questo tipo, ma solo alcune idee; progetproget-tare il sistema significa scegliere i coefficienti n_i; vi sono diverse strade:

• scegliere una cosiddetta “sintesi diretta”: trovare tutti gli n_i diretta-mente, ma ci`o non `e semplice;

Teoria delle piccole riflessioni

Senza entrare troppo nei dettagli, facendo riferimento al problema dei tre mezzi, si vuole a questo punto presentare l’idea dietro la teoria delle picco-le rifpicco-lessioni, dal momento che spesso la si incontra, studiando probpicco-lemi di elettromagnetismo ingegneristico.

Precedentemente, `e stata ricavata la seguente espressione: S₁₁= ^{r12+ r23e}

−j2φ

1 + r₁₂e−j2φ

Non consideriamo la presenza del fenomeno delle riflessione totale: questo, dal momento che di solito si parte da un mezzo poco denso, verso uno pi`u denso; gli r_ij, come noto, sono coefficienti di riflessione di Fresnel.

L’obiettivo della presente sottosezione `e quello di ricavare una formula ragionevolmente accurata, a patto che essa lavori con coefficienti di Fresnel piccoli: questa `e un’ipotesi ragionevole quando i salti tra i coefficienti di rifrazione n_i sono piccoli.

Studiando il denominatore, `e possibile vedere che si ha il prodotto di due quantit`a “piccole”: questa `e quindi una “quantit`a piccola del secondo ordine”, la quale `e, ragionevolmente, trascurabile rispetto a 1; si pu`o dunque dire che:

S₁₁ = r₁₂+ r₂₃e^−j2φ

Questa formula, cos`ı presentata, `e assolutamente iterabile; studiando il pi`u semplice caso di linea di trasmissione con una discontinuit`a di impedenza, si ha qualcosa di questo genere:

l’obiettivo, in generale, `e quello di ottenere una formula iterativa in grado di ottenere Γ<sub>A</sub>−, come funzione di Γ<sub>A</sub>+. La strada per fare ci`o, come noto dai corsi di Circuiti a parametri distribuiti, `e quella di passare per le impe-denze, denormalizzare e rinormalizzare; lavorando analiticamente, tuttavia, `

e possibile trovare una formula di questo tipo: Γ_A− = ^{r12+ ΓA+} 1 + r₁₂Γ_A+

dove, ovviamente:

r₁₂= ^Z∞2− Z∞1

Z∞2+ Z∞1

Si consideri a questo punto il solito esempio, a partire dai tre mezzi: due sezioni, A e B, in cui si hanno delle discontinuit`a. In questo caso, si ha che, nella formula:

Γ_A+ ←→ Γ_B−e^−j2φ e

Γ_B− = r₂₃

c’`e dunque una perfetta corrispondenza con questa formula.

Questa formula, sviluppata secondo la teoria delle piccole riflessioni, `e cos`ı approssimabile:

Γ_A− ∼ r₁₂+ Γ_A+

questa, ovviamente, `e valida a patto che: ( r₁₂  1

|Γ_A+|  1

Questa formula, come detto, `e applicabile iterativamente: dato un circui-to con tanti pezzi di linee di trasmissione collegate assieme, con lunghezze generiche (per gli adattatori sono necessarie lunghezze ben definite, ma l’ap-plicazione della teoria delle piccole riflessioni non dipende assolutamente dalla lunghezza delle linee, a meno che essa non sia collegata con i due parame-tri precedentemente introdotti). Si pu`o vedere che la formula, approssimata (ovviamente anche quella pi`u esatta, ma quella approssimata `e molto pi`u semplice), `e applicabile iterativamente, ottenendo:

Γ_A− = r₁₂+ r₂₃e^−j2φ+ r₃₄e^−j4φ+ ...

dove, ogni volta, si aggiunge uno sfasamento, “venendo indietro”, di e^−j2φ. Si noti che i vari r_ij non sono noti, ma d’altra parte sono essi il risultato che si deve ottenere: questa approssimazione `e stata applicata per avere un’e-spressione semplice, come d’altra parte questa `e (si tratta solo di una somma pesata con degli esponenziali complessi), dei vari r_ij; questa approssimazio-ne `e stata fatta dal momento che essa `e importante ai fini di progettare il sistema, non di analizzarlo: usandola, `e possibile quindi progettare gli strati antiriflesso (o altri sistemi) come appena visto.

Capitolo 3

Strutture periodiche

3.1 Introduzione agli specchi - Riflettore di

Bragg

A questo punto si vuole analizzare un’altra struttura, per ora con i metodi precedentemente utilizzati, ma poi applicando un formalismo completamente diverso; per questo motivo, e per l’importanza di queste strutture (e di questi approcci), si `e pensato che sia il caso di dedicare un nuovo capitolo a tutto ci`o, sebbene la parte introduttiva sia sostanzialmente riconducibile a ci`o che `

e gi`a stato analizzato.

L’obiettivo di questa prima sezione `e quello di realizzare, al contrario di prima, uno specchio: se prima l’obiettivo era quindi quello di eliminare le riflessioni, ora l’obiettivo `e quello di ottenere una struttura molto riflettente. Gli specchi esistono gi`a, senza bisogno di usare le nozioni che stiamo per introdurre: utilizzando un film di argento depositato, quindi un vetro che da un lato protegge il film di argento, dandogli un supporto meccanico, e dall’altro permettendo di ottenere una rugosit`a superficiale molto ridotta (a seconda della qualit`a necessaria `e possibile ottenere errori in frazioni di lunghezze d’onda: λ/10, λ/20, o altro a seconda della necessit`a). Come mai dunque si desidera parlare di specchi, quando gi`a esiste questa eventualit`a? Beh, il motivo `e semplice: gli specchi realizzati a partire da film depositati, film di materiali metallici, hanno il problema delle perdite: si ha una ε con parte reale, e parte immaginaria (per quanto quest’ultima sia una frazione della parte reale, generalmente). Il coefficiente di riflessione, dunque, non `e esattamente 1, o quantomeno non `e neanche possibile pensare di ottenerlo: qualsiasi sia il suo valore, in alcune situazioni potrebbe essere necessario fare di meglio.

Esposto il problema, esponiamo la soluzione: come `e possibile ottenere uno specchio migliore di quello appena descritto? Ci`o di cui disponiamo, ora, `e un certo substrato n<sub>s</sub>, sul quale vogliamo fare depositare degli strati di dielettrici, a coppie (ciascuna coppia `e detta “cella”). Quanto sono lunghi i dielettrici nella cella? Beh, la soluzione, ancora una volta, `e:

l₁ = λ_g1/4 l₂ = λ_g2/4

Come mai ancora una volta si ha a che fare con queste lunghezze elet-triche? La risposta `e abbastanza semplice: scegliendo gli spessori in questo modo, i campi riflessi si sommano tutti in fase: questa, quindi, `e ancora una volta un’applicazione del principio di interferenza.

Si noti tuttavia un fatto: stiamo parlando immediatamente della lun-ghezza degli elementi della cella, ma non stiamo parlando di n₁ e n₂; la fon-damentale differenza tra questo progetto e il precedente (quello dello strato antiriflesso) sta nel fatto che, prima, era fondamentale ricavare, a partire da un’equazione (quella ricavata a partire dalle linee modali imponendo la con-dizione di adattatore a λ/4), i valori di n₁ e n₂; questi, ora, sono “liberi”: di fatto, fornitici due materiali che possiamo depositare, senza avere bisogno di determinarli, `e possibile realizzare uno specchio con un indice di rifrazione desiderato.

Utilizziamo il solito metodo di analisi:

Se i tratti di linea sono λ_g/4, non `e nemmeno necessario ricorrere alla caratterizzazione secondo carta di Smith. Prima di tutto, si pu`o determinare l’impedenza normalizzata alla sezione C⁻:

ζ_C− = ^Z∞,s Z∞2

dal momento che il tratto di linea lungo un quarto della lunghezza d’on-da, come noto dalla teoria delle linee di trasmissione, inverte l’impedenza normalizzata, si ha che: ζ_B+ = ¹ ζ_C− = ^Z∞2 Z∞,s quindi, si ha che: ζ_B− = ζ_B+ Z∞2 Z∞1 = ^Z 2 ∞2 Z∞,sZ∞1

Andiamo avanti: per arrivare alla parte destra della sezione A, si incontra ancora una volta un invertitore di impedenza:

ζ_A+ = ¹ ζ_B− = ^Z∞,sZ∞ Z2 ∞2 quindi, ζ_A− = ^Z∞,sZ∞ Z2 ∞2 Z∞1 Z∞0 = Z∞s Z∞0   Z∞1 Z∞2 2

Il primo fattore sarebbe l’unico presente, nel caso non ci fosse la cella; questa sarebbe, in questo caso, l’impedenza di ingresso. Il secondo fattore dipende invece dai due strati in mezzo; in questo caso, Z_∞1 6= Z_∞2, quindi il rapporto pu`o essere maggiore o minore di 1.

Posizionando (come si pu`o vedere osservando una carta di Smith) un valore di impedenza normalizzata maggiore di 1, esso andr`a “a destra” della carta di Smith; posizionandone uno “minore di 1”, esso andr`a a sinistra (si ricordi che a sinistra c’`e il corto circuito, a destra il circuito aperto, quindi `e ragionevole il fatto che l’impedenza caratteristica si avvicini a una di queste condizioni).

Si immagini a questo punto di avere a che fare con ^Z∞,s

Z∞0 < 1: in questo caso, il “punto” va a sinistra, ottenendo un Γ reale ma minore di 0. In questa condizione, la strategia `e quella di avere:

Z∞1

Z∞2

< 1

in questo modo, essendo il punto gi`a “a sinistra”, esso viene spostato “ancora pi`u a sinistra”, ottenendo con maggiore facilit`a un coefficiente di riflessione elevato in modulo. Nella situazione duale, ossia se il “punto ini-ziale” `e a destra della carta di Smith, si fa in modo da “andare ancora pi`u a destra”: sarebbe ovviamente possibile, in entrambe le condizioni, fare il contrario, ma ci`o sarebbe sicuramente inutile e pi`u dispendioso. Inutile, dal momento che, nel caso il rapporto tra le impedenze caratteristiche della cella risultasse “scomodo”, `e sufficiente scambiare l’ordine di deposizione dei ma-teriali, invertendo di fatto il rapporto e ottenendo ci`o che si desidera: basta scambiare i dielettrici!

A questo punto sorge un altro problema: potrebbe essere che un mate-riale abbia indice per esempio pari a 1,5 , l’altro a 50: un matemate-riale con questo secondo n `e dunque difficile da realizzare (se non impossibile). Si `e tuttavia detto, all’inizio della sezione, che gli n_i possono anche non essere a nostra scelta, bens`ı possono esserci forniti dall’esterno; come `e possibile fare

ci`o? Semplice: usando N celle! Se si hanno anche indici di rifrazione molto vicini, ma mettendo per esempio 40 celle, `e possibile aumentare enormemen-te il coefficienenormemen-te di riflessione della struttura. Si osservi che metenormemen-tere tanenormemen-te celle `e assolutamente ragionevole: le lunghezze d’onda in gioco (e quindi le lunghezze) sono molto ridotte, quindi lo spessore verr`a di qualche micron, anche con molte celle in cascata.

Iterando il ragionamento, si ottiene ci`o:

come si vede, dalla sezione C si vede Z_C, invece che Z_∞,s; questa cosa tuttavia `e interessante, dal momento che Z<sub>C</sub> `e quella di prima, quindi si pu`o applicare la formula precedente, considerando come “primo termine” quello dipendente da Z<sub>C</sub>. Fatto questo ragionamento, il risultato finale `e:

ζ_A− = ^Z∞,s Z∞0

 Z_∞1 Z∞2

2N

dove N `e, come detto, il numero di celle.

Questo metodo, come si pu`o osservare, `e molto flessibile!

Questa struttura per la realizzazione di specchi `e detta “riflettore di Bragg” o “specchio di Bragg”: la riflessione in questo caso `e solo legata alle riflessioni causate dall’interfaccia dielettrica; questo permette sostanzialmen-te di ridurre le perdisostanzialmen-te, rispetto a quelle che si avevano quando si utilizzavano materiali metallici come base per la realizzazione dello specchio. Le uniche due posizioni che funzionano, per il progetto di questo sistema, sono il “punto pi`u a sinistra” e il “punto pi`u a destra” della carta di Smith; quale scegliere di questi, dipende sostanzialmente dal substrato e dalla polarizzazione.

Sostanzialmente, il progetto potrebbe essere di questo genere: a partire da un Γ_min = 0, 99 (per esempio, per dare un numero), si ricava la Z_A− che si deve avere; questa deve essere ottenuta, a partire dai dielettrici a nostra disposizione, quindi si fanno i calcoli e si ricava un’equazione in cui N `e l’unica incognita.

A questo punto ci poniamo un’altra domanda: cosa succede se la frequen-za cambia, rispetto a quella di progetto? Quello che si pu`o verificare (e che verificheremo) `e sostanzialmente un comportamento di questo genere:

dove f₀ `e la frequenza per cui la lunghezza dei tratti di dielettrico `e λ_g/4, e in cui il Γ soddisfa bene la specifica.

Questo comportamento ricorda il comportamento di un filtro che ha ri-flessione (Γ) alla “frequenza di centro banda”: questo `e sostanzialmente un filtro elimina banda, dal momento che alla banda “importante” esso riflette molto (essendo, sotto il punto di vista ottico, uno specchio).

Si noti che lo specchio appena presentato (il riflettore di Bragg) funziona sostanzialmente grazie a fenomeni di risonanza, dal momento che tutto `e

basato sul fatto che si hanno segnali che si sommano in fase (ancora una volta, dunque, a partire dal principio dell’interferenza); a frequenze basse, il Γ `

e nullo, quindi quello che dovrebbe essere uno specchio in realt`a `e trasparente. Attorno a f₀ si ha una riflettivit`a forte, ma non esattamente unitaria, come detto.

Nel documento Componenti per ottica integrata (pagine 95-105)