Analisi in transitorio della cavit` a con condizioni iniziali 161

4.2 Osservazioni e calcoli sull’interferometro di Fabry-Perot

4.2.2 Analisi in transitorio della cavit` a con condizioni iniziali 161

iniziali

Consideriamo, dopo questa osservazione, qualcosa di diverso: quello che è stato analizzato prima, volendo fare un paragone meccanico, è il problema dell’analisi in transitorio (e anche nel dominio della frequenza) di un sistema sempre alimentato, CW: un po’ come avere un bambino sull’altalena, con un genitore che lo spinge alla frequenza e intensità tale da fargli fare il giro massimo: l’altalena con il proprio attrito (introdotto dai giunti arrugginiti o altro) riduce la velocità, ma i genitori la ripristinano. Il problema che si vuole invece affrontare ora è quello del pendolo carico: dato il pendolo con una certa energia potenziale all’inizio, lo si lascia in evoluzione libera, vedendo come esso si comporta.

Cosa capita, nel nostro specifico caso (della cavit`a)? Proviamo ad ana-lizzarlo in questo modo:

Si immagini di aver caricato la cavità, al tempo t = 0, con una certa energia W (0); in questo modo, è come aver messo, al suo interno, un certo numero di fotoni. L’energia dei fotoni, come noto, è ~ω0; si ha quindi:

W (0) ∝ Np(0)^hω⁰ 2π

dove ω₀ è la frequenza per cui la fase del guadagno di anello è pari a n2π, N_p è il numero dei fotoni, e quindi l’energia è il numero dei fotoni per la loro energia (h è la costante di Planck non normalizzata a 2π).

A questo punto, di tutta la cavità, consideriamo solo un certo piccolo volumetto dV : dato esso, il numero di fotoni al suo interno sarà il numero di fotoni, per il volumetto, diviso il volume totale V , dal momento che si suppone uniforme la concentrazione dei fotoni nella cavità:

=⇒ N_p(0)^dV V

I fotoni, tuttavia, non stanno fermi: si suppone che essi si muovano verso destra: se essi vanno verso destra, dunque verso lo specchio 2, e vengono riflessi, a seconda della riflettività R₂ (che, si noti, è la grandezza più appro-priata in questo ambito, dal momento che si sta parlando di energia, quindi di potenza, quindi non di tensione: di grandezze in altre parole quadratiche), un certo numero di essi tornerà indietro. Si tenga tuttavia conto che, essendo ciò che sta dentro lo specchio attivo, man mano che vanno verso destra, il loro numero aumenta; allo stesso tempo, dopo la riflessione (che, essendo la riflettività meno che unitaria, porterà alla riduzione del numero dei fotoni), essi torneranno indietro e il loro numero pian piano continuerà ancora ad aumentare, grazie al guadagno. Si ha quindi, in totale, che, dopo la secon-da riflessione, allo specchio 1, situazione in cui un “ciclo” dei fotoni è stato ultimato:

N_p = N_p(0)^dV

V ^G⁰^R¹^R²^G⁰

questo è il numero totale di fotoni dopo un “giro”, ed è generalmente diverso dal numero di prima. Questo, si suppone, è minore del numero di prima. Definiamo −dN_p la perdita totale di fotoni rispetto a prima, e, intuitivamente, si può calcolare che essa sia:

−dN_p = 1 − G²₀R₁R₂ Np

Questo va fatto su tutta la cavit`a, ma, dal momento che si dovrebbe semplicemente fare un integrale di volume, si finirebbe per trovare che tutto `

e costante rispetto alla variabile di integrazione, quindi si finirebbe solo per avere che

dV V ^{= 1}

A questo punto, un’ultima osservazione: questa è la perdita che si ha in un ciclo; essendo l la lunghezza totale della cavità, e v_f la velocità di fase, ossia la velocità con cui supponiamo che si muovono i fotoni, si ha che il tempo è

tempo = ^2l v_f

questo, usando la normale definizione di velocit`a come spazio su tempo, invertita.

Mettendo tutto assieme, se ho una perdita di fotoni in questo tempo, ho che: dN_p dt ⁼ 1 − G2 0R₁R₂ 2l ^N^p^v^f ⁼ N_p τ_p

dove τ_p è detto “tempo di vita media dei fotoni nella cavità”: si tratta della costante di tempo della cavità.

Quella che abbiamo appena ottenuto `e un’equazione differenziale, di cui oltretutto conosciamo il valore iniziale: un problema di Cauchy. Questo ha inoltre una soluzione ben nota in forma analitica, ossia:

N_p(t) = N_p(0)e⁻τp^t

La stessa legge vale ovviamente anche per quanto concerne l’energia, proporzionale al numero dei fotoni:

W (t) = W (0)e⁻

t τp

L’energia, quindi, si riduce nel tempo, a causa del fatto che le pareti sono “forate”.

Osservazione finale

Sono state introdotte due caratterizzazioni della stessa cavit`a:

• una, in regime stazionario, CW, ottenendo una curva di risposta con una certa larghezza di banda, ottenendo un ∆ω_−3dB;

• una, dal punto di vista del transitorio, trovando come parametro fon-damentale per la determinazione dell’andamento, τ_p.

A questo punto, un parametro `e temporale, uno `e nella frequenza; viene naturale chiedersi cosa capiti, quando i due vengono moltiplicati tra loro. Si prova dunque a farlo:

∆ω−3dBτ_p = ^v^g l 1 − G₀√ R₁R₂ √ G₀√4 R₁R₂ 2l v_f 1 1 − G2 0R₁R₂ l’ultima frazione pu`o per`o essere scritta come:

1 1 − G2 0R₁R₂ ⁼ 1 (1 − G₀√ R₁R₂)(1 + G₀√ R₁R₂) quindi, sostituendo e semplificando, si trova:

∆ω−3dBτp = ² 1 + G₀√ R₁R₂ 1 √ G₀√4 R₁R₂ vg v_f

Dal momento che la risonanza di solito `e molto stretta, si ha che G₀√

R₁R₂ ∼ 1 (non esattamente 1 ovviamente, altrimenti si avrebbe un picco perfetto, co-sa impossibile); il denominatore della prima frazione quindi verrebbe 2 circa, il secondo 1, e quindi si avrebbe:

∆ω−3dBτp ∼ ^v^g v_f

Se v_f = v_g, cosa ragionevole dal momento che non si ha, per ipotesi, dispersione nel materiale

∆ω−3dBτ_p∼ 1

Questo dunque pone in relazione due descrizioni in un certo senso com-plementari dello stesso sistema; curioso `e il fatto che il prodotto sia unitario: ci`o introduce una sorta di principio di indeterminazione per lo studio del sistema.

Come si può motivare tutto ciò? Beh, data una cavità con specchi molto buoni, quindi molto riflettenti τ_p è molto lungo; prima che l’energia esca, quindi, ci vuole molto tempo, dal momento che le riflettività sono molto elevate e dunque è come se i “buchi” siano piccoli. Allo stesso tempo, ∆ω deve essere molto stretta, e questo è già visto in un altro caso: precedentemente, parlando dello slab, si era visto che, volendo trattare le due discontinuità come due specchi, ci sono situazioni per cui, nonostante le onde evanescenti, si ha trasmissività elevata; questa è esattamente la stessa cosa! Il massimo di S₂₁è alto in modulo, e quindi, nonostante geometricamente sembri di avere a che fare con una barriera quasi insormontabile per la luce, la trasmissività è elevata e la banda conseguentemente stretta. Il fatto che la banda sia stretta giustifica il comportamento risonante del sistema: essendo la barriera molto grande, molto difficile da superare, il “gioco delle fasi” è molto critico, nel senso che le configurazioni per cui si hanno somme in fase dei vari contributi tali da avere ciò sono molto rare; questo implica il fatto che queste particolari configurazioni si avranno per una banda molto stretta, e da qui ∆ω sarà molto stretta.

Questo principio di indeterminazione `e molto generale e vale per qualsiasi fenomeno oscillatorio: quando si ha a che fare per esempio con delle particelle

instabili, come quelle generate dagli acceleratori di particelle, per misurare un tempo di vita τ ∼ 10⁻¹⁵s, quello che si fa `e fare esperimento di scattering, registrando l’ampiezza di scattering in funzione dell’energia E (che sarebbe il corrispondente della nostra ω); si hanno dei picchi al variare di E, e questa permette, mediante l’applicazione di una teoria di questo tipo, di calcolare il tempo di vita delle particelle.

Cenni alla realizzazione della cavit`a

In realtà, quello che si ha è un qualcosa di un poco diverso, come già detto: quello che noi facciamo infatti di solito è supporre di avere specchi piani, ma ciò non ha molto senso, dal momento che non è possibile avere degli specchi infinitamente estesi. Al fine di avere un sistema realizzabile con buona ap-prossimazione, quello che si fa è curvare gli specchi, in modo da ottenere come specchi superfici sferiche, approssimabili al vertice mediante dei paraboloidi. In queste condizioni, si può dimostrare che i modi risonanti assumono una forma molto particolare: i modi di risonanza di una cavità composta da due specchi di questo tipo sono dei fasci gaussiani, ossia distribuzioni di campo di questo tipo:

E ∝ e⁻2w2^x2 H_n^x w

H_n tiene conto del fatto che le gaussiane possono essere di ordine supe-riore, ed `e semplicemente il modo di indicare i polinomi di Hermite: si tratta di polinomi che moltiplicano la gaussiana.

Tenendo conto di questo fatto, il fattore di propagazione da uno spec-chio all’altro dovr`a tenere conto dell’incurvamento, che porter`a ad avere per l’appunto questo fascio gaussiano, introducendo una correzione sul fattore di propagazione.

4.3 Progetto di un interferometro di

Fabry-Perot con specchi di Bragg

A questo punto ci preponiamo l’obiettivo di progettare un interferometro di Fabry-Perot i cui specchi, invece che essere gli specchi ideali di cui si parlava prima, sono reticoli di Bragg. Progettarlo significa, data f₀ a cui si vuole che l’interferometro sia trasparente (ossia la posizione del massimo di S₂₁), data la ∆f−3dB, dati n1, n2, ϑi, la polarizzazione, R1 = R2 per ipotesi (specchi identici), supponendo che le strutture siano dei quarter-wave stack e infine considerando la situazione semplificata di n₁ sia all’interno sia all’esterno

degli specchi, di dimensionare tutto il resto; essendo n₁ lo strato centrale ed essendo non attivo, ipotizzeremo G₀ = 1, cos`ı che tutte le formule viste in precedenza saranno valida, solo imponendo questo valore. Il punto chiave del progetto `e la traduzione delle specifiche su f₀ e su ∆f in valori della lunghezza l e del numero di strati dei riflettori.

Prima di tutto, f₀ dipende solamente da l; al fine di determinare la di-stanza l tra i due specchi, dunque, è necessario imporre che lo sfasamento del guadagno di anello sia un multiplo di 2π. ∆f è invece legato al numero di strati: la larghezza di banda infatti dipende dal ∆ϕ, che a sua volta dipende dalla riflettività degli specchi: da ∆f è dunque possibile risalire al numero di strati.

Dal momento che il progetto degli strati `e λ_g/4, si pu`o dire che, alla frequenza f₀, si abbia un S₁₁ cos`ı calcolabile:

S11= Z∞1 Z∞2 2N − 1 Z∞1 Z∞2 2N + 1

Questo deriva da una semplice applicazione del modello delle linee di trasmissione: a centro banda, infatti, non è necessario ricorrere alle onde di Bloch, ma basta utilizzare questa formula, sfruttando le nozioni note dagli adattatori λ/4. Dal momento che tutto è reale, anche S₁₁ è reale, dunque la fase può essere o 0 o π.

Al fine di proseguire con il progetto, cerchiamo informazioni sul RTPS, ossia sul Round Trip Phase Shift:

RTPS = 2∠S11− 2βl

infatti, dal momento che consideriamo gli specchi uguali, e dal momento che li consideriamo simmetrici, S₁₁ = S₂₂, e quindi i pedici ⁰ e⁰⁰ decadono di importanza: basta sommare due volte la fase di un qualsiasi coefficiente di riflessione. β ovviamente `e quello valutato in f₀:

β₀ = ^2πf⁰ c

A f₀, si vuole che il sistema sia sul “massimo” di trasmissivit`a; questo significa che il RTPS deve essere uguale a un multiplo di 2π. In altre parole:

2∠S11− 2β₀l = n⁰2π

Dal momento che per ipotesi nella cavità vi è n₁, questa espressione può essere riscritta in un modo diverso:

l = m^λ^g1 2

ossia, si può dire che, essendo all’interno della cavità presente n₁, si ha k_z1 in essa, riferito al ϑ_i di ingresso al sistema; a f₀, dire che si ha la massima trasmissività, e dire che il RTPS è uguale a un multiplo di 2π, significa sostanzialmente richiedere che l sia un certo multiplo della lunghezza d’onda guidata nella struttura, nella cavità. m è un parametro che dice di “quante mezze lunghezze d’onda” si vuole fare l; si usa di solito scegliere m bassi: m = 1, m = 2 o simili. m è sostanzialmente una sorta di “indice modale”, dal momento che permette di decidere quante oscillazioni avere; per m = 1, si può dire di avere il “modo fondamentale”.

Questo, per quanto riguarda f₀. Quante celle servono invece, per tenere conto della larghezza di banda desiderata? Beh, gli specchi che consideriamo hanno un certo spessore, dunque una dimensione significativa; questo signi-fica che, in questo caso, non si potr`a pi`u dire che le matrici scattering siano completamente indipendenti dalla frequenza.

Considerando una formula dimostrata precedentemente, si ha che: ∆ϕ−3dB = ^{1 − |S}¹¹|²

|S₁₁|

questo, dal momento che R₁ = R₂, e che abbiamo scritto invece di es-so il parametro scattering in modulo quadro. Questa formula non va bene per il progetto, dal momento che la specifica precedentemente introdotta era in Hz, ossia era nel dominio della frequenza, mentre questo è soltanto uno sfasamento, collegato alla frequenza ma non in maniera immediatissima. Precedentemente, al fine di passare all’unità di misura della frequenza, era stato usato l’incremento finito; ora si farà la stessa cosa, tenendo tuttavia conto delle non idealità aggiuntive introdotte dagli specchi di Bragg. Usiamo dunque gli incrementi finiti:

∆ϕ_−3dB = ^dϕ

dω^2π∆f^−3dB

ϕ tuttavia è semplicemente metà del RTPS; si può dunque scrivere che ϕ = ∠S11− βl

Si noti che ora siamo tuttavia costretti a tenere conto di S₁₁ e della sua fase, dal momento che, come detto, gli specchi dipendono dalla frequenza; si ha dunque, volendo calcolare la derivata prima scritta:

dϕ dω ⁼ d dω∠S11− ^dβ dω^{l =} d dω∠S11− ^l v_g

A questo punto `e necessario introdurre la prima approssimazione grossa: come visto precedentemente, per la teoria delle piccole riflessioni, si ha che:

S₁₁ = jΓ₀e^{−jφ(2N −1)}^{sin(2N φ)} cos φ dove φ `e

φ = k_z1d₁ = k_z2d₂ quindi, si pu`o dire che:

∠S11 = ^π 2 − (2N − 1)φ quindi d dω∠S11= −(2N − 1)^dφ dω A questo punto, un po’ di manipolazione:

φ = kz1d1 = k0n1cos ϑid1 = ^ω

cⁿ¹^{cos ϑ}ⁱ^d¹ a questo punto, moltiplico e divido per ω0:

= ^ω⁰ c

ω₀ⁿ¹^{cos ϑ}ⁱ^d¹ si osservi tuttavia che

ω₀

c ⁿ¹^{cos ϑ}ⁱ^d¹ ^{= k}^z1|_{f =f}

0d₁

ma, a queste condizioni, si ha che d₁ = λ_g1/4, e che quindi si ha uno sfasamento complessivamente pari a π/2:

k_z1d₁ = ^2π λg1 λ_g1 4 ⁼ π 2 quindi, la formula `e: φ = ^ω ω₀ π 2 da qua, finalmente, `e possibile dire che:

d dω∠S11= −(2N − 1)^π 2 1 ω₀ ⁼ = −^{2N − 1} 4f₀

A questo punto, `e possibile sostituire ci`o nell’espressione madre, e trovare la relazione tra ∆f e ∆ϕ: ∆ϕ−3dB = − ^{2N − 1} 4f₀ − ^l v_g|_{f =f} 0 ! 2π∆f−3dB

Dal momento che il mezzo `e non dispersivo, si ha che: l v_g ⁼ l v_f ⁼ ln₁cos ϑ_i c

Ma, come gi`a ricavato prima a partire dalle informazioni su f₀, si ha che: l = m^λ^g1

quindi, sostituendo qua dentro, si pu`o trovare che: l v_g ⁼ mπ ω0 c n₁cos ϑ_i ⁼ n₁cos ϑ_i c ⁼ mπ ω₀ ⁼ = ^m 2f₀ Dunque, si ha che ∆ϕ−3dB = − 2N − 1 4 ⁺ m 2 2π^∆f^−3dB f₀ Questo lega il ∆ϕ al ∆f .

A questo punto, abbiamo due espressioni di ∆ϕ: quella appena ricavata, e quella dipendente da |S11|. Al fine di effettuare il progetto, da questo punto in poi, `e necessario procedere iterativamente: si deve provare a sintetizzare gli specchi, a partire da diversi valori di N . Da N = 1, si ricava il S₁₁, quindi si trova l’espressione:

∆f−3dB =

1−|S11|2

|S11|

2π ^{2N −1}₄ +^m₂^f⁰

∆f_−3dB ≤ ∆f_{−3dB,specifica}

allora si pu`o concludere il ciclo, dal momento che il numero di celle permette di soddisfare la specifica sulla minima larghezza di banda a - 3 dB.

Nel documento Componenti per ottica integrata (pagine 162-171)