Metodo delle linee di trasmissione

Si propone la seguente idea: la struttura prima presentata pu`o essere pensata come una guida d’onda, con sezione infinita (per esempio quadrata); per questa, `e possibile effettuare uno studio dei modi della struttura, applicando

il formalismo modale, ossia il metodo comunemente utilizzato sulle guide d’onda.

Si introduce a questo punto un’ipotesi semplificativa: da qui in poi si supporr`a che le onde piane considerate stiano sempre nel piano xz, ossia si supporr`a che k_y = 0:

Se dunque la componente del k incidente lungo y `e nulla, si pu`o vedere che il campo elettrico non dipende da y; questo deriva banalmente dal fatto che:

e^−jkyy

= e^−j0 = 1 questo, ovviamente, comporta anche il fatto che:

∂E ∂y ^{= 0}

essendoci poi la relazione di impedenza, questo porta anche a dire che ∂H

∂y ^{= 0}

Questo vale per campo incidente, riflesso e trasmesso: se il campo in-cidente non dipende da y, infatti, solo una dipendenza dall’interfaccia da y porterebbe ad avere una variazione, una derivata non nulla rispetto a y; essendo tuttavia l’interfaccia planare, nella fattispecie un piano normale a ˆz (e quindi il piano xy), essa non subisce variazioni al variare di y. Ci`o che si `

e dunque voluto motivare a parole, `e semplicemente il fatto che, per tutti i casi che considereremo,

∂ ∂y ^{= 0}

Questa cosa ha validit`a abbastanza generale: se si ha un’onda piana che incide “di sbieco”, `e semplicemente possibile ruotare il sistema di riferimento; questa cosa ovviamente per`o non funziona, nel caso in cui di onde piane “di sbieco” se ne hanno due, con direzioni di propagazione non parallele: in questo caso si potrebbe “aggiustare” un’onda piana, ma certamente non l’altra.

Per procedere, si scrivano a questo punto le equazioni di Maxwell, per componenti (ossia, un po’ come “le aveva scritte Maxwell” nel 1873):

     ∂Ez ∂y − ^∂Ey ∂z = −jωµH_x ∂Ex ∂z − ∂Ez ∂x = −jωµH_y ∂Ey ∂x − ∂Ex ∂y = −jωµH_z

• la seconda equazione si pu`o scrivere mediante il seguente sistema:      ∂Hz ∂y − ^∂Hy ∂z = jωεEx ∂Hx ∂z − ∂Hz ∂x = jωεE_y ∂Hy ∂x − ∂Hx ∂y = jωεE_z

Questi sono i set di equazioni complete, senza aver introdotto la nostra semplificazione; una volta introdotta, si ottiene ci`o:

   ∂Ey ∂z = jωµH_x ⇐= ∂Ex ∂z −∂Ez ∂x = −jωµH_y ∂Ey ∂x = −jωµH_z ⇐=    −^∂Hy ∂z = jωεEx ∂Hx ∂z − ∂Hz ∂x = jωεE_y ⇐= ∂Hy ∂x = jωεE_z

In questi, sono stati identificate, mediante delle frecce, equazioni “dello stesso gruppo”: le equazioni scritte infatti non sono tutte interdipendenti tra loro, ma solo “a gruppi”. Sono interdipendenti tra loro quelle indicate “con la freccia”, e quelle “senza la freccia”. Si hanno, in sostanza due sottogruppi, ai quali, come stiamo per osservare, appartengono campi elettromagnetici dotati di particolari propriet`a.

• il sottogruppo “con freccia”, contiene le seguenti componenti di campo:   0 E_y 0  ,   H_x 0 Hz  

questa configurazione `e detta TE: Trasverso Elettrico. Questo nome deriva dal fatto che E<sub>z</sub> = 0, ossia dal fatto che non si hanno com-ponenti del campo elettrico lungo l’asse z. Non siamo interessati in realt`a all’asse x, dal momento che il fatto di non avere componenti lungo z `e una propriet`a generale, mentre quella di non averne lungo x `

e una propriet`a che discende dall’aver imposto k<sub>y</sub> = 0, dunque non `e particolarmente interessante ai fini della trattazione.

• l’altro sottogruppo ha le seguenti configurazioni di campo:   E_x 0 E_y  ,   0 H_y 0  

sar`a scontato il fatto che questa configurazione `e detta TM, Trasver-so Magnetico, per le stesse motivazioni prima proposte per quanto riguarda il TE, applicate sul campo magnetico.

Quelli appena introdotti sono due insiemi di campi. Come si pu`o vedere, le equazioni di Maxwell presentano derivate lungo x e lungo z; l’interfaccia, tuttavia, `e coincidente con l’asse xz, dunque il sistema `e invariante per tra-slazione rispetto a x, non lo `e rispetto a z (ovvio: se cambio la posizione di x, non cambia nulla, dal momento che se io “sposto” l’interfaccia lungo x, essen-do essa infinita, il sistema non subisce alcune mutazione; se la “sposto” lungo z invece sposto il punto di interazione dell’onda, modificando drasticamente il sistema). Data questa osservazione di invarianza, `e dunque utile introdur-re, per quanto riguarda i campi espressi lungo x, una rappresentazione di tipo spettrale, ossia basata sull’antitrasformazione secondo Fourier:

E_y(x, z) = ¹ 2π Z +∞ −∞ ˜ E_y(ξ, z)e^−jξxdξ dove ξ `e la variabile spettrale rispetto a x.

Proviamo a motivare queste ultime frasi: il metodo operazionale per la soluzione dei circuiti RLC, `e basato sulla seguente assunzione: considerando per esempio di dover trasformare (secondo Fourier o Laplace che sia) la deri-vata associata a una capacit`a, C, si ha che ci`o ha senso dal momento che C `

e costante per tutti i valori di frequenza, ossia `e costante nel tempo; in que-sto caso la trasformata di Fourier in questione `e spaziale, ma, dal momento che la grandezza interessante `e costante rispetto a x, ha senso effettuare la trasformazione; questa, oltretutto, comporta che:

∂ ∂x^e

−jξx ←→ −jξ e ci`o ovviamente semplifica molto le espressioni. Applicazione alle onde piane TE

Come noto, le onde piane TE sono descritte mediante il seguente sistema di equazioni:

   ∂Ey ∂z = jωµH_x ∂Ey ∂x = −jωµH_z ∂Hx ∂z − ∂Hz ∂x = jωεE_y

Trasformiamo secondo Fourier spaziale la variabile x; tutte le componen-ti di campo saranno conseguentemente trasfomate, ottenendo l’eliminazio-ne delle derivate secondo x (non le altre, ovviamente, dal momento che la trasformazione non coinvolge z per i motivi gi`a detti):

     −^{∂ ˜E}y ∂z = −jωµ ˜Hx −jξ ˜Ey = −jωµ ˜Hz ∂ ˜Hx ∂z + jξ ˜H_z = jωε ˜E_y

Dalla seconda delle tre equazioni si pu`o ricavare l’espressione della com-ponente longitudinale del campo magnetico:

˜ H_z = ^ξ

ωµ ˜ E_y

sostituendo dunque questa nella terza equazione, si ottiene: ∂ ˜Hx ∂z ^{+ jξ} ξ ωµ ˜ Ey = jωε ˜Ey

A questo punto, posso prendere questa equazione, raccogliere al termine destro un _ωµ¹ , e notare che si ottiene in risultante k², essendo

k² = ω²εµ

Considerando il fatto che le derivate parziali possono anche essere scritte (questione di gusto) come derivate totali, dal momento che ξ `e sostanzialmen-te un parametro, una costansostanzialmen-te; si ha dunque che questa equazione `e scrivibile come: d ˜H_x dz ^{= j} 1 ωµ ^k 2− ξ2
_E˜_y questa `e una equazione; l’altra, semplicemente, `e:

−^{d ˜Ey}

dz ^{= −jωµ ˜Hx} mettiamole a sistema:

   −^{d ˜E}y dz = −jωµ ˜Hx d ˜Hx dz = j_ωµ¹ (k² − ξ2) ˜Ey

Questo `e un sistema di equazioni differenziali, che pu`o ricordare qualco-s’altro. Nella fattispecie, si effettuino le seguenti “sostituzioni”, al fine di identificare di cosa si intende parlare:

V (ξ, z) = ˜E_y(ξ, z) I(ξ, z) = − ˜H_x(ξ, z)

k_z² = k²− ξ2

Z_∞^TE = ^ωµ k_z sostituendo, si trovano le seguenti equazioni:

( −dV dz = jk_zZTE ∞ I −dI dz = jk_zYTE ∞ V

queste sono semplicemente le equazioni delle linee di trasmissione, ossia le equazioni delle linee modali equivalenti del nostro problema. Questo `e un sistema di equazioni differenziali, dunque andrebbe risolto, ma dalla teoria di Campi Elettromagnetici noi sappiamo che:

V (z) = V₀⁺e^−jkzz+ V₀⁻e^+jkzz

I(z) = V₀⁺Y_∞^TEe^−jkzz− V₀⁻Y_∞^TEe^+jkzz

Tutto ci`o `e noto dalla teoria della propagazione guidata. Come si pu`o vedere dalle “sostituzioni”, ξ sarebbe semplicemente qualcosa di analogo alla costante di propagazione critica, kc: la costante di propagazione longitudinale infatti `e

kz =^pk2− k2 c

ξ pu`o essere un numero qualsiasi: esso `e stato introdotto come variabile di integrazione in un integrale da −∞ a +∞; questo significa che qualsiasi valore `

e accettato. In una guida vera e propria, invece, possiamo scegliere qualsiasi valore di m e n intero per la definizione del modo, e di conseguenza si ha

un certo k_c; ogni coppia (m, n), individua univocamente un modo. Possiamo dire, in questo caso, che ogni valore di ξ sia la “etichetta” di un particolare modo, un TE_ξ (si ha un pedice solo, dal momento che il problema `e con k<sub>y</sub> = 0); nel caso della guida, i campi variano sia con x, sia con y, quindi gli indici modali sono due. V `e quindi la tensione modale, I la corrente modale; si noti inoltre che la tensione modale, per come `e stata introdotta, `

e la trasformata di Fourier di E_y, dunque della componente trasversale del campo elettrico, mentre la corrente modale `e la trasformata di Fourier della componente H<sub>x</sub>: corrente e tensione modali sono imparentati con i campi trasversali rispetto alla direzione di propagazione. Cerchiamo di capire tutto ci`o con un esempio: immaginiamo di avere un campo E_y(x) a “porta”:

un campo non nullo solo su una finestra. In questo caso, date le formule precedentemente proposte, si ha:

V (ξ, 0) = Z +∞

−∞

E_y(x)e^+jξxdx dato un campo “a porta”, si ha:

V (ξ, 0) = LE0

sin ξ^L₂
ξ^L₂

questa espressione `e una sinc; si pu`o vedere che la posizione dello zero `e: ξL

2 ^{= π =⇒ ξ =} 2π

L

Questo `e l’andamento della tensione modale relativa a ciascun modo: es-sendo essa in funzione di ξ, ossia dell’indice modale, questo `e semplicemente l’andamento della tensione modale, data ipotesi di campo E_y a porta, per ciascun modo: il contributo di ciascun modo nel campo. Si hanno infiniti modi; questo non `e una novit`a, dal momento che anche nella guida era cos`ı, tuttavia qua l’infinit`a ha la potenza del continuo: dal momento che la distan-za tra i vari modi tende ad annullarsi, si ha questo tipo di andamento: un ξ che varia con la potenza del continuo: i coefficienti con cui posso sommare le tante sinusoidi, i tanti modi.

Applicazione alle onde piane TM - Cenni Per il caso TM, sostanzialmente si pu`o dire che:

( V (ξ, z) = ˜E_x(ξ, z) I(ξ, z) = ˜H_y(ξ, z)

poi

Z_∞^TM = ^kz ωε k_z =^pk2− ξ2

Per ogni ξ, quindi, si ha a che fare con un modo TE e un modo TM: con due polarizzazioni diverse possibili per l’onda; in questo caso non si hanno esclusioni, come per le guide (dove per esempio in certi casi i modi non possono avere un indice nullo o cose simili).