GLI ANGOLI [VI 710a-d]

3.4.1. Angolo piano [VI 710a]

Planus autem fit angulus in planitie duabus lineis se invicem tangentibus et non unam fa- cientibus ad alterutrum inclinationem.

Un angolo piano si origina da due linee che si toccano reciprocamente in un piano e non creano alcuna inclinazione l’una verso l’altra. Eucl. elem. I def. 8: Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ’ εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις73_. --- Hero def. 14: [Τί ἐστι κοινῶς ἐπίπεδος γωνία;] Ἐπίπεδος μὲν οὖν ἐστι κοινῶς γωνία ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ’εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις. Εἰσὶ δὲ οὐ συνεχεῖς ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ γραμμαί, ὅταν ἡ ἑτέρα προσεκβαλλομένη κατὰ τὴν ἑαυτῆς σύννευσιν μὴ πίπτῃ κατὰ τῆς ἑτέρας. Καὶ ἄλλως δέ· ἐπίπεδός ἐστι γωνία γραμμῆς ἐν ἐπιπέδῳ πρὸς ἑνὶ σημείῳ κλάσις ἢ συναγωγὴ πρὸς ἓν σημεῖον ὑπὸ κεκλασμένῃ γραμμῇ74_. ---

Balb. 103, 18 s. Lachmann: Planus angulus est in planitia duarum linearum adtingentium sed et non in rectum positarum alterius ad alteram inclinatio.

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Marziano sfrutta Euclide nella prima parte della definizione (ἐπίπεδος... ἀλλήλων = planus... tangentibus), mentre nella seconda si rifà esplicitamente a Erone, che specifica come l’angolo piano si origini da due semirette tangenti, ma dalla diversa inclinazione (ὅταν ἡ ἑτέρα προσεκβαλλομένη κατὰ τὴν ἑαυτῆς σύννευσιν μὴ πίπτῃ κατὰ τῆς ἑτέρας ≈ non unam facientibus ad alterutrum inclinationem)75_.

Non è quindi necessario pensare a guasti, errori e conseguenti integrazioni, come invece fa Stahl 1977, p. 266 nt. 238, seguito da Grebe 1999, p. 351 nt. 235.

Inclinatio traduce κλίσις; planities è ripreso dalla tradizione dei gromatici, dove indica la superfi- cie di un territorio dato (cf. Ayuso García 2008, pp. 643-647).

3.4.2. Angolo rettilineo [VI 710b]

Quando autem quae intra se tenent angulum lineae et directae fuerint, directilineus dicitur angulus, ut Graece εὐθύγραμμος.

Qualora invece le linee che contengono fra loro un angolo siano anche rette, l’angolo si dice ‘rettilineo’, come in greco εὐθύγραμμος.

72 Con ‘angolo piano’, nei moderni manuali di geometria, si definisce ciascuna delle regioni del piano com- presa tra due semirette aventi la stessa origine: vi rientra, quindi, anche l’angolo piatto, che a differenza dei convessi è formato da due tangenti che appartengono alla stessa retta. I teorici antichi, invece, ritenevano ‘angoli’ solo quelli convessi e non conoscevano il concetto di angolo piatto.

73 «Un angolo piano è l’inclinazione di due linee che si incontrano in un piano e non giacciono reciprocamente su una retta».

74 «Un angolo piano, dunque, è comunemente l’inclinazione nel piano di due linee che si toccano recipro- camente e non giacciono l’una contro l’altra su una retta. Le linee sono dunque non continue e si toccano reciprocamente qualora l’una, prolungata lungo la propria inclinazione, non cada sull’altra. Diversamente si potrebbe dire che un angolo piano è una frattura di una linea nel piano in prossimità di un punto, oppure una riunificazione verso un punto da una linea spezzata».

75 Ad alterutrum è la concorde lezione dei manoscritti, ampiamente attestata con valore avverbiale (ThLL I 1,1 1761, 12 ss.), corretta a partire da Dick (e accolta da Willis e Ferré) sulla scorta di Euclide (πρὸς ἀλλήλας) e dello pseudo Boezio (374, 12 Folkerts).

Eucl. elem. I def. 9: Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύγραμμος καλεῖται ἡ γωνία. --- Hero def. 15: [Τίς ἡ ἐπίπεδος εὐθύγραμμος γωνία;] Ἐπίπεδος δὲ εὐθύγραμμος καλεῖται γωνία, ὅταν αἱ περιέχουσαι αὐτὴν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν [ἐπίπεδος δὲ γωνία ἡ ἐν ἐπιπέδῳ πρὸς ἑνὶ σημείῳ σύννευσις γραμμῆς], ἢ γραμμῆς εὐθείας πρὸς ἑνὶ σημείῳ κλάσις· οὕτω γοῦν γλωχῖνας ἐκάλουν οἱ Πυθαγόρειοι τὰς γωνίας. ---

Balb. 100, 9-11 Lachmann: Rectus angulus est euthygrammos, id est ex rectis lineis conprehensus, qui Latine normalis appellatur.

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ps.Cens. 6,3: Rectus angulus est modicus et sibi congruens. ---

ps.Nips. 296, 2 Lachmann: Rectus est qui normaliter constitutus est. ---

Quae è correzione del Dick per aeque (la tradizione presenta anche aequae, aequa e hae quae): in questo modo viene ristabilito il parallelo fra quae intra se tenent angulum lineae e αἱ περιέχουσαι γωνίαν γραμμαί. Non necessaria, invece, l’espunzione di et prima di directae: Marziano afferma che qualora (quando autem = ὅταν δέ) due rette complanari e tangenti che formano un angolo siano anche (et) ortogonali (directae), allora l’angolo in questione è retto (directilineus). Del resto sono proprio le fonti greche a giustificare l’uso di et: la def. 14 di Erone riguarda infatti l’ἐπίπεδος γωνία nella sua casistica più comune (κοινῶς), mentre l’angolo εὐθύγραμμος (def. 15) è solo un caso particolare di angolo piano. L’aggettivo directilineus è hapax (cf. anche § 712 directiangula, ancora hapax). Al § 717a l’angolo retto è definito iustus: vd. infra, 3.10.

3.4.3. Angoli retti formati dalla perpendicolare [VI 710c]

Quando autem directa super directam iacen- tem stans dextra laevaque angulos aequales fecerit, directus uterque est angulus, et illa superstans perpendicularis dicitur, sed Graece κάθετος.

Quando invece una retta che sta sopra una retta giacente realizzi a destra e a sinistra due angoli uguali, entrambi gli angoli sono retti e quella retta sovrastante si dice perpendicola- re, mentre in greco κάθετος.

Eucl. elem. I def. 10: Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφ’ ἣν ἐφέστηκεν. --- Hero def. 17: Ὀρθὴ μὲν οὖν ἐστι γωνία ἡ τῇ ἀντικειμένῃ ἴση. Ἀντικείμεναι δέ εἰσιν, ἃς ποιεῖ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα· ὅταν γὰρ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν. Hero def. 68: [Τί ἐστι κάθετος;] Κάθετος δέ ἐστιν ἡ ἀπὸ σημείου εὐθεῖα ἐπὶ εὐθεῖαν ἠγμένη. Hero def. 69: [Τί ἐστι κάθετος πρὸς ὀρθάς;] Κάθετος δὲ πρὸς ὀρθὰς λέγεται ἡ ὀρθὰς ποιοῦσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας, τῇ δὲ εὐθείᾳ ἐφεστηκυῖα. ---

Balb. 100, 11-14 Lachmann: quotiens autem recta super recta linea stans ex ordine angulos pares fecerit, et singuli anguli recti sunt, et stans perpendicularis eius lineae super quam insistit est. ---

ps.Cens. 6,3: si recta linea supra rectam lineam stans continuos angulos inter se pares facit, tum uterque ex paribus angulis rectus dicitur, et ea linea Graece κάθετος, Latine normalis dicitur.

PARTE 3 – SEZIONE α: NOTE DI COMMENTO AI §§ VI 706-723

Directa super directam... stans è traduzione letterale di εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα; angulos aequa- les fecerit ricalca γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ; superstans perpendicularis dicitur combacia con ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται di Euclide. Non meno importante, tuttavia, l’apporto di Erone: lo denuncia dex- tra laevaque, che serve a spiegare come gli angoli a destra e a sinistra della perpendicolare siano, l’uno di seguito all’altro (ἐφεξῆς), ‘opposti’ (ἀντικείμεναι) sulla stessa retta giacente (directam iacentem).

3.4.4. Angolo ottuso e angolo acuto [VI 710d]

Angulus maior directo obtusus dicitur, minor directo acutus.

L’angolo maggiore del retto si chiama ottuso, quello minore si dice acuto.

Eucl. elem. I def. 11: Ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς. Eucl. elem. I def. 12: Ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς.

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Hero. def. 18: Ὀξεῖα γωνία ἐστὶν ἡ ἐλάττων ὀρθῆς.

Hero. def. 19: Ἀμβλεῖα δὲ ἡ μείζων ὀρθῆς· ὅταν γὰρ εὐθεῖα ἐπ’εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ἀνίσους ποιῇ, ἡ μὲν ἐλάττων καλεῖται ὀξεῖα, ἡ δὲ μείζων ἀμβλεῖα.

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Balb. 101, 2-11 Lachmann: hebes angulus est plus normalis, hoc est excedens recti anguli positionem, et qui, si triangulus secundum hanc positionem constitutus fuerit, perpendicularem extra finitimas lineas habeat. Acutus angulus est conpressior recto; [...] ergo [...] hebes plus normalis, acutus minus normalis.

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ps.Cens. 6,3: hebes maior recto, acutus minor recto. ---

ps.Nips. grom. 296, 2-3 Lachmann: Acutus est qui minor est recto; hebes est qui maior est recto. ---

Marziano segue l’ordine espositivo di Euclide (rispettato anche da Balbo e dallo pseudo Censori- no), mentre Erone inverte le definizioni.

L’autore delle Nuptiae è il primo a usare obtusus per indicare l’angolo maggiore del retto: dopo di lui anche ps.Boeth. geom. 374, 18 s. obtusus angulus maior recto est, acutus autem angulus recto minor est (e cf. Eucl. elem. vers. M 177, 15 - 178, 1 Folkerts). Al § 717a l’angolo acuto è detto angustus... et semper mobilis, mentre l’angolo ottuso latus... molisque similiter: vd. infra, 3.10.

PAROLE CHIAVE – SEZIONE γ

VI 710a

angulus 3.1. − autem 3.1 − inclinatio 3.4. − linea 3.1. − non unam facere ad alterutrum inclinationem 3.2. − planities 3.4. − planus (angulus) 3.1. − se invicem tangentes 3.1.

VI 710b

angulus 3.1. − directa (linea) 3.1. − εὐθύγραμμος / directilineus 2.3. − intra se tenere 3.2. − linea 3.1. − quando autem 3.1.

VI 710c

aequales angulos facere 3.1. − angulus 3.1. − dextra laevaque 3.2. − directa (linea) super directam stans 3.1. − directus 3.1. − κάθετος / perpendicularis 2.1. − quando autem 3.1. − superstans 3.1.

VI 710d

PARTE 3 – SEZIONE α: NOTE DI COMMENTO AI §§ VI 706-723