Rette razionali e irrazionali [VI 718 720] 0 Introduzione [VI 718#]

Omnis autem linea aut rete dicitur aut alogos. Ogni linea si dice o reté o álogos.

L’incipit è confrontabile con ps.Hero def. 136,34, pp. 136, 26 - 138, 1 Heiberg: πᾶσα εὐθεῖα καθ’ ἑαυτὴν οὔτε ῥητὴ οὔτε ἄλογός ἐστιν.

Da qui al § 720 Marziano – caso unico nella letteratura latina – riassume parte della materia contenuta nel X libro degli Elementi di Euclide, la cui dottrina si ricollega a quella delle proporzioni esposta nel libro V: in entrambi i casi, infatti, Euclide si occupa solo di grandezze che soddisfino il co- siddetto ‘postulato di Archimede’164_{. Lo stesso nesso è evidente in Marziano, che illustra rette razionali e}

irrazionali mantenendo ben chiaro il legame con le proporzioni (VI 718 confertur, collata, consentiunt, conferantur: cf. collationis 717b0, conferuntur 717b1, collata 717b2, consentiunt 717b2, consentit 717b4).

L’ordine di esposizione in Marziano è diverso da quello di Euclide, ma gli argomenti sono identici: • rette razionali e irrazionali [718a-b] → Eucl. elem. X def. 3

• rette commensurabili e incommensurabili [719a-b] → Eucl. elem. X deff. 1, 2 Nonostante siano argomenti del § 719, è necessario anticipare qui i concetti di ‘commensurabi- lità’ e ‘incommensurabilità’. Due grandezze x e y sono dette commensurabili quando hanno fra loro un sottomultiplo comune, ossia quando esistano due numeri m ed n tali che x_/

m = y/n. Ne consegue che

due grandezze x e y sono incommensurabili qualora non sussista un sottomultiplo comune capace di esprimire il rapporto x_/

y.

Nella spiegazione euclidea, commensurabilità e incommensurabilità si esprimono mediante due elementi: μῆκος e δύναμις, «lunghezza» e «potenza». Il primo è il caso più comune: l’esistenza o meno di un segmento che misuri entrambe le rette date. Ad esempio:

Date le grandezze

9 6

mediante la divisione di 9 per 3 e di 6 per 2 si ottiene il sottomultiplo comune 3: 3

Le grandezze 9 e 6 sono quindi commensurabili.

Si dice invece che due rette sono commensurabili δυνάμει, «in potenza»165_{, quando le aree dei due qua-}

drati costruiti su di esse abbiano un sottomultiplo comune, anche se le rette date siano incommensura- bili in lunghezza. È il tipico esempio della diagonale rispetto al lato di un quadrato.

Si prenda una retta di misura 3 e a partire da essa si costruisca un quadrato: 3 Si prenda quindi la diagonale, calcolata mediante il teorema di Pitagora: 3 . √2

3 . 1, 41 = 4, 23

164 Si vedano le osservazioni di Frajese – Maccioni 1970, p. 591. Sul postulato di Archimede cf. supra, 3.11.1.0. 165 Vd. Mugler 1958, pp. 148-150. Per una panoramica su δύναμις nella matematica greca vd. Zellini 2017.

Le due rette 3 e 4,23 sono incommensurabili in lunghezza (μήκει), ma commensura- bili in potenza (δυνάμει) poiché il quadrato costruito a partire dalla diagonale 4,23 è il doppio di quello costruito dalla retta 3. Infatti 4,232 _{= 17,9 da approssimare a 18, che è} il doppio di 32 _{= 9.}

L’argomento è illustrato anche da Hero def. 129:

Εὐθεῖαι δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ὅταν τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα τῷ αὐτῷ χωρίῳ μετρῆται, ἀσύμμετροι δέ, ὅταν τοῖς ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνοις μηδὲν ἐνδέχηται κοινὸν μέτρον χωρίον γενέσθαι. τούτων ὑποκειμένων δείκνυται, ὅτι τῇ προτεθείσῃ εὐθείᾳ σύμμετροί εἰσί τινες εὐθεῖαι ἄπειροι. καλείσθω οὖν ἡ μὲν προτεθεῖσα εὐθεῖα ῥητὴ καὶ αἱ ταύτῃ σύμμετροι ῥηταὶ καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς προτεθείσης εὐθείας τετράγωνον ῥητόν, τὰ δὲ ἀπ’ αὐτῆς σύμμετρα καὶ τὰ τούτων σύμμετρα ῥητά.

Le rette sono commensurabili solo in potenza qualora i quadrati da esse <delimitati> siano misurati sulla stessa area; sono invece incommensurabili qualora per i quadrati da esse <delimitati> non sussista un’area che sia misura comune. Date tali rette, si dimostra che ci sono infinite rette commensurabili rispetto alla retta proposta. Si chiami dunque ‘razionale’ la retta proposta e ‘razionali’ le rette commensurabili a questa; si chiami inoltre ‘razionale’ il quadrato costruito dalla retta proposta, ‘commensurabili’ i quadrati costruiti su di essa e razionali i quadrati commensurabili a questi.

3.11.2.1. Definizione di retta razionale [VI 718a] Rete autem illa est, quae prior proponitur, aut quae propositae lineae communi mensura confertur. Reton autem dicitur quicquid con- venit; proposita autem linea, quamvis collata non sit, tamen quia adhuc non est alogos alii collata et habet quiddam quod ex se sola perfi- ciat rationabiliter, appellatur rete.

Reté è quella che viene proposta per prima o che viene confrontata con un’altra linea pro- posta su una misura comune. Si dice infatti retón qualunque cosa sia commensurabile; d’altro canto una linea proposta, sebbene non sia stata messa in relazione con un’altra, tutta- via’ si chiama reté poiché non è ancora álogos confrontata con un’altra e poiché ha qualcosa che da sé sola compie razionalmente.

◆ rete... convenit

Marziano distingue la retta razionale in quanto proposta per prima (prior proponitur) da quella che risulta razionale dopo essere stata confrontata con un’altra (propositae lineae... confertur), rifacen- dosi a Eucl. elem. X def. 3:

καλείσθω οὖν ἡ μὲν προτεθεῖσα εὐθεῖα ῥητή, καὶ αἱ ταύτῃ σύμμετροι εἴτε μήκει καὶ δυνάμει εἴτε δυνάμει μόνον ῥηταί, αἱ δὲ ταύτῃ ἀσύμμετροι ἄλογοι καλείσθωσαν.

Sia dunque chiamata ‘razionale’ la retta proposta, e siano chiamate ‘razionali’ le rette commensurabili ad essa sia in lunghezza e in potenza, sia soltanto in potenza; siano invece chiamate ‘irrazionali’ le rette incommensurabili con essa.

La linea quae propositae lineae (= προτεθεῖσα: cf. VI 715c) communi mensura confertur è la retta σύμμετρος, poiché qui e nel paragrafo successivo il verbo confero traduce μετρέω di Eucl. elem. X deff. 1 e 2:

[1] Σύμμετρα μεγέθη λέγεται τὰ τῷ αὐτῷ μέτρῳ μετρούμενα, ἀσύμμετρα δέ, ὧν μηδὲν ἐνδέχεται κοινὸν μέτρον γενέσθαι. [2] Εὐθεῖαι δυνάμει σύμμετροί εἰσιν, ὅταν τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα τῷ αὐτῷ χωρίῳ μετρῆται, ἀσύμμετροι δέ, ὅταν τοῖς ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνοις μηδὲν ἐνδέχηται χωρίον κοινὸν μέτρον γενέσθαι. 3 4,23

PARTE 3 – SEZIONE α: NOTE DI COMMENTO AI §§ VI 706-723

Μετρέω vuol dire ‘misurare’, ma in unione con κοινῷ μέτρῳ indica il ‘commensurare’, concetto che implica necessariamente un confronto fra due o più elementi (di qui conferre in Marziano): cf. anche Nicom. arithm. I 13, p. 29, 8-9 Hoche κοινῷ μέτρῳ μετρηθῆναι δυνάμενος πρός ἐκεῖνον.

◆ reton... convenit

Marziano sottolinea che è ‘razionale’ qualunque cosa sia commensurabile (convenit) a un’altra; l’indefinito quicquid suggerisce che si tratta di una commensurabilità tanto in lunghezza, quanto in potenza (μήκει καὶ δυνάμει in Eucl. elem. X def. 3).

◆ proposita... rete

Ogni proposta... linea è di per sé razionale (ἡ μὲν προτεθεῖσα εὐθεῖα ῥητή): ne consegue che una retta può risultare irrazionale solo dopo essere stata confrontata con un’altra (adhuc non est ἄλογος alii collata), altrimenti è da considerarsi comunque razionale, cioè commensurabile (cf. supra: ῥητόν autem dicitur quicquid convenit), poiché ha qualcosa che può realizzare razionalmente da sé (habet quiddam quod ex se sola perficiat rationabiliter). Mentre quicquid alludeva a μήκει καὶ δυνάμει, l’indefinito quiddam e l’avverbio rationabiliter (di uso tardo a partire da Apul. Plat. I 8 e mai attestato in ambito geometrico)166

esprimono la commensurabilità unicamente in potenza (δυνάμει μόνον): il suffisso bilis indica infatti la possibilità di costruire un quadrato da qualsiasi linea, anche se irrazionale in lunghezza rispetto a un’al- tra, come si è visto supra (3.11.2.0.) a proposito della diagonale. Va tuttavia osservato che rationabiliter, di norma, traduce λογικῶς (ThLL XI 2, 217, 41): questo permette a Marziano di marcare l’opposizione esatta rispetto ad ἄλογος, non esistendo in Euclide la retta λογική.

3.11.2.2. Definizione di retta irrazionale [VI 718b] Alogos autem iam collata linea efficitur, si dis- sonare per omnia reperitur.

Diventa invece álogos una linea già confronta- ta se risulta incommensurabile in ogni parte. Irrazionale è una linea che non corrisponde in alcuna misura con la retta di riferimento: per om- nia indica l’incommensurabilità tanto in μῆκος quanto in δύναμις (cf. quicquid). Dissonare, usato nelle Nuptiae anche a II 102, 213 e V 514, è unicum in ambito geometrico.

3.11.2.3. Commensurabili e incommensurabili [VI 719]

Lineas autem, quae sibi consentiunt, sym-

metras dicimus; quae non consentiunt, a<sym>metras. Et non mensura sola, sed et potentia symmetras facit, et dicuntur δυνάμει σύμμετροι: in mensura autem pares μήκει σύμμετροι appellantur. Ergo cum tam men- sura quam potentia conferantur, omnes, quae vel potentia vel mensura discrepant asymme- trae sunt.

D’altra parte chiamiamo commensurabili le linee che sono tra loro proporzionali; quelle non proporzionali le chiamiamo incommen- surabili. E non solo la lunghezza, ma anche la potenza le rende commensurabili, e sono dette δυνάμει σύμμετροι; quelle che sono pari in misura sono invece dette μήκει σύμμετροι. Perciò, dato che si confrontano tanto sulla lunghezza quanto sulla potenza, tutte le rette che non sono proporzionali né in potenza né in lunghezza sono incommensurabili.

Il passo è rielaborazione di Eucl. elem. X deff. 1, 2 e 3 (e cf. Hero def. 129)167_: [1] Σύμμετρα μεγέθη λέγεται τὰ τῷ αὐτῷ μέτρῳ μετρούμενα, ἀσύμμετρα δέ, ὧν μηδὲν ἐνδέχεται κοινὸν μέτρον γενέσθαι. [2] Εὐθεῖαι δυνάμει σύμμετροί εἰσιν, ὅταν τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα τῷ αὐτῷ χωρίῳ μετρῆται, ἀσύμμετροι δέ, ὅταν τοῖς ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνοις μηδὲν ἐνδέχηται χωρίον κοινὸν μέτρον γενέσθαι. [3] Τούτων ὑποκειμένων δείκνυται, ὅτι τῇ προτεθείσῃ εὐθείᾳ ὑπάρχουσιν εὐθεῖαι πλήθει ἄπειροι σύμμετροί τε καὶ ἀσύμμετροι αἱ μὲν μήκει μόνον, αἱ δὲ καὶ δυνάμει.

Mensura, qui con il valore di ‘lunghezza’168_{, riprende μῆκος; potentia traduce δύναμις, mentre mensura}

sola e et potentia ricalcano μήκει μόνον e καὶ δυνάμει; discrepare si oppone a consentire anche a III 308. La tradizione manoscritta, in questo punto, riporta con sostanziale compattezza le lezioni: 1. σύμμετρας 2. ametras 3. σύμμετρας 4. dinami σύμμετροι 5. me(c)se σύμμετροι 6. a σύμμετραι

La restituzione δυνάμει per dinami risale già a Bodianus 1499, mentre μήκει per mec(s)e è opera di Pe- tersen 1870, p. 60 (sulla scorta di Anon. Hultsch 268, 12), ma al di là di questi semplici interventi il passo presenta tre ordini di problemi.

Problema I) Le definizioni 2 e 6

Le definizioni 2 e 6 si riferiscono alle rette incommensurabili, ma presentano lezioni manoscritte talmente ambigue da postulare tre possibili scenari: