I sei generi di schemi ergastici [715#-h]

Definizioni [715#]

Verum Graecis nominibus sic appellantur: primus systaticus, secundus tmematicus, ter- tius anagraphus, quartus engraphus, quintus perigraphus, sextus parembolicus, septimus proseureticus.

Con nomi greci si chiamano: il primo systa- ticus, il secondo tmematicus, il terzo ana- graphus, il quarto engraphus, il quinto pe- rigraphus, il sesto parembolicus, il settimo proseureticus.

Dick e Willis introducono la grafia greca in ragione dell’asserto Graece nominibus sic appellantur, ma i manoscritti conservano la traslitterazione latina, che dunque va mantenuta. La distinzione degli er- gastica non ha paralleli nella tradizione geometrica (cf. Stahl 1971, p. 146; Stahl 1977, p. 268 nt. 256): è probabile che Marziano disponesse di una fonte (greca) per noi perduta.

Caratteristiche del systaticus [715a]

Systaticus est < qui docet quibus argumentis ... Il genere systaticus è <quello che insegna con quali metodi...

La tradizione presenta una lacuna evidente per la definizione del tropo systaticus. L’integrazione proposta da Willis < qui docet quemadmodum propositae lineae adiungi et constitui possit trigonus > è da scartare poiché tiene conto solamente di Eucl. elem. I 1: Ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι. In realtà συνίστημι è usato anche per la costruzione di angoli (elem. I 23), parallelogrammi (elem. I 42), quadrati (elem. II 14) e solidi (elem. XIII 13). Analogamente, l’aggettivo συστατικός vale elemento ‘costitutivo’ a partire dal quale si può costruire una figura a due o tre dimensioni:

Gal. plac. Hipp. et Plat. VIII 3,11 Νῦν μὲν οὖν τὰ συστατικὰ τρίγωνα τῶν ὁριζόντων ἐπιπέδων τὰ στερεὰ σχήματα κέκληται στοιχεῖα.

Alcin. didasc. 13 p. 30, 37 s. Τὸ δὲ ἕτερον, λέγω δὲ τὸ ἰσοσκελές, συστατικὸν τοῦ κύβου γίνεται.

Perciò è meglio limitarsi a integrare la formula qui docet quibus argumentis, consapevoli che il testo man- cante doveva fare riferimento alla realizzazione di una figura a partire da elementi dati.

◆ argumentum

È il ‘metodo’ (μέθοδος: ThLL II 542, 75 – 543, 3) attraverso cui si costruiscono gli schemata e si di- mostrano le proposizioni: con συστήσασθαι / σύστασις cf. Procl. in Eucl. p. 180, 7 Friedlein.

Caratteristiche del tmematicus [715b]

Tmematicus est> qui docet quibus argumentis lineas praecidamus ad imperatum modum.

Tmematicus è> il genere che insegna con quali metodi tagliamo le linee secondo il metodo richiesto.

L’aggettivo tmematicus, hapax in latino e privo di attestazioni in greco, fa riferimento alle interse- zioni geometriche che individuano segmenti: cf. τέμνειν (qui praecidare) e τμήματα in Euclide (es. elem. I 9-10; elem. II 1). Esegesi del passo in Ferré 2007 b, p. 159 s. nt. 414.

◆ argumentum

Per argumentum abbinato a tmematicus cf. μέθοδος / τέμνειν in Procl. in Eucl. p. 205, 19 Friedlein. ◆ ad imperatum modum

Il nesso, che non ha altre attestazioni, può forse alludere all’uso dell’imperativo perfetto tipicο dello stile matematico greco (cf. ad es. Eucl. elem. I 9: Ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. δεῖ δὴ αὐτὴν δίχα τεμεῖν)119_{, ma qui e ai §§ 715c-d il verbo impero equivale di fatto a προστάσσω}120_{; cf.}

Procl. in Eucl. p. 179, 1-2 Friedlein ἐν δὲ τοῖς προβλήμασι πορίσασθαι καὶ ποιῆσαί τι προσταττόμεθα e in Eucl. p. 204, 18-22 Friedlein:

ὑπόκειται δὲ ὅμως οὐδὲν ἡμῖν ὥσπερ ἐπ’ ἄλλων προβλημάτων, οἷον ὅταν λέγῃ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν. ἐνταῦθα γὰρ εὐθεῖα δέδοται, προσταττόμεθα δὲ αὐτὴν δίχα διελεῖν, καὶ διώρισται, τί μὲν τὸ δεδομένον χωρίς, τί δὲ τὸ ζητούμενον.

Nessun presupposto tuttavia noi abbiamo, come in altri problemi, quando, per esempio, si propone di tagliare in due parti uguali una data retta terminata; perché qui è data la retta, e ci viene richiesto di dividerla in due parti eguali, cosicché sono distinte , separatamente, la cosa data e quella cercata (trad. M. Timpanaro Cardini). Il valore di modus sembra affine a quello di τρόπος in Euclide (cf. elem. XI 23, p. 37,9-11 Stamatis ὅν δὲ τρόπον... δείξομεν οὕτως) e in Proclo (ad es. in Eucl. p. 318, 14 Friedlein τρόπος δὲ τῆς ἀποδείξεως); cf. 715g (infra, 3.8.4.1.) perigraphus tropus e proseureuticus tropos.

Caratteristiche dell’anagraphus [715c]

Anagraphus dicitur, quo docetur, quibus ar- gumentis propositae lineae adiungi et adscribi possit reliquum schema quod imperatum est.

Si dice anagraphus quello con cui si insegna con quali metodi possano essere congiunte delle linee date e possa essere tracciata la restante figura che è stata richiesta.

L’aggettivo ἀνάγραφος ha una sola attestazione fra IV e V secolo, in ambito non geometrico121_{; qui}

indica il procedimento per costruire una figura piana aggiungendo delle linee a quelle già propositae122_,

espressione modellata sul nesso προτεθεῖσα (γραμμή), «letteralmente “proposta, propostasi” nel senso di che venne proposta» (Frajese – Maccioni 1970, p. 593 nt. a): cf. ad es. Eucl. elem. X 3.

◆ adscribi

Adscibere corrisponde ad ἀναγράφειν: cf. Eucl. elem. I 46 Ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τετράγωνον ἀναγράψαι. Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας τετράγωνον ἀναγράψαι. L’uso di ἀναγράφω in luogo del più noto συνίστημι (es. Eucl. elem. I 1) è giustificato dalla specificità del proce- dimento, come sottolinea Procl. in Eucl. p. 423, 9-23 Friedlein123_:

119 Cf. Acerbi 2012, pp. 171-172: «Nel sistema verbale del greco c’è poco di più impersonale di un imperativo perfetto medio-passivo: il complemento d’agente sarebbe un’appendice innaturale nel modo imperativo; il valore aspettuale del perfetto presenta la costruzione come ‘già pronta all’uso’, indipendentemente dalla sua storia passata; la diatesi indica che l’azione è subita dall’oggetto geometrico. Tutto ciò permette al matema- tico operante di ‘scomparire’ dietro la propria dimostrazione».

120 Cf. ThLL VII 1, 582, 79-80. Impero in ambito matematico compare anche in Boezio: cf. ThLL VII 1 587, 1ss. 121 Thdt. Dan. PG LXXXI 1377, 23.

122 Proposita linea torna a VI 718, nonché in Boeth. mus. V 2 p. 354, 1 Friedlein.

PARTE 3 – SEZIONE α: NOTE DI COMMENTO AI §§ VI 706-723 Δεῖται μὲν τοῦ προβλήματος τούτου διαφερόντως εἰς τὴν τοῦ ἐφεξῆς θεωρήματος κατασκευήν, ἔοικεν δὲ τῶν δύο γενέσεις ἐθελῆσαι παραδοῦναι τῶν ἐν εὐθυγράμμῳ ἀρίστων, ἰσοπλεύρου τριγώνου καὶ τετραγώνου· διότι δὴ καὶ πρὸς τὴν σύστασιν τῶν κοσμικῶν σχημάτων καὶ μάλιστα τῶν τεττάρων, ὧν καὶ γένεσίς ἐστι καὶ ἀνάλυσις, τούτων χρεία τῶν εὐθυγράμμων. τὸ μὲν γὰρ εἰκοσάεδρον καὶ ὀκτάεδρον καὶ ἡ πυραμὶς ἐκ τῶν ἰσοπλεύρων σύγκειται τριγώνων, ὁ δὲ κύβος ἐκ τῶν τετραγώνων. διό μοι δοκεῖ προηγουμένως τὸ μὲν συστήσασθαι, τὸ δὲ ἀναγράψαι. πρέποντα γὰρ δὴ ταῦτα τὰ ὀνόματα ἀνεῦρεν τοῖσδε τοῖς σχήμασι. τὸ μὲν γὰρ ὡς ἐκ πολλῶν συγκροτούμενον συστάσεως δεῖται, τὸ δὲ ὡς ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς ἀπογεννώμενον ἀναγραφῆς. Euclide ha bisogno soprattutto di questo problema per la costruzione del teorema seguente; ma sembra che abbia anche voluto insegnarci i modi di costruire le due più perfette figure rettilinee, il triangolo equilatero e il quadrato. Perché certamente queste figure rettilinee erano necessarie per la costruzione delle figure cosmiche e specialmente delle quattro che da esse si generano e in esse si risolvono. In effetti l’icosaedro, l’ottaedro e la piramide sono costituiti di triangoli equilateri e il cubo di quadrati. Per questo a me pare che intenzionalmente egli abbia distinto il «costruire» (συστήσασθαι) dal «tracciare» (ἀναγράψαι) perché trovò queste espressioni convenienti a quelle figure. In effetti l’una (il triangolo di Eucl. elem. I 1), come premuta da più lati, richiede una costruzione, l’altra (il quadrato di Eucl. elem. I 46), quasi prodotta par- tendo da un solo lato, richiede una delineazione [trad. M. Timpanaro Cardini, con integrazioni mie].

◆ adiungi

Cf. ἐπιζεύγνυμι nel seguito del passo sopracitato di Proclo (in Eucl. pp. 423, 23 - 424, 6 Friedlein): οὐ γάρ, ὥσπερ τὸ τετράγωνον ἔχομεν πολλαπλασιάσαντες τὸν τῆς δοθείσης εὐθείας ἀριθμὸν ἐφ’ ἑαυτόν, οὑτωσὶ καὶ τὸ τρίγωνον, [ἀλλ’] ἀλλαχόθεν ἐπιζεύξαντες ἐπὶ τὰ πέρατα τῆς εὐθείας συγκροτοῦμεν ἐκ τούτων ἓν ἰσόπλευρον τρίγωνον, καὶ ἡ τῶν κύκλων καταγραφὴ συντελεῖ πρὸς τὸ ἀνευρεῖν ἐκεῖνο τὸ σημεῖον, ἀφ’ οὗ δεῖ τὰς εὐθείας εἰς τὰ πέρατα τῆς ἐκκειμένης εὐθείας ἐπιζεῦξαι.

Perché non si ottiene il triangolo come il quadrato, cioè moltiplicando il numero della retta per se stesso, ma, conducendo due rette congiungenti un punto esterno con gli estremi della retta, si costruisce con que- ste rette un triangolo equilatero; e la descrizione dei circoli serve a trovare quel punto, dal quale si devono condurre le rette agli estremi della retta data (trad. M. Timpanaro Cardini).

Caratteristiche dell’ engraphus [715d]

Engraphus est, qui monstrat, quibus argumen- tis dato circulo verbi gratia imperatum trigo- num vel quid aliud in medio possimus conve- nienter adscribere.

Engraphus è il genere che mostra con quali metodi possiamo convenientemente inscri- vere, in un dato cerchio, ad esempio un trian- golo richiesto o una qualche altra figura. L’aggettivo ἔγγραφος, privo di ulteriori testimonianze nelle letteratura geometrica, indica i proce- dimenti necessari per inscrivere (ἐγγράφειν in Euclide, adscribere in Marziano):

a. un poligono in un cerchio dato (cf. elem. IV 2 Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον έγγράψαι: è lo stesso esempio fornito da Marziano);

b. un cerchio in un poligono dato (cf. elem. IV 8 Εἰς τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον έγγράψαι). ◆ convenienter

Equivale a ἀκολούθως, che in Euclide (cf. ad es. elem. IV 15, p. 177, 9-10 Stamatis) indica, con il dativo, la conformità alle dimostrazioni già esposte (τοῖς... εἰρημένοις)124_{: in Marziano l’avverbio è usato}

in senso assoluto, ma è comunque riferito alla congruenza con le ipotesi date (quibus argumentis). 124 Cf. Vitrac 1990, p. 497, Frajese – Maccioni 1970, p. 286 e Acerbi 2007, p. 971.

Caratteristiche del perigraphus [715e]

Perigraphus tropus est, qui docet, quemadmo- dum datum circulum verbi gratia quadrato concludamus schemate.

Perigraphus è il modo che insegna in quale maniera possiamo includere un dato cerchio, ad esempio, in un quadrato.

L’aggettivo περίγραφος è attestato solo in Gregorio di Nazianzo, dove vale ‘limitato’, ‘circondato’125_;

fuor di metafora, in Marziano diventa ‘circoscritto’ in senso geometrico e indica il procedimento (tropus, qui e a 715g, h)126 _{per circoscrivere (περιγράφειν in Euclide = concludere):}

a. un cerchio intorno a un poligono (cf. elem. IV 5 Περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον περιγράψαι); b. un poligono intorno a un cerchio dato (cf. elem. IV 7 Περὶ τὸ δοθὲντα κύκλον τετράγωνον

περιγράψαι). ◆ concludere

Come termine matematico è raro: ricompare in Boezio e nello pseudo Boezio (cf. ThLL IV 76, 13ss). ◆ quadratum schema

Il nesso non pare avere altre attestazioni (mentre assai diffuso è quadrata figura); equivale a τετράγωνον σχῆμα, su cui cf. ad es. Hero mens. 52, p. 206, 8 Heiberg e Iambl. in Nicom. p. 59, 27 Pistelli.

Caratteristiche del parembolicus [715f] Parembolicus est, qui docet, quemadmodum verbi gratia dato tetragono immittamus da- tum trigonum, ut tetragoni spatia crescant, non schema mutetur.

Parembolicus è il metodo che insegna in che modo possiamo immettere, ad esempio, un dato triangolo in un dato quadrato cosicché aumentino gli spazi del quadrato senza che esso cambi la sua figura.

L’aggettivo deriva da παρεμβάλλειν, che vale:

1. ‘inserire’ (cf. ad es. Hipp. art. 78 p. 312, 15-16 Littré παρὰ δὲ τοὺς ἑτέρους πόδας παρεμβεβλῆσθαι ξύλον τετράγωνον, Hero geom. 23, 54 p. 408, 1 Heiberg εἰς τὰ μέτρα παρεμβαλεῖν τι, Pro- cl. hyp. 7,22 ἵνα μηδὲν ᾖ κενόν, ἄλλην παρεμβάλλειν σφαῖραν, καὶ ταύτην εἶναι τὴν τῆς Ἀφροδίτης);

2. ‘realizzare un accampamento’ (παρεμβολή), attività che prevede la geometria nel senso etimo- logico di ‘misurazione della terra’ (cf. ad es. Polyb. VI 28,1 e Flav. Jos. bell. Jud. III 77); 3. ‘riunirsi, radunarsi’, spesso abbinato a κύκλος e derivati (cf. ad. es. Sept. Num. 1,50, I Reg. 26,

5, Chron. I 9,27);

4. ‘introdurre’ (cf. Procl. in Eucl. p. 247, 11-12 Friedlein τί... παρεμβάλλειν τῷ θεωρήματι τούτῳ). Nessuno di questi significati è di ambito strettamente matematico, eppure tutti gli esempi selezionati pre- sentano legami con forme e numeri: è quindi possibile che παρεμβάλλειν e il deverbale παρεμβολικός127

siano stati usati come tecnicismi geometrici in una o più fonti perdute, ma ancora note a Marziano. 125 Gr. Naz. carm. PG XXXVII 406, 10; 419, 2; 710, 14; 947, 13; 1457, 1. Ma cf. anche carm. dogm. add. 9, v. 59:

κύκλος δ’ ἔμπεδός ἐστι περίγραφος ἠέρι γυμνῷ.

126 Per τρόπος come ‘procedimento’ vd. negli Elementi di Euclide: X 19, 2; X 20, 4; X 24, 2; X 28, 86; XI 23, 86;. 127 La cui unica attestazione vale ‘castrense’: vd. Plut. quaest. 643 D.

PARTE 3 – SEZIONE α: NOTE DI COMMENTO AI §§ VI 706-723

Il tropo parembolicus, affine all’engraphus, spiega in che modo inserire un poligono entro un al- tro: vale dunque il significato n. 1 di παρεμβάλλειν (e infatti Marziano usa immittere)128_{. Nell’esempio}

riportato, se è corretta l’interpretazione di spatium come ‘superficie’ (= ἐπιφάνεια)129_{, si tratta forse di}

immettere un triangolo all’interno di un quadrato per far sì che aumentino (crescant) le superfici com- plementari a quella del triangolo, ma senza modificare la figura del quadrato:

a) 1 spatium b) 2 spatia c) 3 spatia d) 3 spatia

Per la neoformazione parembolicus e la possibile esistenza di una fonte ‘euclidea’ perduta e sopravvissuta solo nel mondo arabo vd. infra, A.2.

Caratteristiche del proseureticus [715g] Proseureticus tropus est, qui docet, quemad- modum verbi gratia ιnter datas impares lineas inveniamus mediam, quae tantum cedat maio- ri lineae quantum praecedit minorem.

Il proseureticus è il tropo che insegna in che modo, per esempio, fra due linee differenti date, troviamo una linea mediana che sia in- feriore rispetto a quella maggiore di quanto è superiore rispetto alla minore.

L’aggettivo proseureticus / προσευρευτικός, ennesimo hapax di questa sezione, indica le modalità per trovare (προσευρίσκειν = invenire), tra due segmenti diseguali, un terzo segmento proporzionale, come ad esempio in Eucl. elem. VI 13: Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν. Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ· δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν.

◆ impares lineas

Che i due segmenti siano impares è una precisazione marzianea: in Eucl. elem. VI 13 non si fa alcun cenno esplicito alla diversa lunghezza delle due linee, ma essa appare evidente nel disegno trasmesso dai manoscritti (ΑΒ è maggiore rispetto a ΒΓ), che dunque doveva essere noto all’autore delle Nuptiae.

Riepilogo [715h]

Hi sunt tropi generales ergasticorum schema- tum.

Questi sono i tropi generali degli schemi er- gastici.

Cf. al § 722a schemata generalia. L’uso dell’aggettivo in contesto geometrico sembra attestato sol- tanto in Marziano: cf. ThLL VI 2 1775, 71s.

128 Immittere conosce un uso tecnico ancora nello pseudo Boezio e nel Fragmentum Censorini («de lineis i.q. ducere»: cf. ThLL VII 1 471, 76ss.).

129 Cf. Vitr. I 6,13; Boeth. in categ. comm. II, PL LXIV 230, 46-57; III, PL LXIV 251, 17; ps. Boeth. geom. 125, 197 Folkerts.

3.8.4.2. Rinvio a Dialettica per gli schemi apodittici [716a]