Asset allocation bayesiana

Il resampling™ non è esente da problemi che possono essere meglio compresi solo conoscendo l’approccio bayesiano nei confronti del rischio di stima.

Una soluzione che mira a mitigare gli errori di stima è quella di ampliare il set informativo alla base per l’estrazione i dati da utilizzare come imput per l’ottimizzazione, la statistica bayesiana ha tra i suoi tratti distintivi la capacità di combinare informazioni empiricamente osservabili dette prior information con altre informazioni definite additional information offrendo un notevole vantaggio operativo poiché gli stimatori finali possono essere influenzati direttamente dalle aspettative (view) di mercato degli asset manager favorendo la costruzione di portafogli più coerenti con quest’ultime.

L’approccio bayesiano non restituisce stime puntuali bensì una funzione di densità di probabilità del parametro ricercato definita posterior distribution.

La logica bayesiana consiste quindi nel combinare due distribuzioni di probabilità che hanno origine rispettivamente dalle informazioni storiche e dalla prior information arrivando così a stimare la posterior distribution.

2.3.1 Il modello di Black Litterman

Molte tecniche quantitative hanno registrato un fallimento dal punto di vista operativo poiché molti modelli non sono in linea con le esigenze dei gestori, per questo motivo la costruzione di portafogli naive è molto più diffusa.

Nel 1992 presso Goldman Sachs, Fisher Black e Robert Litterman, secondo un’impostazione bayesiana hanno cercato di elaborare un modello teso a risolvere tali problemi, quindi un modello che cerchi di portare all’ottenimento di portafogli diversificati, tenendo in considerazione le capitalizzazioni dei mercati borsistici, ma soprattutto che sia in grado di incorporare le aspettative, assolute o relative, sui mercati espresse dagli asset manager in base al grado di fiducia riposto in esse.

Il modello di Black-Littermann cerca quindi di trovare un equilibrio tra la teoria e la pratica, tra l’utilizzo di dati empirici e l’utilizzo di informazioni soggettive, al fine di giungere ad un modello realmente applicabile operativamente.

In questo modello i dati empirici sono rappresentati dai rendimenti di equilibrio di mercato mentre le informazioni soggettive sono intese come views o aspettative dell’investitore o più realisticamente dell’asset manager.

Per arrivare a determinare la prior information, il punto di ancoraggio di questo modello, cioè il punto di riferimento per determinare i rendimenti attesi, si parte dal portafoglio di mercato (market neutral), questo in ragione di una considerazione; supponiamo che non vi siano previsioni riguardo la dinamica futura dei mercati, la soluzione più ragionevole è quella di partire da un portafoglio neutrale nei confronti del mercato per evitare di prendere scommesse ed assumere inutili rischi, si tratta quindi di individuare quei rendimenti che renderebbero ottimo secondo il modello di Markovitz il portafoglio di mercato.

I rendimenti che giustificano questo portafoglio sono ottenibili attraverso un processo di ottimizzazione inversa, cioè, si tratta di un procedimento nel quale gli imput e gli output sono invertiti rispetto al modello classico di Markovitz, gli imput diventano la matrice varianza-covarianza, il coefficiente di avversione al rischio dell’investitore e i pesi osservabili dal portafoglio di mercato e così gli output diventano i rendimenti.

La prior information è una distribuzione normale multivariata, che ha come media il vettore dei rendimenti di equilibrio.

Il secondo set informativo, cioè l’informazione addizionale che concorre alla stima dei rendimenti attesi finali è rappresentata dalle opinioni sviluppate dall’asset manager in base alla propria esperienza e alle proprie elaborazioni circa le performance attese dai mercati.

L’approccio di Black-Littermann fornisce gli strumenti per l’esplicitazione delle views e la loro integrazione con i rendimenti di equilibrio, uno dei punti di forza del modello è rappresentato dal fatto che queste previsioni soggettive coinvolgono tutte le asset class senza prevederne un numero minimo e inoltre possono essere espresse in termini assoluti (previsioni che riguardano la performance di un solo mercato) oppure in termini relativi (previsioni che riguardano aspettative circa il rendimento differenziale tra asset class), l’unico vincolo è che non possono essere espresse un numero di views maggiore rispetto al numero di asset.

L’entità delle views espresse sono associate ad un grado di fiducia, compreso tra 0% e 100%, che mira ad evidenziarne il grado di incertezza.

Anche questo secondo set informativo da luogo ad una funzione di densità di probabilità che combinata con quella derivante dal primo set informativo permette di giungere alla fase conclusiva del modello, combinando i rendimenti impliciti del modello di equilibrio e le aspettative soggettive si arriva a determinare la cosiddetta posterior distribution che è anch’essa una distribuzione normale multivariata.

L’output del modello di Black-Littermann è una sorta di media ponderata tra i rendimenti di equilibrio di mercato e le views, dove i pesi relativi sono influenzati dal grado di dispersione rispetto ai rendimenti impliciti e dal livello di fiducia nelle views.

Esiste un “gioco-forza” che dipende in sostanza dal grado di fiducia riposto nelle views, così i rendimenti di equilibrio esercitano una forte attrazione nel caso vi sia scarsa fiducia in queste e, viceversa i rendimenti finali saranno molto più distanti da quelli di equilibrio nel caso in cui il grado di fiducia nelle views sia più robusto, i rendimenti empirici quindi, sono il punto di ancoraggio dei rendimenti attesi.

Nel caso in cui non vi siano aspettative il modello prevede di usare i dati individuati (cioè i rendimenti impliciti di mercato) per implementare il modello di Markovitz ottenendo così una frontiera efficiente molto diversa, meno estrema e molto più diversificata di quella implementata con soli dati storici, in ragione di quanto detto, il portafoglio di mercato rimane un punto di riferimento neutrale, solo per effetto delle views potrà così determinarsi un allontanamento dalla composizione di tale portafoglio.

Le stime espresse comportano una modifica del rendimento atteso anche di asset class che non sono state oggetto di valutazioni, questo per effetto del grado di correlazione più o meno marcato che lega tra di loro i mercati, nel momento in cui viene espressa un’aspettativa nei confronti di un mercato, indirettamente, questa si riflette anche sulle altre asset class.

Questa situazione rappresenta un punto a favore del modello poiché permette di ridurre il problema della massimizzazione dell’errore tipico degli ottimizzatori classici, così facendo si va a ridistribuire gli errori in modo coerente al legame reciproco tra i diversi asset e al livello di confidenza nelle aspettative.

Il modello di Black-Littermann è utile anche per l’asset allocation tattica e quasto rappresenta un indubbio vantaggio, inoltre è un approccio che permette di tradurre in un modello matematico (assicurando i vantaggi e la tranquillità propri di un modello ben codificato e rigoroso da un punto di vista metodologico) ciò che il comitato di

investimento avrebbe potuto produrre modificando manualmente i pesi del portafoglio neutrale di partenza¹⁹ tuttavia l’applicazione del modello non sempre risulta agevole.

La difficoltà maggiore sta nell’estrarre i rendimenti di equilibrio, il problema sorge nel momento in cui l’obiettivo è quello di progettare asset allocation ottimali orientate ad una diversificazione globale, in situazioni di questo tipo difficilmente si dispone di un benchmark capace di disporre di una così ampia rappresentatività.