Estensioni normali

di Q : Q(√

2), Q(i) e Q(i√ 2).

j) Dimostrare che esiste un solo Q-automorfismo, l’identit`a, di Q(√³ 2).

Si considerino in Q[X] i polinomi

f (X) = (x²− 2)(X²+ 1) g(X) = x³− 2 h(X) = x⁴− 2 k) Dimostrare che esistono quattro Q-automorfismi di ∆f.

l) Dimostrare che esistono sei Q-automorfismi di ∆g. m) Dimostrare che esistono otto Q-automorfismi di ∆h.

3.7 Estensioni normali

Nelle applicazioni della teoria delle estensioni dei campi alla teoria delle equazioni alge-briche hanno particolare rilievo le estensioni normali di un campo k, cio`e quelle che, se contengono una radice di un polinomio irriducibile f (X) ∈ k[X], le contengono tutte.

Nel caso di estensioni algebriche finite, le estensioni normali sono esattamente i campi di scomposizione dei polinomi.

Definizione 3.7.1 Una estensione algebrica K di k si dice normale su k se ogni poli-nomio irriducibile di k[X] avente una radice in K si scompone in K[X] in fattori lineari.

Esempi 3.7.2 a) Una chiusura algebrica di k `e sempre una estensione normale di k.

b) K = Q(√³

2) non `e una estensione normale di Q; infatti il polinomio irriducibile X³− 2 ha in K la radice √³

2 ma non le altre due.

c) Se [K : k] = 2, K `e una estensione normale di k; infatti, se il polinomio irriducibile f ∈ k[X] ha una radice x in K, ha necessariamente grado ≤ 2 e si scompone in K[X] nel prodotto di X − x e di un altro polinomio di grado ≤ 1, quindi ha in K tutte le sue radici.

d) K = Q(√⁴

2) `e una estensione normale di Q(√

2) e Q(√

2) `e una estensione normale di Q, perch´e sono entrambe estensioni di grado 2; ma K non `e una estensione normale di Q, perch´e contiene le due radici ±√⁴

2 del polinomio irriducible X⁴− 2 ma non le altre due ±i√⁴

2.

Proposizione 3.7.3 Siano k, K e L tre campi tali che k ⊆ K ⊆ L. Se L `e normale su k lo `e anche su K.

Dimostrazione Sia g(X) ∈ K[X] un polinomio irriducibile avente una radice x in L e sia f_x,k il polinomio minimo di x su k; allora f_x,k = gh, con h ∈ K[X] (Osserv. 3.2.17), e poich´e f si scompone in L[X] in fattori lineari, ci`o avviene anche per g, quindi L `e una

estensione normale di K. 

Teorema 3.7.4 Una estensione algebrica finita K di k `e normale se e solo se `e il campo di scomposizione di un polinomio f ∈ k[X].

Dimostrazione Supponiamo che K sia normale su k.

Sia x11 ∈ K \ k e sia f₁ il suo polinomio minimo su k. Essendo K normale su k, f1 si scompone in K[X] nel prodotto (X − x₁₁) . . . (X − x_1n1).

Se K = k(x11, . . . , x1n1), il teorema `e vero. Nel caso contrario, sia x21∈ K \ k(x₁₁, . . . , x1n1).

Se f2 `e il polinomio minimo di x21 su k, in K[X] si ha una scomposizione del tipo f₂ = (X − x₂₁) . . . (X − x_2n2).

Se K = k(x11, . . . , x2n2), K `e il campo di scomposizione del polinomio f1f2; altrimenti si continua scegliendo un elemento x31∈ K \ k(x<sub>11</sub>, . . . , x2n2), e cos`ı via.

Poich´e K `e una estensione finita di k, il procedimento ha termine dopo un numero finito di passi, cio`e K `e il campo di scomposizione di un polinomio f = f1. . . fs.

Viceversa, supponiamo che K sia il campo di scomposizione di un polinomio f ∈ k[X];

siano ¯k una chiusura algebrica di k, g ∈ k[X] un polinomio irriducibile, x₁, . . . , x_s un insieme completo di radici di g e supponiamo che, per esempio, x = x1∈ K.

Allora per ogni i = 2, . . . , s l’automorfismo identico di k si estende a un isomorfismo µ : k(x) → k(x_i) tale che µ(x) = x_i.

Poich´e K `e campo di scomposizione di f su k(x) e K(x<sub>i</sub>) `e campo di scomposizione di f su k(xi), µ si estende a un k-isomorfismo τ : K → K(xi). Ne segue che [K : k] = [K(xi) : k]

e quindi che K = K(x_i), cio`e che x_i∈ K. 

Corollario 3.7.5 Se k ha caratteristica 0, una estensione algebrica finita K di k `e nor-male se e solo se `e il campo di scomposizione di un polinomio f ∈ k[X] a radici semplici.

Dimostrazione Siano ϑ ∈ K un elemento tale che K = k(ϑ) (Teor. 3.4.7) ed f il polinomio minimo di ϑ su k. Allora f `e irriducibile e quindi ha radici semplici.

Se K `e normale su k, le radici di f (in una chiusura algebrica di k contenente K) sono tutte in K e quindi ∆_f ⊆ K; del resto ϑ ∈ ∆_f e quindi K = k(ϑ) ⊆ ∆_f.

Il viceversa segue dal Teor. 3.7.4. 

Corollario 3.7.6 Se K `e una estensione normale finita di k ed x, y ∈ K sono coniugati su k, esiste un k-automorfismo µ di K tale che µ(x) = y.

Dimostrazione L’automorfismo identico di k si estende a un k-isomorfismo σ : k(x) → k(y) tale che σ(x) = y. Per il Teor. 3.7.4, K `e il campo delle radici di un polinomio f ∈ k[X];

ma K `e anche campo delle radici di f su k(x) e su k(y), e quindi σ si estende ad un

k-automorfismo di K, per il Teor. 3.6.5. 

Corollario 3.7.7 Siano ∆_f il campo di scomposizione di un polinomio f ∈ k[X] a radici semplici e G il gruppo dei k-automorfismi di ∆_f. Allora

{x ∈ ∆_f | σ(x) = x, ∀σ ∈ G} = k

Dimostrazione L’insieme F = {x ∈ ∆_f | σ(x) = x, ∀σ ∈ G} `e un campo tale che k ⊆ F ⊆ ∆_f e l’insieme degli F -automorfismi di ∆_f coincide con l’insieme dei k-automor-fismi di ∆f.

3.7. ESTENSIONI NORMALI 87

∆f, del resto, `e campo di scomposizione del polinomio a radici semplici f sia su k che su F , quindi [∆_f : F ] = [∆_f : k], perch´e questi due numeri sono entrambi uguali all’ordine di

G (Coroll. 3.6.7) e allora F = k. 

Concludiamo il paragrafo con alcune interessanti osservazioni riguardanti le funzioni sim-metriche.

Definizione 3.7.8 Un polinomio f (X1, . . . , Xn) ∈ k[X1, . . . , Xn] si dice simmetrico se

`

e invariante rispetto alle permutazioni delle indeterminate X₁, . . . , X_n.

Analogamente, una funzione razionale f (X1, . . . , Xn) ∈ k(X1, . . . , Xn) si dice simmet-rica se `e invariante rispetto alle permutazioni delle indeterminate X1, . . . , Xn.

Osservazione 3.7.9 Gli esempi pi`u semplici di polinomi simmetrici non costanti sono le somme s_k di tutti i prodotti di k elementi distinti dell’insieme {X₁, . . . , X_n}

s₁ = X₁+ · · · + X_n

s2 = X1X2+ · · · + Xn−1Xn

. . . . s_n = X₁· X₂· · · X_n

Essi si dicono polinomi simmetrici elementari di X₁, . . . , X_n.

Se ∆ ⊇ k `e un campo delle radici di f (X) = a0+ a1X + · · · + anXⁿ e se s1, . . . , sn∈ ∆ sono le funzioni simmetriche elementari delle radici x1, . . . , xn di f , si ha, in ∆[X],

f (X) = a_n

n

Y

i=1

(X − x_i) = a_nXⁿ− a_ns₁Xⁿ⁻¹+ a_ns₂Xⁿ⁻²+ · · · + (−1)ⁿa_ns_n Fra i coefficienti di f e le funzioni simmetriche elementari delle sue radici si hanno perci`o i seguenti legami (formule di Vi`ete) :

ans1 = −an−1, . . . , ansn= (−1)ⁿa0

Poich´e ogni si `e un polinomio omogeneo di grado i, si ha, per ogni i = 1, . . . , n, s_i(a_nx₁, . . . , a_nx_n) = aⁱ_ns_i(x₁, . . . , x_n) ∈ k

E interessante osservare che ogni polinomio simmetrico pu`` o essere espresso come polinomio nei polinomi simmetrici elementari.

Facciamo qualche esempio e quindi, prima di dimostrare il teorema, introduciamo l’utile concetto di grado lessicografico di un polinomio f ∈ k(X₁, . . . , X_n). Tale grado `e la n-upla degli esponenti delle variabili del monomio massimo nell’ordinamento lessicografico di Nⁿ. Esempi 3.7.10

a) X₁²+ X₂²= (X₁+ X₂)²− 2X₁X₂ = s²₁− 2s₂

b) X₁²X₂X₃+ X₁X₂²X₃+ X₁X₂X₃² = X₁X₂X₃(X₁+ X₂+ X₃) = s₁s₃

c) X₁²X₂²+X₁²X₃²+X₂²X₃² = (X₁X₂+X₁X₃+X₂X₃)²−2(X₁²X₂X₃+X₁X₂²X₃+X₁X₂X₃²) =

= s²₂− 2s₁s3

Osservazione 3.7.11 Ogni polinomio f ∈ k[X1, . . . , Xn] pu`o essere scritto nella forma X

(r1,...,rn)∈Nⁿ

a_(r1,...,rn)X₁^r1. . . X_n^rn

dove i coefficienti a_(r1,...,rn)∈ Nⁿ sono tutti nulli tranne, al pi`u, un numero finito.

Se consideriamo in Nⁿ l’ordinamento lessicografico

(r1, . . . , rn) < (s1, . . . , sn) ⇔ esiste j ∈ {1, . . . , n} con rj < sj e ri = si per ogni i < j e ordiniamo con esso i termini X₁^r1· · · X_n^rn di un polinomio f , possiamo definire il grado lessicografico di f come la n-pla massima (t1, . . . , tn) relativa a monomi di f .

Ad esempio

- il polinomio X₁²X2X₃⁷+ X₃²⁵ ha grado lessicografico (2, 1, 7)

- il polinomio simmetrico X₁+ X₂+ X₃+ X₁²X₂X₃+ X₁X₂²X₃+ X₁X₂X₃² ha grado lessicografico (2, 1, 1)

e cos`ı via.

Teorema 3.7.12 Siano k un campo, X₁, . . . , X_nindeterminate su k, s₁, . . . , s_ni polinomi simmetrici elementari in X₁, . . . , X_n. Allora

a) Se f ∈ k(X1, . . . , Xn) `e una funzione razionale simmetrica, f ∈ k(s1, . . . , sn) b) Se f ∈ k[X<sub>1</sub>, . . . , X<sub>n</sub>] `e un polinomio simmetrico, f ∈ k[s₁, . . . , s_n]

Dimostrazione

a) Se f (X) =^Qn_i=1(X − Xi) = Xⁿ− s₁Xⁿ⁻¹+ · · · + (−1)ⁿsn, si ha ∆f = k(X1, . . . , Xn)

`e un campo delle radici di f su k, ed f `e un polinomio a radici semplici.

Ora, ogni k-automorfismo σ di ∆_f permuta fra loro le radici X₁, . . . , X_ndi f , quindi σ(f ) = f , perch´e f `e un polinomio simmetrico. E allora

f ∈ {x ∈ ∆f | σ(x) = x per ogni k-automorfismo σ di ∆_f} e l’ultimo insieme coincide con K per il Coroll. 3.7.7.

b) Siano f ∈ k[X₁, . . . , X_n] un polinomio simmetrico ed r = (r₁, . . . , r_n) il suo grado lessicografico.

Per la simmetria, si ha allora r1 ≥ · · · ≥ r_n.

Il polinomio nelle funzioni simmetriche elementari s₁, . . . , s_n f₁= a_(r1,...,rn)s^r₁^1−r2s^r₂^2−r3· · · s^r_nⁿ ∈ k[s₁, . . . , s_n]

ha lo stesso termine di grado lessicografico massimo di f e quindi f − f₁ ha grado lessicografico strettamente inferiore a quello di f .

Possiamo allora iterare il procedimento e determinare polinomi f₂, f₃, · · · ∈ k[s₁, . . . , s_n].

E poich´e la successione dei gradi lessicografici di f, f −f₁, f −f₁−f₂, ... `e strettamente decrescente, il procedimento termina con il polinomio nullo, e ci`o prova il teorema.