4.3 Gruppi di operanti sugli insiemi
La teoria di Galois riconduce la risolubilit`a per radicali di una data equazione polinomiale a una sofisticata propriet`a di un gruppo finito ad essa associato.
E quindi necessario fornirsi di qualche strumento per l’analisi di questi gruppi. E uno` degli strumenti pi`u significativi `e fornito dai teoremi di Sylow, di cui ci occuperemo nel paragrafo successivo. Questi teoremi affermano che se p `e un numero primo e pn `e la massima potenza di p che divide l’ordine di un gruppo finito G
a) G ha sottogruppi di ordine pn,
b) il numero di tali sottogruppi `e del tipo 1 + kp ed `e un divisore di n, c) due tali sottogruppi sono coniugati
Questi teoremi risalgono alla fine del diciannovesimo secolo e ne esistono ormai molte di-mostrazioni. Abbiamo scelto di proporre quelle che utilizzano il concetto di gruppi operanti su insiemi sia per la loro intrinseca eleganza, sia perch´e questo concetto `e particolarmente utile in varie branche della Matematica.
Definizione 4.3.1 Siano I un insieme e G un gruppo. Diciamo che G opera su I, o che I `e un G-insieme, se `e data una applicazione ϕ : G × I → I tale che, posto ϕ(g, x) = gx, si ha
1) h(g(x)) = (hg)x per ogni x ∈ I e ogni h, g ∈ G;
2) 1x = x per ogni x ∈ I
Esempi 4.3.2 a) Ogni gruppo G opera su se stesso mediante l’applicazione ϕ : G × G → G definita da ϕ(g, x) = gxg−1.
b) Siano I un insieme e G = S(I) il gruppo delle permutazioni di I. Allora G opera su I mediante l’applicazione ϕ : G × I → I definita da ϕ(g, x) = g(x).
c) Siano I un k-spazio vettoriale e G il gruppo moltiplicativo k∗; allora G opera su I mediante l’applicazione ϕ : G × I → I definita da ϕ(g, x) = gx.
d) Siano I = R2 e G = Gl(2, R) = {A ∈ M2(R) | det(A) 6= 0}; allora G opera su I mediante l’applicazione ϕ : G × I → I definita nel modo seguente : se A ∈ G, (x, y) ∈ I e si ha
A x
y
!
= x0 y0
!
allora ϕ(A, (x, y)) = (x0, y0).
Osservazione 4.3.3 Se I `e un G-insieme e g ∈ G, l’applicazione αg : I → I definita da αg(x) = gx `e bigettiva, perch´e αg ◦ αg−1 = αg−1 ◦ αg = 1. Quindi l’applicazione ψ : G → S(I) definita da ψ(g) = αg`e un omomorfismo di G nel gruppo delle permutazioni di I.
Viceversa, siano I un insieme, G un gruppo e ψ : G → S(I) un omomorfismo di gruppi;
allora G opera su I mediante l’applicazione ϕ : G × I → I definita da ϕ(g, x) = [ψg](x).
La def. 4.3.1 poteva quindi essere espressa nella forma equivalente ”G opera su I se `e dato un omomorfismo ψ : G → S(I)”.
Osservazione 4.3.4 Se G opera sull’insieme I, la relazione in I x ∼ y ⇐⇒ esiste g ∈ G con gx = y
`
e una relazione di equivalenza. La classe di equivalenza Ix di x si dice l’orbita di x.
Si ha quindi
Ix= {gx | g ∈ G} = {y ∈ I | esiste g ∈ G con y = gx}
Esempi 4.3.5 a) Siano I = R2 e G il gruppo delle rotazioni intorno all’origine (cio`e G `e il gruppo moltiplicativo delle matrici del tipo
cos ϑ −sen ϑ sen ϑ cos ϑ
!
con ϑ ∈ R). L’orbita di P ∈ I `e allora la circonferenza passante per P con centro nell’origine.
b) Siano I = R2 e G il gruppo moltiplicativo R∗; esso opera su I come descritto nell’esempio 4.3.2 c). L’orbita di P ∈ I `e allora {(0, 0)} se P = (0, 0); se P 6= (0, 0), l’orbita di P `e la retta passante per l’origine e per P , privata dell’origine.
Definizione 4.3.6 Si dice che il gruppo G opera transitivamente sull’insieme I, o che I `e un G-insieme omogeneo, se G opera su I e se per ogni x, y ∈ I esiste g ∈ G con gx = y, cio`e se I `e l’orbita di uno, e quindi di ciascuno dei suoi elementi.
Esempi 4.3.7 a) Se I `e un G-insieme, ogni orbita `e un G-insieme omogeneo.
b) Il gruppo G = Gl(2, R) opera transitivamente su R2 \ {(0, 0)}, come descritto nell’esempio 4.3.2 d); infatti, se (a, b) ∈ R2 \ {(0, 0)}, basta scegliere
• la matrice A = a 0 b − 1 1
!
∈ Gl(2, R), se a 6= 0,
• la matrice A = 1 a − 1
0 b
!
∈ Gl(2, R), se a = 0
per avere A 1 1
!
= a
b
!
; il che dimostra che l’orbita di (1, 1) `e l’intero R2 \ {(0, 0)}.
c) Il gruppo delle rotazioni intorno all’origine di R2 non opera transitivamente su R2 (cfr. l’esempio 4.3.5 a).
Osservazione 4.3.8 Riprendendo l’Osserv. 4.3.3 ed estendendo la def. 4.2.13 a ogni insieme I, si pu`o dire che ”G opera transitivamente su I se `e dato un omomorfismo ψ : G → S(I) tale che ψ(G) `e un sottogruppo transitivo di S(I)”.
4.3. GRUPPI DI OPERANTI SUGLI INSIEMI 107 Definizione 4.3.9 Siano I un G-insieme e x ∈ I. Il sottoinsieme Gx= {g ∈ G | gx = x}
di G si dice lo stabilizzatore di x.
Per ogni x ∈ I, Gx `e un sottogruppo di G; infatti, 1 ∈ Gx, quindi Gx 6= ∅; inoltre, se g, h ∈ Gx, si ha (gh−1)x = (gh−1)(hx) = gx = x, quindi anche gh−1∈ Gx.
Osservazione 4.3.10 Siano I un G-insieme, x, y ∈ I, g ∈ G tale che gx = y e ϕg: G → G l’automorfismo interno definito da g (ϕg(α) = gαg−1).
Allora la restrizione di ϕ a Gx `e un isomorfismo fra Gx e Gy. Si hanno infatti i fatti seguenti
a) se h ∈ Gx, ghg−1y = ghx = gx = y, quindi ghg−1∈ Gy;
b) se k ∈ Gy, g−1kgx = g−1ky = g−1y = x, quindi g−1kg ∈ Gx e k = ϕg(g−1kg).
Definizione 4.3.11 Siano I e J due G-insiemi. Un G-isomorfismo di I in J `e una applicazione bigettiva ψ : I → J tale che ψ(gx) = gψ(x) per ogni g ∈ G e ogni x ∈ I.
Proposizione 4.3.12 Siano I un G-insieme, x ∈ I e Gx = {gGx | g ∈ G} l’insieme delle classi laterali sinistre di G modulo Gx. Allora G opera transitivamente su Gx in maniera naturale e i due G-insiemi I e Gx sono G-isomorfi.
Dimostrazione Ponendo ψ(g, hGx) = (gh)Gx, si definisce una applicazione ψ : G × Gx → Gx, perch´e se hGx = h0Gx, si ha h = h0p con p ∈ Gx e quindi (gh)Gx = (gh0)(pGx) = (gh0)Gx.
E ovvio che si ha g(g` 0hGx) = (gg0)(hGx ed 1(hGx) = hGx per ogni g, g0, h ∈ G, quindi G opera su Gx mediante ψ. Inoltre, se hGx, kGx∈ Gx, posto g = kh−1, si ha g(hGx) = kGx, quindi G opera transitivamente su Gx.
Ponendo χ(hGx) = hx per ogni h ∈ G, si definisce una applicazione χ : Gx → I; infatti, se hGx = kGx, si ha h = kp, con p ∈ Gx, e allora hx = k(px) = kx.
Proviamo che l’applicazione χ `e bigettiva provando che ammette una inversa χ0: I → Gx. Definiamo χ0 ponendo per ogni y ∈ I, se g ∈ G `e tale che gx = y, χ0(y) = gGx.
Anche χ0 `e ben definita, perch´e se g0 ∈ G `e anch’esso tale che g0x = y, si ha (g−1g0)x = x e quindi g−1g0 ∈ Gx, cio`e g0Gx = gGx.
E evidente che si ha χ◦χ` 0= idIe χ0◦χ = idG¯x, quindi χ `e bigettiva, ed `e un G-isomorfismo, perch´e per ogni g ∈ G e ogni hGx∈ Gx, si ha χ(g(hGx)) = χ((gh)Gx) = gh = gχ(hGx. Esempi 4.3.13 a) Siano I un k-spazio vettoriale e G = k∗; allora G opera su I come descritto nell’esempio 4.3.2 c). Lo stabilizzatore di 0I `e k∗, mentre se v ∈ I\{0I}, lo stabilizzatore di v `e {1}.
b) Siano I = R2 e G = Gl(2, R); allora G opera su I come descritto nell’esempio 4.3.2 d). Lo stabilizzatore G(a,b)di (a, b) `e G, mentre se (a, b) ∈ I\{(0, 0)}, lo stabilizzatore di (a, b) `e costituito dalle matrici x y
z t
!
∈ G tali che ax + by = a e az + bt = b;
ad esempio
- lo stabilizzatore di (1, 0) `e costituito dagli elementi 1 a 0 b
!
∈ G, con b 6= 0;
- lo stabilizzatore di (0, 1) `e costituito dagli elementi a 0 b 1
!
∈ G, con a 6= 0.
Osservazione 4.3.14 Sia I un G-insieme omogeneo avente un numero finito n di ele-menti. Allora
a) G `e finito se e solo se gli stabilizzatori degli elementi di I sono finiti;
b) per ogni x ∈ I si ha [G : Gx] = n.
Infatti, se G `e finito, lo sono anche i suoi sottogruppi; se gli stabilizzatori degli elementi di I sono finiti, fissato x ∈ I, si ha G = Sg∈GGx; inoltre ciascun gGx `e finito e i gGx
distinti sono in numero finito, perch´e per la prop 4.3.12 l’insieme di tutti i gGx `e in corrispondenza biunivoca con I. Ci`o prova a).
[G : Gx] `e poi il numero delle classi laterali sinistre di G modulo Gx, e l’insieme di queste
`
e in corrispondenza biunivoca con I, quindi b) segue direttamente dalla Prop. 4.3.12.
Osservazione 4.3.15 Siano G un gruppo finito di ordine n e I un G-insieme. Allora, per ogni x ∈ I il numero r degli elementi dell’orbita Ix `e un divisore di n.
Infatti, Ix `e un G-insieme omogeneo (es. 4.3.7 a)) e quindi [G : Gx] = r, e del resto se Gx ha s elementi si ha [G : Gx] · s = n, cio`e rs = n.
Esercizi 4.3.16 a) Se il gruppo G opera sull’insieme I, esso opera in modo natu-rale anche sull’insieme I1 = P(I) delle parti di I (se G opera su I mediante ϕ : G × I → I, si definisca Φ : G × I1 → I1 nel seguente modo : se g ∈ G e A ∈ I1, Φ(g, A) = {ϕ(g, a) | a ∈ A}), e quindi sull’insieme I2 =P(I1) delle parti di I1, . . . b) Dimostrare che ogni gruppo G opera transitivamente su se stesso mediante l’applicazione
ϕ : G × G → G definita da ϕ(g, x) = gx.
c) Siano G un gruppo e H un sottogruppo di G. Dimostrare che H opera su G mediante l’applicazione ϕ : H × G → G definita da ϕ(h, x) = hx e che le orbite degli elementi di G sono tutte in corrispondenza biunivoca fra loro.
d) Siano G un gruppo, H un sottogruppo e G0 l’insieme delle classi laterali sinistre di G modulo H. Dimostrare che l’applicazione ϕ : G × G0 → G0, ϕ(g, g1H) = (gg1)H
`e ben definita e dota G0 della struttura di G-insieme omogeneo. Determinare lo stabilizzatore di H ∈ G0.