Per affrontare tutti i problemi elencati nelle Osserv. 6.1.1 e 6.1.2, e molti altri che possono facilmente essere enunciati, non `e necessario scegliere una unit`a di misura per le lunghezze o un sistema di riferimento.
Ma l’affascinante storia dell’argomento narra che dopo secoli di tentativi sintetici e cio`e basati soltanto sulle possibilit`a del disegno, per la risoluzione dei problemi classici, il mondo matematico si `e reso conto della necessit`a di un cospicuo coinvolgimento dell’algebra e dello studio della natura dei numeri che rappresentano le lunghezze dei segmenti da costruire, o dei numeri che rappresentano le coordinate del punto da costruire.
Naturalmente, essendo spesso il problema da risolvere invariante per similitudine, la scelta dell’unit`a di misura pu`o essere fatta secondo convenienza.
Cos`ı, ad esempio, nel problema della duplicazione del cubo si sceglier`a come unit`a di misura lo spigolo del cubo da duplicare; il problema geometrico diverr`a cos`ı quello di costruire un segmento di lunghezza √3
2 e quello algebrico quello di vedere se questo numero ha le caratteristiche richieste perch´e la costruzione sia possibile.
Pi`u in generale, il problema potrebbe presentare anche qualche dato iniziale, costituito, ad esempio, da un certo numero di punti e richiedere la costruzione di ulteriori punti. Anche in questo caso, fissare una unit`a di misura o un sistema di riferimento pu`o non essere necessario, se la soluzione pu`o essere affidata semplicemente a procedure grafiche.
Ma se questo si rivela difficile e si vuole percorrere la via algebrica, bisogna trasformare i punti iniziali in dati algebrici o numerici, e quindi introdurre un sistema di riferimento nel quale quei punti avranno delle coordinate che, evidentemente, entrano in gioco nella risolubilit`a del problema.
Banalizzando un po’ e anticipando che in assenza di dati iniziali diversi dall’unit`a di misura un segmento di lunghezza √3
2 non `e costruibile con riga e compasso, `e evidente che, se si disponesse fra i dati iniziali del punto di coordinate (2√3
2, 1) il segmento risulterebbe invece facilmente costruibile.
Osservazione 6.2.1 Un punto di coordinate x e y `e costruibile con riga e compasso se e solo se `e possibile costruire con riga e compasso un segmento di lunghezza x e un segmento di lunghezza y. L’enunciazione in termini algebrici di un problema di costruibilit`a con riga e compasso pu`o essere allora la seguente
per quali x ∈ R `e possibile costruire con riga e compasso un segmento di lunghezza x ? E in questo senso le condizioni 8) − 11) delle Osserv. 6.1.1 e 6.1.2 possono essere rein-terpretate dicendo che
l’insieme dei numeri reali x per i quali `e costruibile con riga e compasso un segmento di lunghezza |x| `e un campo E contenente Q e tale che, se x ∈ E, anche√
x ∈ E Definizione 6.2.2 Il campo E costituito da tutti i numeri reali x tali che `e costruibile un segmento di lunghezza |x| si dice campo dei numeri euclidei.
Osservazione 6.2.3 Si osservi anche che, se i dati iniziali sono costituiti, oltre che dal sistema di riferimento, dai punti P1 = (a1, b1), . . . , Pn = (an, bn), ogni retta passante per
6.2. TRADUZIONE ALGEBRICA 155 due di essi e ogni circonferenza passante per tre di essi sono rappresentabili con equazioni con coefficienti nel campo Q(a1, . . . , an, b1, . . . , bn). In questo caso, quindi, se vorremo costruire, ad esempio, un segmento di lunghezza x dovremo testare se x ha le propriet`a algebriche che assicurano la costruibilit`a riferendoci a questo campo e non a Q, e parleremo di punti costruibili con riga e compasso o di numeri euclidei rispetto a questo campo.
Definizione 6.2.4 Se i dati iniziali sono costituiti, oltre che dal sistema di riferimento, dai punti P1= (a1, b1), . . . , Pn= (an, bn), il campo
R = Q(a1, . . . , an, b1, . . . , bn) si dice campo di razionalit`a dei dati iniziali.
Osservazione 6.2.5 Se x `e un numero reale algebrico di grado ≤ 2 su R, x `e euclideo.
Infatti, le Osserv. 6.1.1 e 6.1.2 mostrano che tutti i punti che sono raggiungibili dai dati iniziali con operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione sono costru-ibuili con riga e compasso; ma questi sono tutti punti le cui coordinate appartengono ad R, quindi i punti che hanno coordinate algebriche di grado 1 su R, sono costruibili con riga e compasso. Se x /∈ R, esso `e radice di un polinomio irriducibile f (X) = X2+aX +b ∈ R[X]
e a2− 4b > 0, perch´e x `e reale; quindi x ha uno dei due valori (−a ±√
a2− 4b)/2 e la conclusione segue dall’Osserv. 6.1.2.
Teorema 6.2.6 Il punto P = (x, y) `e costruibile con riga e compasso a partire dai punti P1, . . . , Pn se e solo se, detto R il campo di razionalit`a dei dati, esiste una successione finita di campi K0, . . . , Ks tale che
a) K0= R ⊆ K1 ⊆ · · · ⊆ Ks b) x + iy ∈ Ks
c) [Ki : Ki−1] ≤ 2, per ogni i = 1, . . . , s
Dimostrazione Supponiamo che P sia costruibile mediante una successione di operazioni α1, . . . , αm−1 del tipo descritto in apertura di capitolo e vediamo come si pu`o costruire una successione di campi K0, . . . , Km+1 soddisfacente le condizioni a), b) e c).
Procediamo per induzione.
Supponiamo di aver definito i campi K0, . . . , Kj e definiamo Kj+1. Se αj+1 `e una retta o una circonferenza, poniamo Kj+1= Kj. Se αj+1 `e un punto di coordinate a e b, poniamo Kj+1= Kj(a, b).
Otteniamo cos`ı, alla fine del processo, il campo Km. Infine, poniamo Km+1 = Km(i).
Allora la a) `e verificata.
Inoltre, poich´e αm= P = (x, y), si ha x, y ∈ Km = Km−1(x, y) e siccome i ∈ Km+1, anche la b) `e verificata.
Proviamo che per ogni j = 0, . . . , m − 1 si ha [Kj+1 : Kj] ≤ 2.
Se αj+1 `e una retta, o una circonferenza, si ha, per definizione, Kj+1 = Kj e quindi [Kj+1 : Kj] = 1.
Se αj+1 `e un punto, si hanno le tre possibilit`a
1) αj+1 `e il punto di intersezione di due rette αr e αs facenti parte dei dati iniziali o tali che r, s ≤ j.
Le equazioni di αr e αs possono essere scelte con coefficienti in Kj, quindi le coordi-nate di αj+1 sono in Kj e quindi Kj+1= Kj e [Kj+1 : Kj] = 1.
2) αj+1 `e uno dei punti di intersezione della retta αr e della circonferenza αs facenti parte dei dati iniziali o tali che r, z ≤ j.
Le equazioni di αr e αs possono essere scelte con coefficienti in Kj, αr : ax + by + c = 0 αs : x2+ y2+ dx + ey + f = 0
con a, b, c, d, e, f ∈ Kj. Le coordinate di αj+1 si ottengono dalla risoluzione del sistema
( ax + by + c = 0
x2+ y2+ dx + ey + f = 0
Se, ad esempio, a 6= 0, ricavando x dalla prima equazione e sostituendolo nella seconda si ottiene una equazione del tipo y2 + ly + m = 0, con l, m ∈ Kj, quindi Kj+1= Kj(√
l2− 4m) e [Kj+1: Kj] ≤ 2.
3) αj+1 `e uno dei punti di intersezione delle circonferenze αr ed αs facenti parte dei dati iniziali o tali che r, z ≤ j.
Le equazioni di αr e αs possono essere scelte con coefficienti in Kj,
αr : x2+ y2+ ax + by + c = 0 αs : x2+ y2+ dx + ey + f = 0 con a, b, c, d, e, f ∈ Kj. Le soluzioni reali del sistema sono le soluzioni del sistema
( x2+ y2+ ax + by + c = 0 (a − d)x + (b − e)y + c − f = 0 il che riconduce questo caso al precedente.
Viceversa, supponiamo che esista una successione di campi del tipo descritto e mostriamo allora che P `e costruibile con riga e compasso.
A meno di scartare qualche campo, possiamo supporre che sia [Kj+1 : Kj] = 2 per ogni j = 0, . . . , s − 1. Se per ogni j scegliamo xj+1∈ Kj+1\Kj, si ha Kj+1= Kj(xj+1).
Poich´e il grado di x1 su K0 `e 2, il punto P1 = (x1, 0) `e costruibile con riga e compasso a partire dai dati iniziali.
Per la stessa ragione, il punto P2= (x2, 0) `e costruibile con riga e compasso a partire dai dati iniziali cui sia stato aggiunto il punto P1, e quindi lo `e a partire dai dati iniziali.
Cos`ı continuando, si dimostra che i punti Px = (x, 0) e Py = (0, y) sono costruibili con riga e compasso a partire dai dati iniziali e la tesi segue dall’Osserv. 6.2.1. Corollario 6.2.7 Se il punto P = (x, y) `e costruibile con riga e compasso a partire da un insieme di dati iniziali avente campo di razionalit`a R, il numero complesso x + iy `e algebrico su R e il suo grado `e una potenza di 2.
Dimostrazione Segue dal Teor. 6.2.6 e dal Coroll. 3.2.7.
6.2. TRADUZIONE ALGEBRICA 157 Corollario 6.2.8 Condizione necessaria perch´e sia costruibile un segmento di lunghezza x, `e che x sia un numero reale algebrico sul campo di razionalit`a k dei dati iniziali e che il suo grado su k sia una potenza di 2.
Cerchiamo ora una condizione sufficiente dello stesso tipo. Premettiamo il seguente Lemma 6.2.9 Sia K una estensione normale di k tale che [K : k] `e una potenza di 2.
Allora esistono una successione di estensioni
K0 = k ⊆ K1 ⊆ · · · ⊆ Ks= K
e per ogni i = 1, . . . , s un elemento xi ∈ Ki+1 tale che Ki+1= Ki(xi) e x2i ∈ Ki.
Dimostrazione K `e campo delle radici di un polinomio f ∈ k[X] a radici semplici (Coroll.
3.7.5). Allora G = Gk(K) ha ordine [K : k], quindi `e un 2-gruppo e quindi, per i Coroll.
4.7.6 e 4.7.11, ammette una risoluzione
G0 = G ⊇ G1⊇ · · · ⊇ Gs = {1}
tale che, per ogni i = 1, . . . , s, Gi−1/Gi ha ordine 2.
Se Ki`e il sottocampo di K costituito dagli elementi lasciati fissi dagli automorfismi di Gi, per il teorema sulla corrispondenza di Galois si ha
k0 = k ⊆ k1 ⊆ · · · ⊆ ks= K
e [Ki+1: Ki] = 2 e da ci`o segue la tesi.
Proposizione 6.2.10 Siano k = Q(a0, . . . , an) il campo di razionalit`a di certi dati ini-ziali, K un’estensione normale di k tale che [K : k] `e una potenza di 2 e z un elemento di K.
Allora il punto del piano complesso corrispondente a z `e costruibile con riga e compasso a partire da quei dati iniziali.
Dimostrazione Segue dal lemma precedente e dal Teor. 6.2.6. Corollario 6.2.11 Siano k = Q(a0, . . . , an) il campo di razionalit`a di certi dati iniziali, f ∈ k[X] un polinomio irriducibile e ∆f il campo delle radici di f su k.
Allora i fatti seguenti sono equivalenti a) Il grado [∆f : k] `e una potenza di 2.
b) L’ordine di Gk(f ) `e una potenza di 2.
c) Le radici di f , interpretate come punti del piano complesso, sono costruibili con riga e compasso.
Dimostrazione L’equivalenza fra a) e b) segue dal Teor. 5.1.2, mentre a) implica c) per la Prop. 6.2.10. Se poi le radici z1, . . . , zn di f sono costruibili con riga e compasso, ciascuna di esse, zi, ha grado 2si su k ed quindi un divisore, sia 2ti, su k(z1, . . . , zi−1). Ne segue che
[∆f : k] = [∆f : k(z1, . . . , zn−1)] . . . [k(z1) : k] = 2tn+···+t1
Osservazione 6.2.12 Segue dalle considerazioni precedenti che la condizione che x+iy ∈ C abbia per grado su k una potenza di 2 `e necessaria perch´e il punto P = (x, y) sia costruibile con riga e compasso, ma in generale non `e sufficiente.
Un esempio `e dato dalle radici del polinomio f (X) = X4+ 2X + 2 ∈ Q[X]; poich´e questo
`e irriducibile su Q, esse sono algebriche di grado 4 su Q; i corrispondenti punti del piano, tuttavia, non sono costruibili con riga e compasso perch´e, come si verifica facilmente, GQ(f ) ' S4 ha ordine 24, che non `e una potenza di 2.
Osservazione 6.2.13 `E ovvio che le radici delle equazioni biquadratiche X4+ aX2+ b ∈ Q[X] sono sempre costruibili con riga e compasso, se interpretate come punti del piano complesso.
Segue da ci`o che il gruppo di Galois di una equazione biquadratica non pu`o mai essere S4 o A4.
Si dimostra infatti che se f (X) = X4+ aX2+ 2 ∈ k[X] `e irriducibile
a) Gk(f ) ' V4 se e solo se b `e un quadrato in k (cio`e se esiste un elemento α ∈ k tale che α2= b);
b) Gk(f ) ' C4 se e solo se b non `e un quadrato in k ma b(a2− 4b) lo `e;
c) Gk(f ) ' D8 se e solo se n´e b n´e b(a2− 4b) sono quadrati in k.
Esercizi 6.2.14 a) Determinare il campo di razionalit`a dei dati costituiti, oltre che dal sistema di riferimento, dalle rette di equazioni x + 2y + 1 = 0, 2x + y + 1 = 0 e dalla circonferenza di equazione x2+ y2+ 2x = 0.
b) Dimostrare che il punto P = (√6 2,√
3) non `e costruibile con riga e compasso.
c) Dimostrare che l’iperbole di equazione x2− y2 = 3 e la parabola di equazione y = x2− 2x si incontrano in due soli punti reali non costruibili con riga e compasso.
d) Dimostrare che i punti di intersezione dell’ellisse di equazione x42 + y2 = 1 con la parabola di equazione y = 2x2−92x + 1 sono costruibili con riga e compasso.
e) Dimostrare che i punti di intersezione della circonferenza di equazione x2+ y2 = 1 con la curva di equazione y = x3− x2+ 1 sono costruibili con riga e compasso.
f ) Dimostrare che le radici del polinomio f (X) = X4+ 3X3 − 3X − 6 ∈ Q[X] non corrispondono a punti del piano complesso costruibili con riga e compasso.