e in corrispondenza biunivoca con I, quindi b) segue direttamente dalla Prop. 4.3.12.
Osservazione 4.3.15 Siano G un gruppo finito di ordine n e I un G-insieme. Allora, per ogni x ∈ I il numero r degli elementi dell’orbita Ix `e un divisore di n.
Infatti, Ix `e un G-insieme omogeneo (es. 4.3.7 a)) e quindi [G : Gx] = r, e del resto se Gx ha s elementi si ha [G : Gx] · s = n, cio`e rs = n.
Esercizi 4.3.16 a) Se il gruppo G opera sull’insieme I, esso opera in modo natu-rale anche sull’insieme I1 = P(I) delle parti di I (se G opera su I mediante ϕ : G × I → I, si definisca Φ : G × I1 → I1 nel seguente modo : se g ∈ G e A ∈ I1, Φ(g, A) = {ϕ(g, a) | a ∈ A}), e quindi sull’insieme I2 =P(I1) delle parti di I1, . . . b) Dimostrare che ogni gruppo G opera transitivamente su se stesso mediante l’applicazione
ϕ : G × G → G definita da ϕ(g, x) = gx.
c) Siano G un gruppo e H un sottogruppo di G. Dimostrare che H opera su G mediante l’applicazione ϕ : H × G → G definita da ϕ(h, x) = hx e che le orbite degli elementi di G sono tutte in corrispondenza biunivoca fra loro.
d) Siano G un gruppo, H un sottogruppo e G0 l’insieme delle classi laterali sinistre di G modulo H. Dimostrare che l’applicazione ϕ : G × G0 → G0, ϕ(g, g1H) = (gg1)H
`e ben definita e dota G0 della struttura di G-insieme omogeneo. Determinare lo stabilizzatore di H ∈ G0.
4.4 Teoremi di Sylow e teorema di struttura dei gruppi com-mutativi
Conoscere la struttura di un dato gruppo finito non `e cosa semplice. Un gruppo commu-tativo, generato da un numero finito r di elementi, `e prodotto diretto di al pi`u r gruppi ciclici (Teor. 4.4.10). Ma il caso non commutativo, il caso ordinario nello studio delle equazioni algebriche, `e assai pi`u complesso.
Una possibilit`a di analisi `e offerta dallo studio dei sottogruppi normali del gruppo dato,
4.4. TEOREMI DI SYLOW E TEOREMA DI STRUTTURA DEI GRUPPI COMMUTATIVI109 analisi per la quale sono molto utili alcuni teoremi dimostrati nel 1872 dal matematico
norvegese Ludwig Sylow (1832-1918).
Se infatti si riesce a stabilire l’esistenza di due sottogruppi normali H e K tali che H ∨ K = G e H ∩ K = {1}, allora G `e prodotto diretto dei due sottogruppi H e K e lo studio si sposta su gruppi di ordine inferiore.
Ma bisogna prima sapere se il gruppo G ha sottogruppi di ordini convenienti, e a questo provvede il primo dei teoremi di Sylow (4.5.14), che assicura l’esistenza di sottogruppi di ordine pr (p primo), purch´e questo numero sia un divisore dell’ordine del gruppo.
Stabilito che di un dato ordine esistono sottogruppi, un altro teorema di Sylow 4.4.9 pone delle limitazioni al loro numero. Si riesce cos`ı a stabilire, in qualche caso, che il gruppo G ha, di un dato ordine, un unico sottogruppo, e questo assicura che questo sottogruppo `e normale.
Iniziamo il paragrafo esibendo un esempio di gruppo di ordine 12 privo di sottogruppi di ordine 6. Questo prova che il viceversa del teorema di Lagrange `e in generale falso. Per il primo teorema di Sylow, il minimo numero d per il quale possa non esistere un sottogruppo di ordine d `e 6, quindi l’esempio 4.4.1 `e minimale.
Esempio 4.4.1 Il gruppo A4 `e costituito dai 12 elementi
{1} a = (12)(34) b = (13)(24) c = (14)(23) d = (234) e = (243) f = (134) g = (143) h = (124) i = (142) j = (123) k = (132)
Si noti che 1 ha ordine 1, a, b e c hanno ordine 2, mentre gli altri elementi, essendo 3-cicli, hanno ordine 3: quindi i sottogruppi ciclici di A4 sono
H0 = {1} H1 = {1, a} H2= {1, b}) H3 = {1, c}
H4 = {1, d, e} H5 = {1, f, g} H6= {1, h, i} H7 = {1, j, k}
A4 ha anche il sottogruppo non ciclico di ordine 4 H8= {1, a, b, c}.
Mostriamo che se H `e un sottogruppo di ordine ≥ 6 esso contiene almeno 7 elementi e quindi coincide con A4. Ora, un sottogruppo H di ordine ≥ 6 contiene almeno un elemento x di ordine 3 e almeno un altro elemento y /∈ {1, x, x2}.
Allora esso contiene i 6 elementi, chiaramente distinti, 1, x, x2, y, xy, x2y.
Se anche y ha ordine 3, H contiene l’ulteriore elemento y2, distinto dai precedenti.
Se invece y ha ordine 2, H contiene l’ulteriore elemento xyx (in questo caso vedere che esso `e distinto dai precedenti `e un po’ pi`u laborioso).
Quindi A4 `e un gruppo di ordine 12 privo di sottogruppi di ordine 6.
Lemma 4.4.2 Siano G un gruppo finito di ordine n, p un numero primo, pe la massima potenza di p che divide n ed r il numero dei sottoinsiemi di G aventi pe elementi. Allora p non divide r.
Dimostrazione Il numero dei sottoinsiemi di G con pe elementi `e n
pe
!
= n(n − 1) . . . (n − pe+ 1)
pe! = n
pe · n − 1
pe− 1· · · n − (pe− 1) pe− (pe− 1) =
pe−1
Y
k=0
n − k pe− k
Si osservi ora che se s ≤ e, ps divide n − k se e solo se ps divide pe− k; infatti, se psa = n e psb = n − k, si ha ps(pe−sa − b) = k; quindi ps divide k e quindi pe− k.
Viceversa, se ps divide pe− k, ps divide k e quindi divide n − k. Teorema 4.4.3 (10 teorema di Sylow) Siano G un gruppo di ordine n, p un numero primo e pe la massima potenza di p che divide n. Allora G ha un sottogruppo H di ordine pe.
Dimostrazione Determiniamo H come stabilizzatore di un elemento di un opportuno G-insieme.
Sia I l’insieme dei sottoinsiemi di G aventi peelementi. G opera su I mediante l’applicazione ϕ : G × I → I definita da ϕ(g, x) = {gα | α ∈ x}.
Siano I1, . . . , Is le orbite distinte di I e sia r1 il numero degli elementi di I1; allora, se r `e il numero degli elementi di I, si haPsi=1ri= r e poich´e, per il Lemma 4.4.2, p non divide r, esiste j ∈ {1, . . . , s} tale che p non divide rj.
Siano x ∈ Ij ed H = Gx.
Ora, pe divide l’ordine t di H; infatti si ha, per l’Osserv. 4.3.14 b), [G : Gx] = rj e quindi n = trj; ma n `e divisibile per pe ed rj non `e divisibile per p; quindi pe divide t e pe≤ t.
Del resto si ha Hx = x = {gx | g ∈ H} = Sα∈xHα ed `e evidente che ogni Hα ha t elementi; quindi t `e minore o uguale al numero di elementi di x, cio`e t ≤ pe.
Se ne conclude che H `e un sottogruppo di G di ordine pe. Lemma 4.4.4 Siano p un numero primo, G un gruppo finito di ordine ps e I un G-insieme finito con r elementi. Allora, se p non divide r, esiste in I un’orbita costituita da un solo elemento.
Dimostrazione Siano Ix1, . . . , Ixt le orbite distinte di I e sia ri il numero degli elementi di Ixi, per i = 1, . . . , t. Allora si ha r =Pti=1ri; ma ri = [G : Gxi] `e un divisore di ps per ogni i e quindi `e del tipo pmi con 0 ≤ mi ≤ s e se fosse mi > 0 per ogni i = 1, . . . , t, p
sarebbe un divisore di r =Pti=1ri.
Teorema 4.4.5 Siano G un gruppo di ordine n, p un numero primo, pe la massima potenza di p che divide n, H un sottogruppo di G di ordine pe e K un sottogruppo di G di ordine pe0. Allora esiste g ∈ G con gKg−1 ⊆ H.
Dimostrazione Sia I l’insieme dei sottoinsiemi di G aventi pe elementi. G opera su I mediante l’applicazione ϕ : G × I → I definita da ϕ(g, x) = {gα | α ∈ x}.
Siano I1, . . . , It le orbite distinte di I e sia ri il numero degli elementi di Ii. Poich´e, per il Lemma 4.4.2, p non divide il numero r = Pti=1ri, esiste j ∈ {1, . . . , t} tale che p non divide rj. Allora, se x ∈ Ij, per il 10 teorema di Sylow, il sottogruppo H0 = Gx ha pe elementi.
Se ora K0 `e un sottogruppo di G di ordine ps, esiste y ∈ Ix tale che K0 ⊆ Gy. Infatti, G opera su Ix e quindi anche K0 opera su Ix.
Poich´e p non divide rj e K0 ha ps elementi, per il Lemma 4.4.4 esiste y ∈ Ix tale che {y}
`
e un’orbita di I su K0, cio`e gy = y per ogni g ∈ K0, e cio`e K0 ⊆ {g ∈ G | gy = y} = Gy. Poich´e G opera transitivamente su Ix, esiste g0 ∈ G con g0x = y e quindi K0 ⊆ Gy = g0Gxg0−1= g0H0g0−1e allora, se g = (g0)−1, si ha gK0g−1⊆ H0.
4.4. TEOREMI DI SYLOW E TEOREMA DI STRUTTURA DEI GRUPPI COMMUTATIVI111 In particolare, esistono h, k ∈ G con hHh−1 ⊆ H0 e kHk−1 ⊆ H0; ma poich´e hHh−1 e
kHk−1 hanno entrambi pe elementi, si ha hHh−1 = H0 e quindi kHk−1 ⊆ hHh−1; posto
allora g = h−1k, si ha gKg−1 ⊆ H come volevasi.
Corollario 4.4.6 (20 teorema di Sylow) Siano G un gruppo finito di ordine n, p un numero primo e pe la massima potenza di p che divide n. Allora i sottogruppi di G di ordine pe sono tutti coniugati.
Dimostrazione Se H e K sono due sottogruppi di G di ordine pe, esiste g ∈ G con gKg−1⊆ H; inoltre gKg−1 e H hanno lo stesso numero di elementi, quindi gKg−1 = H.
Definizione 4.4.7 Sia p un numero primo. Un sottogruppo H di un gruppo finito G di ordine n si dice p-sottogruppo di Sylow di G se ha ordine pe, dove pe `e la massima potenza di p che divide n.
Osservazione 4.4.8 Se H `e un p-sottogruppo di Sylow di G normale in G, H `e l’unico p-sottogruppo di G. In particolare, se H `e un p-sottogruppo di Sylow di G, H `e l’unico p-sottogruppo di Sylow contenuto nel normalizzatore N (H) di H.
Infatti, se K `e un altro p-sottogruppo di Sylow di G, l’omomorfismo canonico K → HK/H
`
e surgettivo e ha nucleo H ∪ K, quindi HK/H ' K/H ∩ K e allora l’ordine di HK `e una potenza di p che divide l’ordine n di G. Ma l’ordine di H `e la massima potenza di p che divide n, quindi, essendo, H ⊆ HK, si ha H = HK e H = K.
Ne segue che se G `e commutativo e p `e un divisore primo dell’ordine di G, esiste uno e un solo p-sottogruppo di Sylow di G.
Se G non `e commutativo, si ha comunque il
Teorema 4.4.9 (30 teorema di Sylow) Se G `e un gruppo finito di ordine n e pe `e la massima potenza di p che divide n, il numero dei sottogruppi di G di ordine pe `e della forma 1 + kp ed `e un divisore di n/pe.
Dimostrazione Siano H1, . . . , Hr tutti i p-sottogruppi di Sylow di G e supponiamo che sia r > 1. A ogni elemento x di H1 associamo la permutazione
H1 H2 . . . Hr
x−1H1x x−1H2x . . . x−1Hrx
!
H1 `e l’unico ad essere lasciato fisso da tutte queste permutazioni. Infatti, se fosse x−1Hkx = Hk per ogni x ∈ H1, con k 6= 1, H1 sarebbe contenuto nel normalizzatore di Hk, il che `e assurdo (Osserv. 4.4.8).
In definitiva, H1 opera sull’insieme H2, . . . , Hr e ciascuna orbita ha pi`u di un elemento.
Ma il numero di elementi di ciascuna orbita `e un divisore dell’ordine di H1(Osserv. 4.3.15) ed essendo diverso da 1 `e un esponente di p con esponente positivo.
Questo prova che il numero dei sottogruppi di G di ordine pe`e della forma 1 + kp ed `e un divisore di n. Ma se si ha (1 + kp)d = n = pem, d `e un multiplo di p e quindi possiamo procedere a successive semplificazioni fino a ottenere che 1 + kp `e un divisore di m. Concludiamo il paragrafo con un teorema sulla struttura dei gruppi commutativi finita-mente generati.
Teorema 4.4.10 Ogni gruppo commutativo G generato da r elementi `e prodotto diretto di al pi`u r gruppi ciclici.
Dimostrazione Dimostriamo il teorema per induzione su r.
Per r = 1 il teorema `e vero perch´e in questo caso G `e ciclico.
Supponiamo che G sia generato da g1, . . . , gr (con r > 1) e consideriamo le relazioni del tipo gx11· · · grxr = 1, osservando che
- se c’`e solo la relazione con tutti gli xi = 0, allora, per la Prop. 4.1.10, G `e prodotto diretto dei gruppi ciclici infiniti generati dai gi e il teorema `e vero;
- se un xi`e uguale a ±1, G `e generato da meno di r elementi e allora il teorema `e vero per l’induzione.
- in ciascuna di esse si possono cambiare i segni a tutti gli esponenti;
Sia allora m il pi`u piccolo intero positivo che compaia come esponente in una di quelle relazioni e supponiamo che sia m ≥ 2. A meno di riordinare gli xi, possiamo supporre che sia m = x1.
Si ha perci`o una relazione del tipo
gm1 · g2x2· · · grxr = 1 (4.2) Siano y1, . . . , yr gli esponenti in un’altra relazione. Allora, per ogni intero k da queste due relazioni si deduce una terza con gli esponenti y1− km, . . . , yr− kxr e possiamo scegliere k in modo che sia 0 ≤ y1− mk < m. Ma poich´e m `e il minimo esponente positivo di ogni relazione, deve aversi y1 = km e quindi la relazione con esponenti y1, . . . , yr pu`o essere dedotta dalla 4.2 e dalla relazione con gli esponenti 0, y2− kx2, . . . , yr− kxr.
Cos`ı, l’insieme di tutte le relazioni in G `e equivalente all’insieme S costituito dalla 4.2 e da relazioni che coinvolgono solo g2, . . . , gr.
Nella 4.2 poniamo x2 = k2m + s2, . . . , xr = krm + sr, dove i ki sono tali che 0 ≤ si < m e consideriamo l’elemento g∗1 = g1g2k2· · · gkrr.
Allora anche g1∗, g2, . . . , gr generano G e si ha g∗1m· gs22· · · grsr = 1.
Ora, gli si non possono essere positivi, per la minimalit`a di m, quindi s2 = · · · = sr = 0 e g1∗m = 1; ma allora G `e definito dalla relazione g∗1m = 1 e da relazioni coinvolgenti solo g2, . . . , gr. Quindi G `e prodotto diretto del gruppo ciclico di ordine m generato da g1∗ e del gruppo generato dagli r − 1 elementi g2, . . . , gr, e per l’induzione quest’ultimo `e prodotto
diretto di al pi`u r − 1 gruppi ciclici.
Esercizi 4.4.11 a) Dimostrare che S4 ha almeno un sottogruppo di ordine 8 e almeno un sottogruppo di ordine 3.
b) Dimostrare che S4 ha 3 sottogruppi di ordine 8 e 4 sottogruppi di ordine 3.
c) Dimostrare che A4 ha un solo sottogruppo di ordine 4 e 4 sottogruppi di ordine 3.
d) Siano G un gruppo finito di ordine n, pe la massima potenza di p che divide n e H l’intersezione di tutti i sottogruppi di G di ordine pe. Dimostrare che l’unico coniugato di H `e H. `E H normale ? Determinare H nel caso G = S4 e p = 2.
4.5. P-GRUPPI 113