Concludiamo il capitolo analizzando la propriet`a dei gruppi che Galois leg`o alla risolubilit`a per radicali delle equazioni algebriche. Questa propriet`a, detta per questo risolubilit`a, `e sempre soddisfatta nei gruppi commutativi; ma i gruppi associati alle equazioni algebriche sono commutativi solo in pochi casi particolari ed `e quindi opportuno dedicare ad essa qualche attenzione.
Definizione 4.7.1 Un gruppo G si dice risolubile se esiste una catena di sottogruppi G = G0 ⊇ G1⊇ · · · ⊇ Gn= {1}
tale che per ogni i ≥ 1
a) Gi sia un sottogruppo normale di Gi−1, b) il gruppo quoziente Gi−1/Gi sia commutativo.
Una siffatta catena di sottogruppi si dice una risoluzione di G.
Esempi 4.7.2 a) Ogni gruppo commutativo `e risolubile.
Basta infatti considerare la risoluzione G ⊇ {1}.
b) S3 `e risolubile.
Basta considerare la risoluzione S3 ⊇ A3 ⊇ {1}.
c) A4 `e risolubile.
Basta considerare la risoluzione
A4 ⊇ H ⊇ {1}
dove H = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.
Infatti, H `e l’insieme delle permutazioni σ ∈ A4 tali che σ2 = 1; se σ `e una tale permutazione e τ ∈ A4, si ha (τ στ−1)2 = 1 e quindi τ στ−1∈ H.
Quindi H `e un sottogruppo normale di A4, e i quozienti successivi hanno ordini rispettivamente 3 e 4 e quindi sono commutativi.
d) S4 `e risolubile.
Basta considerare la risoluzione
S4⊇ A4 ⊇ H ⊇ {1}
4.7. GRUPPI RISOLUBILI 121 e) Se n ≥ 5, An non `e risolubile.
Infatti An non `e commutativo e {1} `e il suo unico sottogruppo normale proprio (Prop. 4.2.18).
Proposizione 4.7.3 I sottogruppi e i quozienti dei gruppi risolubili sono risolubili.
Dimostrazione Siano G un gruppo risolubile e G = G0 ⊇ G1 ⊇ · · · ⊇ Gn= {1} una sua risoluzione. Allora, se H `e un sottogruppo di G,
H = H ∩ G0⊇ H ∩ G1 ⊇ · · · ⊇ H ∩ Gn= {1}
`
e una risoluzione di H. Infatti,
a) se i ≥ 1, gi ∈ H ∩ Gi e gi−1 ∈ H ∩ Gi−1, si ha gi−1gig−1i−1 ∈ H ∩ Gi, perch´e Gi `e normale in Gi−1; quindi H ∩ Gi `e normale in H ∩ Gi−1;
b) l’immersione canonica ϕi : H ∩ Gi−1 → Gi−1 induce un omomorfismo iniettivo ψi: (H ∩ Gi−1)/(H ∩ Gi) → Gi−1/Gi e quindi (H ∩ Gi−1)/(H ∩ Gi) `e commutativo.
Se poi N `e un sottogruppo normale di G, si ha (Osserv. 4.1.7) Gi∨ N = GiN per ogni i.
Allora, se Ni = GiN/N , G/N = N0 ⊇ N1 ⊇ · · · ⊇ Nn= {1} `e una risoluzione di G/N . Infatti, per ogni i ≥ 1, se gi ∈ Gi e gi−1∈ Gi−1, gi−1 gi gi−1−1 = gi−1gigi−1−1 ∈ Ni, quindi Ni `e normale in Ni−1; e poich´e
Ni−1/Ni = (Gi−1N/N )/(GiN/N ) ' Gi−1N/GiN ' (Gi−1/Gi)/((GiN ∩ Gi−1)/Gi) Ni−1/Ni, quoziente di un gruppo commutativo, `e commutativo. Corollario 4.7.4 Se n ≥ 5, Sn non `e risolubile.
Dimostrazione Infatti Sn ha il sottogruppo non risolubile An. Proposizione 4.7.5 Ogni gruppo G avente un sottogruppo normale N tale che N e G/N sono risolubili, `e risolubile.
Dimostrazione Siano
N = N0 ⊇ N1 ⊇ · · · ⊇ Nn= {1} e G/N = H0 ⊇ H1⊇ · · · ⊇ Hm = {1}
risoluzioni di N e G/N rispettivamente. Se π : G → G/N `e l’omomorfismo canonico, poniamo, per ogni i = 0, . . . , m, Mi= π−1(Hi). Si ha allora la catena di inclusioni
G = M0⊇ M1 ⊇ · · · ⊇ Mm = N = N0⊇ N1 ⊇ Nn= {1}
che `e una risoluzione di G, perch´e ciascun Mi `e normale in Mi−1 e inoltre, essendo Mi/N = Hi, per ogni i = 0, . . . m, il gruppo
Mi−1/Mi' (Mi−1/N )/(Mi/N ) ' Hi−1/Hi
`
e commutativo.
Corollario 4.7.6 Ogni p-gruppo `e risolubile.
Dimostrazione Sia pn l’ordine di G. Se n = 1, G `e un gruppo finito di ordine primo, quindi ciclico e quindi commutativo. Supponiamo che l’asserto sia vero per n − 1. Allora, se N `e un sottogruppo normale di G di ordine pn−1 (Coroll. 4.5.13), N `e risolubile.
Del resto, G/N , avendo p elementi, `e commutativo, quindi la conclusione segue dalla Prop.
4.7.5.
Concludiamo il paragrafo dimostrando che i gruppi finiti risolubili ammettono risoluzioni di tipo particolare.
Proposizione 4.7.7 Se G `e un gruppo non banale privo di sottogruppi propri non banali, esso `e ciclico, finito e di ordine primo.
Dimostrazione Se g ∈ G\{1}, il sottogruppo di G generato da g coincide con G, perch´e G non ha sottogruppi propri non banali; quindi G `e ciclico. Se G fosse infinito, sarebbe isomorfo a Z ed avrebbe sottogruppi propri non banali. Infine, supponiamo che G abbia ordine n e che sia n = pm con p primo. Allora non pu`o essere m > 1, perch´e altrimenti G
avrebbe un sottogruppo proprio non banale di ordine p.
Proposizione 4.7.8 Siano G un gruppo e H un sottogruppo normale di G, massimale fra quelli propri che rendono G/H commutativo. Allora G/H `e privo di sottogruppi propri non banali.
Dimostrazione Se esistesse un sottogruppo proprio non banale N0 di G/H ed N fosse la sua controimmagine in G, N sarebbe un sottogruppo normale di G contenente propria-mente H e G/N ' (G/H)/(N/H) sarebbe un gruppo commutativo, il che contraddice la
massimalit`a di H.
Definizione 4.7.9 Siano G un gruppo e G = G0 ⊇ G1 ⊇ · · · ⊇ Gn = {1} una sua risoluzione. Una seconda risoluzione G = H0 ⊇ H1 ⊇ · · · ⊇ Hm = {1} si dice un raffinamento della prima se {G0, G1, . . . , Gn} ⊆ {H0, H1, . . . , Hm}.
Proposizione 4.7.10 Siano G un gruppo e G = G0 ⊇ G1 ⊇ · · · ⊇ Gn = {1} una sua risoluzione non raffinabile. Allora, per ogni i = 1, . . . , n, Gi−1/Gi `e privo di sottogruppi propri non banali.
Dimostrazione Supponiamo che Gi−1/Gi abbia un sottogruppo proprio non banale Hi0; allora, detta Hi la sua controimmagine in Gi−1, Gi `e normale in Hi, perch´e lo `e in Gi−1, Gi−1/Hi ' (Gi−1/Gi)/(Hi/Gi) `e commutativo e Hi/Gi `e anch’esso commutativo, perch´e
`
e contenuto in Gi−1/Gi; quindi
G = G0 ⊇ G1 ⊇ · · · ⊇ Gi−1⊇ Hi⊇ Gi ⊇ · · · ⊇ Gn= {1}
`
e un raffinamento della risoluzione G = G0 ⊇ G1 ⊇ · · · ⊇ Gn= {1}, il che `e assurdo. Corollario 4.7.11 Ogni gruppo finito risolubile ammette una risoluzione
G = G0 ⊇ G1⊇ · · · ⊇ Gn= {1}
tale che, per ogni i = 1, . . . , n, Gi−1/Gi `e ciclico, finito e di ordine primo.
4.7. GRUPPI RISOLUBILI 123 Dimostrazione Basta considerare una risoluzione di lunghezza massima, che esiste sempre perch`e G `e finito, e applicare i risultati precedenti. Osservazione 4.7.12 `E stato dimostrato da Feit e Thompson nel 1963 che ogni gruppo finito di ordine dispari `e risolubile.
Esercizi 4.7.13 a) Provare che ogni gruppo di ordine pq, con p e q primi, `e risolubile.
b) Provare che ogni gruppo di ordine 12 `e risolubile.
c) Provare che il prodotto diretto di due gruppi risolubili `e risolubile
d) Il derivato D(G) del gruppo G `e il sottogruppo di G generato dagli elementi, detti
”commutatori”, del tipo x−1y−1xy. Provare che - G `e commutativo se e solo se D(G) = {1},
- se H `e un sottogruppo normale di G, G/H `e commutativo se e solo se D(G) ⊆ H.
Si definisce poi induttivamente il derivato n-mo di G ponendo D1(G) = D(G) e, se n > 1, Dn(G) = D(Dn−1(G).
e) Provare che se G `e un gruppo finito sono fatti equivalenti - G `e risolubile,
- esiste n ∈ N con Dn(G) = {1}.
f ) Ridimostrare la Prop. 4.7.3 utilizzando l’es. e).
g) Dimostrare che se G `e un p-gruppo e se G/D(G) `e ciclico, anche G `e ciclico.
Capitolo 5
Risolubilit` a per radicali delle equazioni algebriche
Il problema della risolubilit`a per radicali delle equazioni polinomiali ha affascinato il mondo dei matematici gi`a in epoca preclassica. Persino i babilonesi avevano sviluppato dei metodi per risolvere equazioni di terzo grado di tipo particolare, mentre le regole per la soluzione di quelle di secondo grado sono ancora antecedenti e la cosa deve suscitare la giusta ammirazione, se si pensa alla difficolt`a di affrontare un simile argomento senza il supporto delle notazioni moderne, e senza la luce gettata sull’argomento dal teorema fondamentale dell’algebra, che assicura che nel campo dei numeri complessi le soluzioni ci sono sempre, e dal concetto di molteplicit`a, che ci consente di dire anche quante ce ne sono.
Oggi, l’idea di affrontare il problema cercando di abbassare il grado dell’equazione in studio appare ingenua, perch´e sappiamo bene che equazioni di gradi diversi non possono avere le stesse radici.
Ma attraverso la sostituzione x → x − an−1n l’equazione xn+ an−1xn−1+ · · · + a0 viene trasformata in una del tipo xn+ bn−2xn−2+ · · · + b0 e con questo artificio si trova la ben nota formula risolutiva dell’equazione generale di 20 grado ax2+ bx + c = 0 :
x = −b ±√
b2− 4ac 2a
Questo significa, fra l’altro, che se a, b, c ∈ k, le radici dell’equazione appartengono al campo ottenuto aggiungendo a k l’elemento√
b2− 4ac, cio`e un elemento α tale che α2 ∈ k.
Nel caso di una equazione di 30 grado a coefficienti in k ⊆ C
f (x) = x3+ ax2+ bx + c = 0 (5.1)
essa pu`o essere innanzitutto ridotta alla forma
x3+ px + q = 0 (5.2)
mediante la sostituzione x → x − a3.
Vedremo in seguito (Osserv. 5.4.11) che le radici dell’equazione sono i numeri complessi a + b, dove a, b ∈ C sono tali che
a3 = −q 2+
s q2
4 + p3
27 b3= −q
2 − s
q2 4 + p3
27 ab = −p
3 125
Questo significa, fra l’altro, che le radici dell’equazione 5.2, e quindi quelle dell’equazione 5.1, appartengono al campo K ottenuto nel seguente modo :
a) si aggiunge a k un numero complesso α0 tale che α20 = q42 +p273 ∈ k, e si ottiene cos`ı il campo k1;
b) si aggiungono successivamente a k1numeri complessi αitali che α3i = −q2± qq2
4 +p273 ∈ k1 e si ottiene cos`ı un campo K ⊇ ∆f.
Analoghe considerazioni possono essere fatte per le equazioni di 40 grado (Osserv. 5.4.13).
L’esistenza quindi di una formula risolutiva per radicali, che esprima le radici di una equazione algebrica f (x) = 0 in termini dei coefficienti, mediante le quattro operazioni ed estrazioni di radici, e cio`e la risolubilit`a per radicali dell’equazione f (x) = 0, `e legata al fatto che il campo delle radici ∆f di f sia raggiungibile da k mediante successive aggiunte di elementi αi per ciascuno dei quali esista un intero ni ≥ 0 con αnii ∈ k(α1, . . . , αi−1).
Questo fatto si esprime dicendo che ∆f `e estensione per radicali di k.
Obiettivo di questo capitolo `e quello di dare dei criteri perch´e ∆f sia estensione per radicali di k, in modo da dedurne alcuni fatti importanti quali :
1) l’esistenza di formule risolutive per radicali per le equazioni algebriche di grado n ≤ 4 (Esempio 5.4.10);
2) l’inesistenza di formule risolutive per equazioni algebriche generali di grado n > 4 (Coroll. 5.4.17);
3) l’esistenza, per ogni n > 4, di equazioni algebriche di grado n a coefficienti interi non risolubili per radicali (Osserv. 5.4.20).
Strumento fondamentale di questa teoria `e il teorema 5.4.8 il quale afferma che l’equazione f (x) = 0 `e risolubile per radicali se e solo se il gruppo dei k-automorfismi di ∆f `e un gruppo risolubile.
A differenza di quanto si potrebbe credere, lo studio di questo gruppo non `e difficilissimo, perch´e i k-automorfismi σ di ∆f sono soggetti ad alcune limitazioni intrinseche che fanno s`ı che esso sia relativamente piccolo. In questo senso possiamo rileggere il teorema 3.6.5, il quale implica che se f ∈ k[X] `e un polinomio a radici semplici il suo ordine `e [∆f : k].
Questa limitazione dipende sostanzialmente dal fatto che se σ `e un k-automorfismo di ∆f ed x `e una radice di f , anche σ(x) `e una radice di f .
Ma veniamo alla teoria.