Generalit` a sulle estensioni algebriche - AnnoAccademico2005-2006 IstituzionidiGeometriaSuperi

2 +√

3 ∈ R è algebrico su Q, essendo radice del polinomio X⁴−10X²+ 1 (es. 3.1.2 e)); poiché tale polinomio è irriducibile, come si verifica facilmente, esso

`e il suo polinomio minimo.

Esercizi 3.1.13 a) Determinare il grado su Q dei numeri complessi i +√ 2, i√³

2, i(√

2 +√ 3).

b) Determinare un numero complesso non reale avente grado 3 su Q.

c) Dimostrare che Q(√³

2) = Q(√³ 4).

d) Sia x ∈ K un elemento algebrico di grado 3 su k ⊆ K. Dimostrare che k(x) = k(x²).

e) Dimostrare che non tutte le radici complesse del polinomio X⁶− 1 hanno lo stesso grado su Q.

f ) Provare che Q(√

2 + i) = Q(√ 2, i).

g) Provare che Q^q²₃= Q(√ 6).

h) Dimostrare che per ogni q ∈ Q+ esiste n ∈ N con Q(√

q) = Q(√ n).

i) Dimostrare che per ogni q ∈ Q+ e ogni m ≥ 1 esiste n ∈ N con Q(^m√

q) = Q(^m√ n).

3.2 Generalit` a sulle estensioni algebriche

Molte delle considerazioni riguardanti una estensione algebrica k ⊆ K possono essere ricavate semplicamente considerando in K la struttura di spazio vettoriale su k. Fra queste, quelle tese a dimostrare che gli elementi di K che sono algebrici su k costituiscono un campo o quelle che dimostrano che aggiungendo a un campo elementi algebrici si ottengono estensioni algebriche.

Proposizione 3.2.1 Se x ∈ K `e un elemento algebrico di grado n su k, gli elementi 1, x, . . . , xⁿ⁻¹ costituiscono una base del k-spazio vettoriale k[x].

In particolare, k[x] = k(x) `e un k-spazio vettoriale di dimensione n.

Dimostrazione Se fx= a0+ a1X + · · · + Xⁿ`e il polinomio minimo di x su k si ha xⁿ= −a0− a₁x − · · · − an−1xⁿ⁻¹

il che permette di esprimere tutte le potenze di x di grado ≥ n come combinazione lineare degli elementi {1, x, . . . , xⁿ⁻¹}, che quindi generano l’intero k[x].

Se poi esistesse una combinazione lineare nulla del tipo b₀+ b₁x + · · · + b_n−1xⁿ⁻¹= 0, con i coefficienti non tutti nulli, n non sarebbe il grado minimo dei polinomi che si annullano in x; quindi 1, x, . . . , xⁿ⁻¹ sono anche indipendenti.

Esempi 3.2.2 a) Q(√

2) `e un Q-spazio vettoriale di dimensione 2; una base `e S = {1,√

2}.

b) Se p ∈ N `e un numero primo, Q(√ⁿ

p) `e un Q-spazio vettoriale di dimensione n;

infatti il polinomio minimo di Q(√ⁿ

p) su Q `e Xⁿ− p (Teor. 2.6.7); una base Q(√ⁿ p) su Q `e S = {1,√ⁿ

p,^pⁿp², . . . ,^pⁿpⁿ⁻¹}.

Definizione 3.2.3 Se K è una estensione di k, la dimensione di K come k-spazio vet-toriale si indica con [K : k]; se [K : k] = ∞ si dice che l’estensione è infinita; nel caso contrario diciamo che l’estensione è una estensione finita.

Se x ∈ K `e un elemento algebrico su k ⊆ K, si ha [k(x) : k] = δ_k(x) (Prop. 3.2.1).

Per questa ragione, se K `e una estensione finita di k, il numero [K : k] si dice il grado dell’estensione.

Proposizione 3.2.4 Ogni estensione finita `e algebrica.

Dimostrazione Se K contenesse un elemento x trascendente su k, gli elementi 1, x, . . . , xⁿ, . . . sarebbero linearmente indipendenti su k, perché da una relazione di dipendenza lineare, a₀+ a₁x + · · · + a_nxⁿ= 0 con gli a_i ∈ k non tutti nulli, si dedurrebbe che x è radice del polinomio non nullo a₀+ a₁X + · · · + a_nXⁿ∈ k[X] e quindi x è algebrico su k. Osservazione 3.2.5 Una estensione finitamente generata può non essere algebrica e quindi nemmeno finita.

Basta considerare l’esempio K = k(X), con X indeterminata su k; K `e allora una esten-sione semplice e quindi finitamente generata di k, ma l’elemento X non `e algebrico (e gli elementi 1, X, X², . . . sono linearmente indipendenti) su k.

Proposizione 3.2.6 Siano k, K e L tre campi tali che k ⊆ K ⊆ L.

Se {xi}_i∈I è una base di K su k ed {yj}_j∈J è una base di L su K, allora {xiyj}_(i,j)∈I×J è una base di L su k.

Dimostrazione Se z ∈ L, possiamo scrivere z = ^P_j∈J a_jy_j e, per ciascun j ∈ J , aj = ^P_i∈I bijxi; quindi z = ^P_j∈J^P_i∈I bijxiyj e ci`o prova che gli elementi xiyj gen-erano L su k.

Inoltre, da una relazione del tipo X

j∈J

i∈I

b_ijx_iy_j = 0

con i bij ∈ k tutti nulli, tranne un numero finito, per l’indipendenza lineare degli elementi y_j su K, si deducono le relazioni

i∈I

b_ijx_i = 0

e dall’indipendenza lineare degli elementi x_i su k si deduce che tutti i b_ij sono nulli. Corollario 3.2.7 Se K è una estensione finita di k ed L è una estensione finita di K, allora L è una estensione finita di k e si ha

[L : k] = [L : K][K : k]

3.2. GENERALIT À SULLE ESTENSIONI ALGEBRICHE 69 Corollario 3.2.8 Siano k ⊆ K una estensione di campi ed x1, . . . , xn∈ K tali che x₁ è algebrico di grado r₁ su k, x₂ è algebrico di grado r₂ su k(x₁), . . . , x_n è algebrico di grado r_n su k(x₁, . . . , x_n−1). Allora k(x₁, . . . , x_n) è un’estensione finita, e quindi algebrica, di grado r1r2. . . rn, di k.

In particolare, se x₁, . . . , x_n sono algebrici su k, l’estensione k(x₁, . . . , x_n) di k `e algebrica.

Dimostrazione Se x1 ha grado r1 su k, x2 ha grado r2 su k(x1), . . . , xn ha grado rn su k(x1, . . . , xn−1), si ha [k(x1, . . . , xn) : k] = r1r2. . . rn e quindi l’estensione

k ⊆ k(x₁, . . . , x_n) `e finita.

Proposizione 3.2.9 a) Ogni estensione finita `e finitamente generata.

b) Ogni estensione algebrica finitamente generata `e finita.

Dimostrazione Se k 6= K, consideriamo x1 ∈ K \ k; allora [k(x₁) : k] ≥ 2.

Se k(x₁) 6= K, consideriamo x₂∈ K \ k(x₁); allora

[k(x1, x2) : k] = [k(x1, x2) : k(x1)][k(x1) : k] ≥ 4 Se k(x₁, x₂) 6= K, consideriamo x₃ ∈ K \ k(x₁, x₂) ...

Poiché K è una estensione finita di k, il procedimento ha necessariamente termine dopo un numero finito di passi, e quindi K è finitamente generato su k.

La seconda affermazione è una conseguenza immediata del corollario 3.2.8. Proposizione 3.2.10 Siano K è una estensione di k ed L è una estensione di K.

a) Se le estensioni k ⊆ K e K ⊆ L sono finitamente generate, anche l’estensione k ⊆ L

`e finitamente generata.

b) Se le estensioni k ⊆ K e K ⊆ L sono finite, anche l’estensione k ⊆ L `e finita.

c) Se le estensioni k ⊆ K e K ⊆ L sono algebriche, anche l’estensione k ⊆ L `e algebrica.

d) Se l’estensione k ⊆ L `e finita, le estensioni k ⊆ K e K ⊆ L sono finite.

e) Se l’estensione k ⊆ L `e algebrica, le estensioni k ⊆ K e K ⊆ L sono algebriche.

Dimostrazione

a) Se K = k(x1, . . . , xn) ed L = K(y1, . . . , ym), si ha chiaramente L = k(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) b) Segue dal Coroll. 3.2.7.

c) Se x ∈ L ed f_x,K = a₀+ a₁X + · · · + Xⁿ `e il polinomio minimo di x su K, allora x ∈ k(a0, . . . , an−1, x) e la conclusione segue dal Coroll. 3.2.8.

d) K non può contenere infiniti elementi linearmente indipendenti su k, perché questi sarebbero anche elementi di L linearmente indipendenti su k; e se esistessero in L infiniti elementi linearmente indipendenti su K essi sarebbero anche indipendenti su k, e anche questo è impossibile.

e) Se ogni elemento di L è radice di un polinomio a coefficienti in k, è ovvio che lo sia anche ogni elemento di K, ed è anche ovvio che ogni elemento di L sia radice di un polinomio a coefficienti in K.

Proposizione 3.2.11 Se K `e una estensione di k, l’insieme degli elementi di K che sono algebrici su k `e un campo.

Dimostrazione Se x, y ∈ K sono algebrici su k, k(x, y) è una estensione algebrica di k ed x ± y, xy ∈ k(x, y), e se y 6= 0 anche xy⁻¹ ∈ k(x, y). Osservazione 3.2.12 Si osservi che la dimostrazione precedente non è costruttiva, cioè non insegna a determinare, a partire dai polinomi minimi di x ed y, polinomi di cui siano radici x + y, x − y, xy, xy⁻¹; Questa determinazione è, in generale, tutt’altro che facile.

Ma la Prop. 3.2.11 consente di concludere che certi numeri sono algebrici anche senza determinare esplicitamente polinomi di cui siano radici, semplicemente perch´e essi sono ottenuti da numeri algebrici mediante le quattro operazioni ed estrazioni di radici.

Ad esempio, sono certamente algebrici i numeri

√3

2 +√⁵ 3

√7

2(i + 1) i√⁴

√3

15(√⁶ 2 − i√

7) ...

Definizione 3.2.13 Il campo dei numeri complessi che sono algebrici su Q si dice campo dei numeri algebrici.

Osservazione 3.2.14 Il campo dei numeri algebrici coincide con l’insieme delle radici di polinomi a coefficienti interi (Osserv. 3.1.3) e costituisce un esempio di estensione algebrica non finita (e quindi non finitamente generata).

Infatti, per ogni n ∈ N^∗, il polinomio Xⁿ− 2 `e irriducibile (Prop. 2.6.7), quindi per ogni n ∈ N^∗ esistono numeri algebrici di grado n.

Osservazione 3.2.15 Segue dal Coroll. 3.2.7 che se k ⊆ K `e una estensione algebrica di grado n il grado di ogni elemento x ∈ K su k `e un divisore di n.

Infatti, se x ∈ K, si ha k ⊆ k(x) ⊆ K e quindi

n = [K : k] = [K : k(x)][k(x) : k]

In particolare, se [K : k] `e primo, l’estensione k ⊆ K `e semplice, generata da un qualsiasi elemento x ∈ K \ k.

Esempi 3.2.16 a) √

2 ∈ Q(√⁴

2), perch´e √

2 = (√⁴

2)² e si ha [Q(√⁴

2) : Q] = 4 e δ_Q(√

2) = 2.

3.2. GENERALIT `A SULLE ESTENSIONI ALGEBRICHE 71 b) In Q(√

2, i) non esistono elementi di grado 3 su Q.

c) Se p e q sono due numeri primi, ogni elemento di Q(√^p

q) ha grado p o ha grado 1, cio`e appartiene a Q. Infatti il polinomio minimo di √^p

q su Q `e X^p− q (Prop. 2.6.7).

Osservazione 3.2.17 Siano k, K ed L tre campi tali che k ⊆ K ⊆ L e sia x ∈ L un elemento algebrico su k. Allora x `e algebrico anche su K e si possono considerare i polinomi minimi di x f_x,k ed f_x,K. Ebbene, in K[X] f_x,K `e un divisore di f_x,k.

Infatti, f_x,k `e un polinomio di K[X] avente x come radice, e quindi appartiene all’ideale di K[X] costituito da tutti i polinomi di K[X] che si annullano in x, e questo ideale `e principale e generato da f_x,K.

Esempio 3.2.18 Il polinomio minimo di √⁴

2 su Q `e X⁴− 2; il polinomio minimo dello

Osservazione 3.2.19 Si considerino le estensioni finite k ⊆ K e K ⊆ L. Allora a) se L ha lo stesso grado su k e su K, si ha k = K;

b) se L e K hanno lo stesso grado su k, si ha K = L;

In particolare, se esiste in L un elemento x tale che k ⊆ K ⊆ k(x) algebrico dello stesso grado su k e su K, allora K = k.

Esercizi 3.2.20 a) `E vero che il numero reale √⁷ 9 + ¹⁷√

9 `e algebrico su Q ? Pu`o avere grado 50 ?

b) Mostrare con esempi che la somma di due elementi algebrici di grado n pu`o avere grado minore, uguale o maggiore di n.

c) Dimostrare che se k ⊆ K è una estensione algebrica ed A è un anello tale che k ⊆ A ⊆ K allora A è un campo. radici in C, i campi Q(αi) siano tutti isomorfi fra loro e un polinomio per cui ciò non accada.

j) Dimostrare che ogni campo finito di caratteristica p ha pⁿ elementi, per qualche n ∈ N^∗.

k) Determinare due campi K e K⁰ tali che C ⊂ K ⊂ K⁰.

l) `E vero che se K e L sono due estensioni di k tali che [K : k] = 2 e [L : k] = 4 si ha necessariamente K ⊂ L ?

m) Determinare tre estensioni distinte di Q nessuna delle quali sia contenuta nell’altra.

n) Determinare in Q(√⁶

2, i) elementi il cui grado su Q sia 2, 3, 4, 6.

o) Dimostrare che non esistono campi propriamente compresi fra Q e Q(√⁵

2), fra Q(√ 2) e Q(√⁴

2), fra Q(√³

2) e Q(¹⁵√ 2).

p) Determinare, se esiste, un elemento α che Q(√⁴

2) ∩ Q(√⁶

2) = Q(α).

q) Dimostrare che Q(√⁴

2) ∩ Q(√⁹

2) = Q.

r) `E vero che Q(√

2) ∩ Q(√

3) = Q ?

s) Siano K e K⁰ due estensioni di k tali che [K : k] e [K⁰ : k] siano primi fra loro.

Dimostrare che K ∩ K⁰= k.

t) Sia K una estensione semplice del campo k. Dimostrare che l’estensione `e algebrica se e solo se fra k e K ci sono solo un numero finito di campi.

u) Sia K una estensione algebrica finitamente generata del campo k. Dimostrare che fra k e K ci sono solo un numero finito di campi.

v) Siano X ed Y due indeterminate sul campo k. Dimostrare che k(X, Y ) non `e un’estensione semplice di k.

w) Dimostrare che fra un qualsiasi campo k e una sua qualsiasi estensione trascendente esistono sempre infiniti campi distinti.

x) Determinare tutti gli elementi di Q(√ 2,√

3) aventi grado 2 su Q.

y) Dimostrare che il polinomio X³⁰− 2 ∈ Q[X] non ha radici in Q(³⁶√ 2, i).

z) Siano K una estensione algebrica di k, α, β ∈ K due elementi aventi rispettivamente grado n e grado m. Dimostrare che [k(α, β) : k] `e un multiplo del minimo comune multiplo fra n ed m e pu`o non coincidere con esso.

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