Definizione 2.2.1 Un elemento d di un dominio D si dice massimo comun divisore (abbreviato M CD) di due elementi x, y ∈ D se
a) d `e divisore di x e y,
b) ogni divisore di x e y `e divisore di d.
Osservazione 2.2.2 Segue dalla definizione che il M CD di due elementi x e y, se esiste,
`
e determinato a meno di fattori invertibili, quindi in generale non `e unico; anzi, se d `e M CD di x e y, ogni generatore dell’ideale (d) `e M CD di x e y. Non sarebbe quindi corretto dire che d `e “il” massimo comun divisore di x e y, a meno che non si stabiliscano criteri univoci di scelta di un preciso generatore dell’ideale (d).
Ci`o `e possibile in due casi importanti :
a) in Z, perch´e due diversi massimi comun divisori di una stessa coppia di numeri sono due numeri opposti e quindi basta convenire di scegliere sempre quello positivo;
b) negli anelli di polinomi k[X1, . . . , Xn], perch´e fra i massimi comun divisori di una coppia di elementi ce n’`e solo uno monico e basta convenire di considerare sempre quest’ultimo.
Useremo comunque la notazione d = M CD{x, y} per indicare che d `e un massimo comun divisore per la coppia x, y, ricordando per`o che le uguaglianze al riguardo sono valide solo a meno di un fattore invertibile.
Definizione 2.2.3 Un elemento m di un dominio D si dice minimo comune multiplo (abbreviato M CM ) di due elementi x, y ∈ D se
a) m `e multiplo di x e y,
b) ogni multiplo di x e y `e multiplo di m.
Osservazione 2.2.4 Anche per il M CM di due elementi valgono le considerazioni fatte nell’osserv. 2.2.2 e scriveremo m = M CM {x, y} per indicare che m `e un minimo comune multiplo per la coppia x, y.
Osservazione 2.2.5 Le definizioni precedenti possono essere estese a n elementi come segue
- un elemento d ∈ D si dice massimo comun divisore degli elementi x1, . . . , xn ∈ D (d = M CD{x1, . . . , xn}), se
a) d `e divisore di ciascun xi,
b) ogni divisore comune a tutti gli xi `e anche divisore di d;
2.2. MASSIMO COMUN DIVISORE E MINIMO COMUNE MULTIPLO 45 - un elemento m ∈ D si dice minimo comune multiplo degli elementi x1, . . . , xn ∈ D
(m = M CM {x1, . . . , xn}), se a) m `e multiplo di ciascun xi,
b) ogni multiplo comune a tutti gli xi `e anche multiplo di m.
Si dimostra allora facilmente per induzione che si ha
M CD{x1, . . . , xn} = M CD{M CD{x1, . . . , xn−1}, xn} M CM {x1, . . . , xn} = M CM {M CM {x1, . . . , xn−1}, xn}
e l’estensione al caso di un numero finito di elementi delle propriet`a del M CD e del M CM che noi dimostreremo per le coppie non offre difficolt`a.
Proposizione 2.2.6 Siano x ed y due elementi del dominio D. Allora a) se (x, y) = (d), si ha d = M CD{x, y};
b) se l’ideale (x, y) `e principale, vale anche il viceversa, cio`e se x ed y hanno massimo comun divisore d, d `e un generatore dell’ideale (x, y);
c) (x) ∩ (y) = (m) se e solo se m = M CM {x, y}.
Dimostrazione Se (x, y) = (d), d `e un divisore di x e y, perch´e x, y ∈ (d); inoltre, se c `e un divisore sia di x sia di y, si ha (d) = (x, y) ⊆ (c), e quindi c `e un divisore di d.
Se poi l’ideale (x, y) `e principale, generato da d0, e d = M CD{x, y}, si ha (d) = (d0).
Infatti si ha chiaramente (d0) = (x, y) ⊆ (d); ma d0`e anch’esso un divisore di x ed y, quindi lo `e di d, cio`e (d) ⊆ (d0).
Proviamo la c). Se (x) ∩ (y) = (m), m `e multiplo sia di x sia di y, e se n `e un altro multiplo di x e di y si ha n ∈ (x) ∩ (y) = (m) e quindi n `e multiplo di m.
Viceversa, se m = M CM {x, y}, `e ovvio che (m) ⊆ (x) ∩ (y) e del resto, se α ∈ (x) ∩ (y), α `e multiplo sia di x sia di y e quindi lo `e di m, quindi α ∈ (m). Osservazione 2.2.7 a) Segue dalla Prop. 2.2.6 che in un dominio principale ogni
coppia di elementi ammette M CD e M CM .
b) L’implicazione della Prop. 2.2.6 a) non si inverte in generale; ad esempio, se D = k[X, Y ], si ha M CD{X, Y } = 1, ma (X, Y ) 6= (1).
Osservazione 2.2.8 Si consideri il dominio D = {m + in√
3 | m, n ∈ Z}.
In esso non esistono elementi di norme 2, 5, 6, 8, . . . ; inoltre, gli elementi di norma 1, e quindi gli elementi invertibili, sono solo ±1; quindi
- due elementi associati differiscono solo per il segno;
- se di due elementi di uguale norma uno divide l’altro essi sono associati.
Ebbene, in tale dominio a) M CD{2, 1 − i√
3} = 1;
infatti, un divisore comune degli elementi 2 e 1 − i√
3, che hanno entrambi norma 4 e non sono associati, non pu`o avere norma 4, e nemmeno norma 2, perch´e in D non esistono elementi di norma 2; allora ±1 sono gli unici divisori comuni;
b) l’ideale (2, 1 − i√
3) non `e principale;
infatti, se lo fosse, per la Prop. 2.2.6 dovrebbe essere (2, 1 − i√
3) = (1); invece
che non ha soluzioni intere (addizionando membro a membro si troverebbe 1 ∈ 2Z).
c) gli elementi 2 e 1 − i√
3 non hanno M CM (e quindi l’ideale (2) ∩ (1 − i√
3) non `e principale);
infatti, se m = M CM {2, 1 − i√
3}, N (m) deve essere, oltre che multiplo di 4 (e non 4), divisore di 16 = N (2(1 − i√
3)) e non pu`o essere 8 perch´e D non ha elementi di norma 8; poich´e (±1 ± i√
3)2 = 2(−1 ± i√
3), gli unici elementi di norma 16 di D sono ±4 e 2(±1 ± i√
3) e nessuno di essi pu`o essere M CM , perch´e ciascuno di essi, se lo fosse, sarebbe divisore non associato e con la stessa norma di qualcuno degli altri, il che non `e possibile;
d) gli elementi 2(1 + i√
3) e 4 = 2 · 2 = (1 − i√
3)(1 + i√
3) non hanno M CD;
infatti, i due elementi hanno la stessa norma 16 e non sono associati; quindi, se d = M CD{4, 2(1 + i√
3)}, N (d) deve essere un divisore di 16 e - non pu`o essere 1, perch`e 2 `e un divisore comune non invertibile,
- non pu`o essere 2 n´e 8, perch´e in D non esistono elementi con tali norme, - non pu`o essere 4, perch´e gli elementi di norma 4 sono solo ±2 e ±1 ± i√
3 e ciascuno di essi, se lo fosse, sarebbe divisore non associato e con la stessa norma di qualcuno degli altri, il che non `e possibile.
Definizione 2.2.9 Si dice che gli elementi x1, . . . , xnsono primi fra loro o che ciascuno
2.2. MASSIMO COMUN DIVISORE E MINIMO COMUNE MULTIPLO 47 b) Se x `e primo con y, per a) si ha d0= z · M CD{x, y} = z; se poi t divide x e yz, esso
divide xz e yz e quindi divide d0 = z; allora t divide x e z e quindi `e invertibile.
c) Se x `e primo con y, per a) si ha d0= z · M CD{x, y} = z; e allora x, che divide xz e yz, divide d0 = z.
Osservazione 2.2.11 L’Osserv. 2.2.8 a) e d) mostra che se x e y hanno M CD, xz e yz possono non averlo, mentre la Prop. 2.2.10 a) mostra che se x e y non hanno M CD xz e yz non hanno M CD per ogni z.
Ci`o prova che in quel dominio D esistono infinite coppie prive di M CD.
Proposizione 2.2.12 In un dominio D sono fatti equivalenti a) ogni coppia di elementi ha M CD;
b) ogni coppia di elementi ha M CM .
Dimostrazione Se x, y ∈ D, siano d = M CD{x, y} ed m = xyd; allora, se dz = x e dt = y, da dm = xy si deduce dm = d2zt e quindi m = dzt, il che prova che m `e multiplo sia di x sia di y. Se poi n `e un multiplo di x e di y, n = αx = βy, si ha n = αdz = βdt, quindi αz = βt, cio`e z divide βt e M CD{z, t} = M CD{xd,yd} (Prop. 2.2.10 c) e quindi
M CD{m, n} = M CD{dzt, βdt} = dtM CD{z, d} = dtz = m il che prova che n `e multiplo di m.
Viceversa, se m = M CM {x, y}, sia d = xym; allora, se m = xr = ys, da dm = xy si deduce xdr = xy = ysd e quindi rd = y, sd = x, cio`e d `e un divisore comune a x e y. Se poi c
`
e un divisore di x e y, sia cα = x e cβ = y; allora d = M CD{x, y} = c · M CD{α, β} e
quindi c `e un divisore di d.
Osservazione 2.2.13 Analizzando la seconda parte della dimostrazione di sopra, si pu`o osservare che `e stato in realt`a dimostrato il seguente fatto pi`u generale:
se x e y ammettono M CM , essi ammettono anche M CD
Il viceversa, senza l’ipotesi che ogni coppia di elementi ammetta M CD (utilizzata per dire che le coppie (βt, βz) ed (m, n) hanno M CD), pu`o non essere vero, come mostrato dall’Osserv. 2.2.8.
Osservazione 2.2.14 Segue dalla Prop. 2.2.6 che in un dominio principale D, se d = M CD{a, b}, d pu`o essere espresso nella forma λa + µb e l’equazione ax + by = c ha soluzioni in D2 se e solo se c `e un multiplo di d.
Questo `e un caso particolare del teorema seguente, che non dimostriamo.
Teorema 2.2.15 Sia D un dominio principale. Il sistema lineare a coefficienti in D
a11x1 + . . . + a1nxn = b1
. . . . . . . . am1x1 + . . . + amnxn = bm
ha soluzioni in Dn se e solo se la matrice incompleta e quella completa
hanno la stessa caratteristica ρ e se il M CD dei minori di ordine ρ della matrice incom-pleta `e uguale al M CD dei minori di ordine ρ della matrice completa.
Osservazione 2.2.16 Abbiamo visto che in un dominio principale D ogni coppia di ele-menti ammette M CD. Se il dominio D `e euclideo, il M CD di due elementi a0 e a1 pu`o essere calcolato utilizzando le propriet`a dell’applicazione δ : D∗→ N.
Si hanno infatti relazioni del tipo
a0 = a1q1+ a2 con a2 = 0 oppure δ(a2) < δ(a1) a1 = a2q2+ a3 con a3 = 0 oppure δ(a3) < δ(a1)
. . . . . . . . e dopo un numero finito di passaggi deve aversi resto nullo
. . . . as−2 = as−1qs−1+ as con as = 0 oppure δ(as) < δ(as−1) as−1 = asqs
perch´e altrimenti la successione δ(a1), δ(a2), δ(a3), . . . sarebbe una successione stretta-mente decrescente in N. Allora as= M CD{a0, a1}.
Infatti, as divide as−1 e quindi anche as−2, as−3, . . . , a1, a0 e del resto ogni divisore comune ad a0 e a1 divide anche a2 per la prima relazione, e allora anche a3 per la seconda, e cos`ı via fino ad as.
Il metodo per la determinazione del M CD di una coppia di elementi di un dominio euclideo descritto sopra viene detto algoritmo euclideo.
Esercizi 2.2.17 a) In Z, calcolare M CD{6711, 831} ed esprimerlo come combinazione lineare di 6711 e 831.
b) In D = {m + in | m, n ∈ Z} determinare tutti i divisori degli elementi 2, 3+3i, 1−5i, 4+6i, 3−9i e calcolare M CD{3+3i, 1+2i}, M CD{2, 1−5i} e M CD{4+6i, 3−9i}.
c) Si considerino in D = {m + in√
- se si motiplicano entrambi per 2+i√
5 si ottengono due elementi privi di M CD.
2.3. ANELLI NOETHERIANI 49