2 | m, n ∈ Z} B = {m+in | m, n ∈ Z} C = {m+in
√
2 | m, n ∈ Z} . . . sono tutti noetheriani, essendo isomorfi A a Z[X]/(X2− 2), B a Z[X]/(X2+ 1), C a Z[X]/(X2+ 2), ...
In essi, quindi, ogni elemento `e prodotto di un numero finito di fattori irriducibili.
Esercizi 2.3.7 Sia G l’anello {m + in | m, n ∈ Z} degli interi di Gauss.
a) Dimostrare che x `e invertibile in G se e solo se x ha norma 1.
b) Dimostrare che se N (x) `e primo in Z allora x `e irriducibile in G, ma che il viceversa non `e sempre vero.
c) Sia ϕ : A → B un omomorfismo surgettivo di anelli. Dimostrare che B pu`o essere noetheriano senza che A lo sia.
d) Dimostrare che sono noetheriani i domini D = {m + in√
3 | m, n ∈ Z} e D0 = {m + in√
5 | m, n ∈ Z}
2.4 Fattorialit` a
Abbiamo visto che la scomposizione degli elementi in un numero finito di fattori irriducibili
`
e possibile nella vasta classe degli anelli noetheriani e nella ancor pi`u vasta classe degli anelli in cui le catene ascendenti di ideali principali sono finite. Ma abbiamo anche visto che la scomposizione pu`o non essere unica, e non solo per l’ordine dei fattori; gli esempi al riguardo mostrano che l’irriducibilit`a dei fattori non `e sufficiente a garantire l’unicit`a della scomposizione.
Per questa unicit`a bisogna considerare una propriet`a pi`u forte della irriducibilit`a, e cio`e la propriet`a di dividere un prodotto solo se si divide uno dei fattori.
Gli elementi che hanno questa propriet`a si dicono primi e se un elemento si scompone nel
2.4. FATTORIALIT `A 53 prodotto di elementi primi questa scomposizione `e essenzialmente unica.
E allora naturale considerare i domini fattoriali e cio`` e quelli nei quali ogni elemento ir-riducibile sia primo e studiare alcune significative condizioni sufficienti per la fattorialit`a.
Supponendo di trattare con anelli che hanno quella propriet`a, poniamo ora il problema della unicit`a di tale scomposizione. Naturalmente, per ”unicit`a” deve intendersi unicit`a a meno dell’ordine dei fattori irriducibili e di fattori invertibili; pi`u precisamente, si ha Definizione 2.4.1 Diciamo che un elemento a di un dominio D si scompone in modo essenzialmente unico nel prodotto di un numero finito di fattori irriducibili se date due tali scomposizioni
a = a1· · · an a = b1· · · bm
si ha m = n e si possono ordinare i bi in modo tale che ogni bi sia associato al corrispon-dente ai (1 ≤ i ≤ n).
Definizione 2.4.2 Il dominio D si dice fattoriale se ogni suo elemento non nullo e non invertibile si scompone in modo essenzialmente unico nel prodotto di un numero finito di fattori irriducibili.
Definizione 2.4.3 Un elemento non nullo e non invertibile p di un dominio D si dice primo se `e primo l’ideale da esso generato, cio`e se ogniqualvolta p divide un prodotto ab, allora p divide a o b.
Osservazione 2.4.4 Un elemento primo `e sempre irriducibile.
Infatti, se p = ab, p divide a o b; allora, se ad esempio a = pc, si ha p = pcb e quindi cb = 1, cio`e b `e invertibile.
Invece un elemento irriducibile pu`o non essere primo.
Ad esempio, nell’anello D = {m + in√
3 | m, n ∈ Z}, ogni elemento di norma 4 `e ir-riducibile (2.3.2), quindi ±2 e ±1 ± i√
3 sono irriducibili, ma 2 non `e primo, perch`e divide (1 + i√
3)(1 − i√
3) ma non divide nessuno dei due fattori.
Osservazione 2.4.5 Se un elemento x ∈ D∗ si scompone in un prodotto di elementi primi p1, . . . , pn e in un prodotto di elementi irriducibili q1, . . . , qm, allora
a) m = n;
b) anche q1, . . . , qm sono primi;
c) i fattori qi possono essere ordinati in modo che per ogni i = 1, . . . , n pi e qi siano associati.
Infatti, se p1· · · pn = q1· · · qm, il fattore p1 divide il prodotto q1· · · qm ed essendo primo divide uno dei fattori q1, . . . , qm; a meno di riordinare i qi, possiamo supporre che p1 divida q1, cio`e che esista c1∈ D con q1 = p1c1; ma allora, poich´e q1`e irriducibile, c1`e invertibile, cio`e p1 e q1 sono associati (e quindi anche q1 `e primo) e si ha p2· · · pn= c1q2· · · qm. Ragionando in modo analogo per p2, . . . , pn si ottiene
- se n > m, una relazione del tipo pr+1· · · pn= c1· · · cr - se n < m, una relazione del tipo 1 = c1· · · cn· · · qm+1· · · qn
entrambe assurde, perch´e gli elementi irriducibili non sono mai invertibili.
Osservazione 2.4.6 Se D `e un dominio fattoriale, ogni x ∈ D∗ appartiene solo a un numero finito di ideali principali.
Infatti, se x ∈ (y), y divide x e quindi i suoi fattori irriducibili non possono che essere, a meno di fattori invertibili, una parte di quelli di x, e quindi si ha, per l’ideale (y), solo un numero finito di possibilit`a.
Teorema 2.4.7 Il dominio D `e fattoriale se e solo se sono verificate le seguenti con-dizioni:
a) ogni catena ascendente di ideali principali `e finita;
b) ogni elemento irriducibile `e primo.
Dimostrazione Supponiamo che D sia fattoriale.
Allora non possono esistere catene ascendenti infinite di ideali principali (0) ⊂ (a1) ⊂ (a2) ⊂ · · · ⊂ (an) ⊂ . . .
perch`e altrimenti a1 apparterrebbe ad infiniti ideali principali.
Se poi p ∈ D∗`e un elemento irriducibile che divide il prodotto ab, sia pc = ab, scomponendo a, b e c in fattori irriducibili, a = a1· · · ar, b = b1· · · bs, c = c1· · · ct, si ha
p · c1· · · ct= a1· · · ar· b1· · · bs
Allora, per l’unicit`a delle scomposizioni, p `e associato a uno degli ai, e allora divide a, oppure `e associato a uno dei bi, e allora divide b.
Supponiamo, viceversa, che in D siano verificate le condizioni a) e b).
Allora ogni elemento a ∈ D si scompone nel prodotto di un numero finito di fattori irriducibili (Teor. 2.3.3) e poich´e ogni elemento irriducibile `e primo tale scomposizione `e
essenzialmente unica per l’Osserv. 2.4.5.
Ricordiamo ora la seguente
Proposizione 2.4.8 Se p `e un elemento non nullo del dominio principale D, sono fatti equivalenti
a) p `e un elemento irriducibile;
b) l’ideale (p) `e massimale;
c) l’ideale (p) `e primo;
d) p `e un elemento primo.
Dimostrazione Se p `e irriducibile e (p) ⊆ (q), q `e un divisore di p; sia p = qc; allora q `e invertibile, e quindi (q) = D, oppure c `e invertibile, e allora (p) = (q).
Ci`o prova che a) ⇒ b). Le implicazioni b) ⇒ c) ⇒ d) ⇒ a) sono ovvie. Teorema 2.4.9 Ogni dominio principale `e fattoriale.
Dimostrazione Infatti, per la Prop. 2.4.8, in un dominio principale ogni elemento ir-riducibile `e primo, e per il Teor. 2.3.4 a) esso `e noetheriano, quindi le catene ascendenti di ideali principali, come tutte le catene ascendenti di ideali, sono finite.
2.4. FATTORIALIT `A 55 Osservazione 2.4.10 Siano D un dominio fattoriale e P l’insieme dei suoi elementi primi.
Allora ogni elemento a di D pu`o essere scritto, in modo essenzialmente unico, nella forma Y
p∈P
pvp
dove i numeri naturali vp non sono nulli solo per un numero finito di p ∈ P .
Proposizione 2.4.11 Siano D un dominio fattoriale e a, b due elementi di D e siano a =Qp∈Ppvp e b =Qp∈Ppwp le scomposizioni di a e b in fattori primi.
Allora
d = Y
p∈P
pmin{vp,wp} e Y
p∈P
pmax{vp,wp}
sono rispettivamente il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di a e b.
Dimostrazione d `e un divisore sia di a che b; inoltre, se d0 `e un divisore comune ad a e b, d0 `e necessariamente del tipo Qp∈Ppzp, con z ≤ min{vp, wp}.
Analoga `e la prova relativa al minimo comune multiplo. Osservazione 2.4.12 La proposizione precedente mostra, in particolare, che in un do-minio fattoriale D ogni coppia di elementi ammette massimo comun divisore e minimo comune multiplo.
Esercizi 2.4.13 a) Dimostrare che i domini D = {m + in√
3 | m, n ∈ Z} ed E = {m + n√
10 | m, n ∈ Z}
non sono fattoriali.
b) Sia p ∈ Z un numero primo. Dimostrare che in G = {m + in | m, n ∈ Z} p si scompone nel prodotto di al pi`u due elementi primi e che se p non `e somma di due quadrati (in Z), p `e primo anche in G.
c) Siano G come sopra e x un elemento primo di G. Dimostrare che x `e un divisore (in G) di uno e un solo primo p di Z.
d) Dimostrare che gli elementi primi di G che dividono 2 in G sono, a meno di fattori invertibili, 1 − i e 1 + i.
e) Dimostrare che se x = m + in ∈ G `e un elemento primo, si ha m · n = 0 oppure M CD{m, n} = 1.
f ) Siano D un dominio fattoriale ed x, y ∈ D. Dimostrare che x ed y sono primi fra loro se e solo se per ogni coppia m, n di numeri naturali, xm ed yn sono primi fra loro.
g) Dimostrare che il dominio D = k[X, Y ]/(X3− Y2) non `e fattoriale.