Unicit` a del campo delle radici e della chiusura algebrica

• se x ∈ K, ϕ(x) = x;

• se x ∈ K⁰ \ K, siano z₁, . . . , zr le radici in K del polinomio minimo fx,k di x su k; ciascuno z_i `e della forma (f_i, n_i), con f_i ∈ k[X], n_i ∈ N ed fi(z_i) = 0; siano poi x = x₁, x₂, . . . , ..., x_s le radici di f_x,k appartenenti a K⁰ \ K; definiamo allora ϕ(x) = (fx,k, nx), scegliendo nx in modo tale che

a) nx sia diverso da tutti gli ni,

b) se i 6= j, (1 ≤ i, j ≤ s) si abbia n_xi 6= n_xj.

In sostanza, la condizione a) assicura che, se x ∈ K⁰ \ K, ϕ(x) non pu`o essere uguale a ϕ(x⁰), con x⁰ ∈ K, mentre con la condizione b) si vuole che, dati x, y ∈ K⁰ \ K e i loro corrispondenti ϕ(x) = (f, m) e ϕ(y) = (g, n), supposto che sia x 6= y,

- se x ed y non sono coniugati su k, si ha f 6= g;

- se x ed y sono coniugati su k, si ha f = g, ma m 6= n.

Quindi in ogni caso ϕ(x) 6= ϕ(y) e quindi ϕ `e iniettiva.

Trasferiamo ora, per mezzo della ϕ, la struttura di campo di K⁰ su ϕ(K⁰), poniamo cio`e, se α = ϕ(x) e β = ϕ(y),

α + β = ϕ(x + y) αβ = ϕ(xy)

E evidente che ϕ(K` <sup>0</sup>) `e allora un campo, che appartiene ad S e che contiene propriamente

K, il che contraddice la massimalit`a di K. 

Esercizi 3.5.6 a) Dimostrare che ogni campo algebricamente chiuso `e infinito.

b) Dimostrare che i seguenti campi non sono algebricamente chiusi : Q(i), Q(i,√ 2), Q(S) dove S = {i} ∪ {√

p | p ∈ N `e primo }.

c) Sia K una estensione algebrica di k. Dimostrare che due elementi di k aventi lo stesso grado su k possono non essere coniugati.

3.6 Unicit` a del campo delle radici e della chiusura algebrica

Dopo aver visto che ogni polinomio f ∈ k[X] ammette un campo di scomposizione ∆_f e che ogni campo k ammette una chiusura algebrica ¯k, ci proponiamo adesso di dimostrare che queste estensioni algebriche di k sono uniche a meno di isomorfismi che inducono l’identit`a su k.

Definizione 3.6.1 Se K e K⁰ sono due campi che contengono il campo k, un k-omomor-fismo ϕ : K → K⁰ `e un omomorfismo che lascia invariati gli elementi di k.

Un k-omomorfismo `e quindi anche un omomorfismo di k-spazi vettoriali.

Osservazione 3.6.2 Ogni omomorfismo di anelli σ : A → B si estende in modo naturale a un omomorfismo σ^∗ : A[X] → B[X] :

σ^∗(a₀+ · · · + a_nXⁿ) = σ(a₀) + · · · + σ(a_n)Xⁿ

Se σ `e un isomorfismo, anche σ<sup>∗</sup> `e un isomorfismo, e quindi f `e irriducibile in A[X] se e solo se σ<sup>∗</sup>(f ) `e irriducibile in B[X].

Proposizione 3.6.3 (Piccolo teorema di estensione) Siano σ : k → k⁰ un isomorfi-smo di campi, σ^∗: k[X] → k⁰[X] l’isomorfismo indotto, f ∈ k[X] un polinomio irriducibile, f⁰ = σ^∗(f ), x una radice di f (in una estensione K di k), x⁰ una radice di f⁰ (in una estensione K⁰ di k⁰).

Allora esiste ed `e unico un isomorfismo µ : k(x) → k<sup>0</sup>(x<sup>0</sup>) tale che µ<sub>|k</sub> = σ e µ(x) = x<sup>0</sup>. Dimostrazione Poich´e il polinomio f `e irriducibile, se f ha grado n, l’insieme {1, x, . . . , xⁿ⁻¹}

`

e una base del k-spazio vettoriale k(x) e ogni elemento di k(x) si scrive in uno e un sol modo nella forma y = a0+ a1x + · · · + an−1xⁿ⁻¹, con gli ai ∈ k.

Ma anche f⁰, che ha lo stesso grado di f , `e irriducibile e ogni elemento di k⁰(x⁰) si scrive in uno ed un sol modo nella forma b₀+ b₁x⁰+ · · · + b_n−1x⁰ⁿ⁻¹, , con i b_i ∈ k⁰.

Le condizioni µ|_k = σ e µ(x) = x⁰ forzano allora la posizione

µ(y) = µ(a0+ a1x + · · · + an−1xⁿ⁻¹) = σ(a0) + σ(a1)x⁰+ · · · + σ(an−1)x⁰ⁿ⁻¹ e da questo dipende sia l’esistenza sia l’unicit`a di µ.  Corollario 3.6.4 Se x, x⁰ ∈ K sono coniugati su k, i campi k(x) e k(x⁰) sono k-isomorfi.

Teorema 3.6.5 (Grande teorema di estensione) Siano σ : k → k⁰ un isomorfismo di campi, σ^∗ : k[X] → k⁰[X] l’isomorfismo indotto, f ∈ k[X], f⁰ = σ^∗(f ), ∆_f un campo di scomposizione di f su k, ∆_f⁰ un campo di scomposizione di f⁰ su k⁰.

Allora σ si estende a un isomorfismo ¯µ : ∆f → ∆_f⁰ che trasforma le radici di f in quelle di f⁰.

Se le radici di f sono tutte semplici, le estensioni distinte di σ a ∆_f sono [∆_f : k].

Dimostrazione Dimostriamo la prima asserzione per induzione sul grado n di f . Se n = 1, si ha ∆_f = k e non c’`e niente da dimostrare.

Supponiamo l’asserzione vera per i polinomi di grado n − 1.

Sia x una radice di f appartenente a ∆_f \ k e sia g ∈ k[X] il polinomio minimo di x su k. g `e allora un fattore irriducibile di f e quindi, se x<sup>0</sup> `e una radice in ∆_f⁰ del polinomio g⁰ = σ^∗(g), esiste, per la Prop. 3.6.3, un isomorfismo µ : k(x) → k⁰(x⁰) che estende σ.

In k(x)[X] si ha allora una scomposizione del tipo f (X) = (X − x)h(X) e in k⁰(x⁰)[X] una scomposizione f⁰(x) = (X − x⁰)h⁰(X). Abbiamo allora un k-isomorfismo µ : k(x) → k⁰(x⁰) che trasforma x in x⁰ e chiaramente h⁰(X) = µ^∗(h). Inoltre h ed h⁰ hanno grado n − 1 e

∆_f e ∆_f⁰ sono campi delle radici di h, h⁰ rispettivamente su k(x) e su k(x⁰).

Allora, per l’induzione, µ si estende a un isomorfismo ¯µ : ∆f → ∆_f⁰ che manda, oltre che x in x⁰, le radici di h in quelle di h⁰, e quindi le radici di f in quelle di f⁰.

Proviamo adesso la seconda asserzione procedendo per induzione su m = [∆_f : k].

Essa `e vera per m = 1; supponiamola vera quando [∆f : k] ≤ m − 1.

3.6. UNICIT `A DEL CAMPO DELLE RADICI E DELLA CHIUSURA ALGEBRICA83 Come per la prima parte, consideriamo una radice x di f appartenente a ∆f \ k, il suo polinomio minimo g ∈ k[X] su k e il polinomio g⁰ = σ^∗(g).

Poich´e f ha radici semplici ed esiste un k-isomorfismo di ∆_f in ∆_f⁰ che trasforma le radici di f in quelle di f⁰, anche f⁰ ha radici semplici, e allora anche g, e g⁰, hanno radici semplici.

Allora, se x⁰₁, . . . , x⁰_r sono le radici di g⁰ in ∆_f⁰, si hanno r isomorfismi µ_i : k(x) → k⁰(x⁰_i) i = 1, . . . , r ciascuno dei quali estende σ e trasforma x in x⁰_i.

Ovviamente, ∆_f e ∆_f⁰ sono campi di scomposizione di f (X) ed f⁰(X) su k(x) e k⁰(x⁰_i) rispettivamente e allora, poich´e [k(x) : k] = r > 1 e [∆f : k(x)] = ^m_r < m, per l’induzione, ogni µ_i si pu`o estendere a ∆_f esattamente in ^m_r modi diversi.

Al variare di i si ottengono allora m estensioni τ₁, . . . , τ_m di σ a ∆_f, ovviamente tutte distinte.

Per completare la dimostrazione, basta allora mostrare che se ρ : ∆_f → ∆_f⁰ `e un isomor-fismo che estende σ, ρ coincide con uno dei τ_i.

Ora, si ha

g⁰(ρ(x)) = σ(a0) + σ(a1)ρ(x) + · · · + σ(ar)ρ(x)^r = ρ(g(x)) = 0 quindi ρ(x) coincide con una delle radici x⁰₁, . . . , x⁰_r di g⁰.

Se ρ(x) = x⁰_j, per l’unicit`a di µ<sub>j</sub>, la restrizione di ρ a k(x) coincide con µ<sub>j</sub> e allora, per l’induzione, ρ coincide con una delle <sup>m</sup><sub>r</sub> estensioni di µ<sub>i</sub>, cio`e con uno dei τ_i.  Corollario 3.6.6 Due campi di scomposizione di un polinomio f ∈ k[X] su k sono k-isomorfi.

Dimostrazione Basta applicare il teorema 3.6.5 al caso k = k⁰ e σ = idk.  Corollario 3.6.7 Se f ∈ k[X] ha radici semplici, il gruppo G dei k-automorfismi di ∆_f ha ordine [∆_f : k].

Ci proponiamo ora di dimostrare l’unicit`a, a meno di k-isomorfismi, della chiusura alge-brica di un campo k.

Teorema 3.6.8 Siano k un campo, K una chiusura algebrica di k e K⁰ un campo algebri-camente chiuso. Allora ogni omomorfismo ϕ : k → K⁰ pu`o essere esteso a un omomorfismo ψ : K → K<sup>0</sup>; cio`e, se indichiamo con i l’inclusione di k in K, si ha ϕ = ψ ◦ i

Dimostrazione Se ϕ `e l’omomorfismo nullo, basta considerare l’omomorfismo nullo ψ.

Se ϕ non `e nullo, esso `e iniettivo e consideriamo l’insieme T delle terne (H, H⁰, ψ) in cui H `e un campo compreso fra k e K, H⁰ un campo compreso fra k e K⁰ e ψ : H → H⁰ un isomorfismo tale che ψ_|k = ϕ.

T non `e vuoto, perch´e (k, ϕ(k), ϕ) ∈ T .

Introduciamo in T un ordinamento parziale ”≺” ponendo

(H1, H₁⁰, ψ1) ≺ (H2, H₂⁰, ψ2) ⇔ H1⊆ H₂ e ψ2_|H1 = ψ1

T `e allora un insieme parzialmente ordinato induttivo perch´e se C = {(Hi, H<sub>i</sub><sup>0</sup>, ψi)}i∈I `e un suo sottoinsieme totalmente ordinato, H =^S_i∈I H_i, H⁰ =^S_i∈I H_i⁰, H ed H⁰ sono campi e possiamo definire un isomorfismo ψ : H → H⁰ tale che ψ_|k = ϕ ponendo ψ(x) = ψ_i(x) se x ∈ Hi.

Questa definizione `e ben posta, perch´e se x ∈ H<sub>i</sub> e x ∈ H<sub>j</sub>, con H<sub>i</sub>⊆ H<sub>j</sub> si ha ψ<sub>j|Hi</sub> = ψ<sub>i</sub>. Quindi (H, H<sup>0</sup>, ψ) `e un estremo superiore per C.

Per il Lemma di Zorn, T ha allora un elemento massimale (H₀, H₀⁰, ψ₀).

Proviamo che H0 = K.

Chiaramente, H0 ⊆ K. Sia allora x ∈ K; se x /∈ H₀, il polinomio minimo f (X) di x su H₀ e il suo trasformato f⁰(X) = ψ₀^∗(f ) in H⁰[X] hanno grado > 1.

Poich´e K⁰`e una estensione algebricamente chiusa di H₀⁰, f⁰(X) ha in K⁰almeno una radice x⁰.

Per la Prop. 3.6.3, ψ₀si estende a un isomorfismo ψ₁: H₀(x) → H₀⁰(x⁰) tale che ψ₁(x) = x⁰. Allora (H0(x), H₀⁰(x⁰), ψ1) ∈ T `e strettamente maggiore di (H0, H₀⁰, ψ0) il che contraddice

la massimalit`a di quest’ultimo. 

Corollario 3.6.9 Due chiusure algebriche K e K⁰ di un campo k sono k-isomorfe.

Dimostrazione L’inclusione i : k → K si estende a un omomorfismo iniettivo ψ₀: K → K⁰; anche ψ0(K) `e algebricamente chiuso, quindi non ammette estensioni algebriche proprie;

quindi ψ0(K) = K⁰, cio`e ψ0 `e un isomorfismo. 

Osservazione 3.6.10 `E nel senso dei Coroll. 3.6.6 e 3.6.9 che si parla del grado su k, del campo di scomposizione di un polinomio f ∈ k[X] e della chiusura algebrica di un campo k; quest’ultima viene solitamente indicata con ¯k.

Esercizi 3.6.11 a) Dimostrare che se k `e finito o numerabile la chiusura algebrica ¯k di k `e numerabile.

b) Sia k un campo tale che Q ⊆ k ⊆ R. Dimostrare che ¯k non pu`o essere isomorfo a un sottocampo di R.

c) Dimostrare che ogni k-endomorfismo di ¯k `e un automorfismo.

d) Sia K una estensione di k. Dimostrare che i k-automorfismi di K costituiscono un gruppo.

e) Siano K una estensione di k, f un elemento irriducibile di k[X], x una radice di f e σ : K → K un k-omomorfismo. Dimostrare che anche σ(x) `e una radice di f . f ) Sia K una estensione algebrica semplice di k. Dimostrare che esiste solo un numero

finito di k-automorfismi di K.

g) Siano K una estensione algebrica di k ed x, x⁰ ∈ K due elementi tali che i campi k(x) e k(x⁰) sono k-isomorfi. `E vero che x ed x⁰ sono necessariamente coniugati su k ?

h) Dimostrare che Q(√

2) e Q(√

3), isomorfi come Q-spazi vettoriali, non lo sono come campi.

3.7. ESTENSIONI NORMALI 85