ba = arb.
L’ultima relazione assicura che ogni elemento pu`o essere scritto in modo che nessun b preceda un a, e questo assicura intanto che G ha solo i 15 elementi
{1, a, a2, a3, a4, b, b2, ab, a2b, a3b, a4b, ab2, a2b2, a3b2, a4b2}
Si ha inoltre a = b3a = bar2b2 = ar3b3 = ar3, quindi r3≡ 1 mod 5, e poich´e r ∈ {1, 2, 3, 4}, si ha r = 1 e il gruppo G `e allora il gruppo C15= C3× C5.
Esercizi 4.1.21 a) Per ciascuno dei sottogruppi del gruppo S3, dire se esso `e normale o no.
b) `E vero che ogni sottofruppo H di G avente indice primo in G `e un sottogruppo normale di G ?
c) Provare che se a e b appartengono a un gruppo G, gli elementi a ed a−1 hanno lo stesso ordine e cos`ı pure gli elementi ab e ba.
d) Se am = 1 e bn = 1, con m, n ∈ N e se ab = ba, allora abr = 1 per ogni r multiplo comune ad m ed n.
Mostrare con un esempio che questo pu`o non essere vero se ab 6= ba.
e) Mostrare che la Prop. 4.1.9, e quindi la Prop. 4.1.10, sono false senza l’ipotesi di normalit`a sui sottogruppi (scegliere due sottogruppi non normali di S3).
f ) Provare che i sottogruppi di ordine 2 di S3 sono tutti coniugati, determinare il norma-lizzatore di ciascuno di essi, e verificare che la loro unione non esaurisce S3 (cfr.
Prop. 4.1.18).
g) Dimostrare che ogni gruppo commutativo di ordine pq con p e q primi distinti `e ciclico.
4.2 Gruppi di permutazioni
Definizione 4.2.1 a) Un elemento σ ∈ Sn che permuta circolarmente gli elementi i1, . . . , ir∈ {1, . . . , n} e lascia fissi gli altri si dice ciclo di ordine r o r-ciclo, e si indica con (i1. . . ir);
b) una trasposizione `e un ciclo di ordine 2;
c) due cicli (i1. . . ir) e (j1. . . jr) si dicono disgiunti se sono disgiunti gli insiemi {i1, . . . , ir} e {j1, . . . , js} degli elementi su cui essi agiscono.
Esempi 4.2.2 a) 1 2 3 4 3 2 4 1
!
= (134) = (14)(13) = (34)(14)
b) Ogni ciclo `e prodotto di trasposizioni; si ha infatti (i1. . . ir) = (i1ir)(i1ir−1) . . . (i1i3)(i1i2)
Osservazione 4.2.3 a) Se σ ∈ Sn e a ∈ {1, . . . , n}, sia k = min{r ∈ N∗ | σr(a) = a};
allora (a, σ(a), . . . , σk−1(a)) `e un k-ciclo.
b) Se σ, τ ∈ Sn sono cicli disgiunti, si ha στ = τ σ.
c) Ogni permutazione σ ∈ Sn`e prodotto di cicli disgiunti e tale prodotto `e unico a meno dell’ordine dei fattori.
Infatti, per ogni a ∈ {1, . . . , n} siano ka, Ia e σa cos`ı definiti
ka= min{r ∈ N∗ | σr(a) = a} , Ia = {a, σ(a), . . . , σka−1(a)} , σa= (a, σ(a), . . . , σka−1(a)) Se σ = σ1, la prova `e completa.
Nel caso contrario, sia a2 ∈ I/ 1 un elemento tale che σ(a2) 6= a2. Se σ = σ1σ2, la prova `e completa.
Nel caso contrario, si considera un elemento a3 ∈ I/ 1∪ Ia2 tale che σ(a3) 6= a3, e cos`ı via, fino all’esaurimento degli elementi di {1, . . . , n} coinvolti da σ.
L’unicit`a `e conseguenza immediata della costruzione.
d) Ogni permutazione σ ∈ Sn `e prodotto di trasposizioni, per c) e per l’es. 4.2.2 b);
quindi il gruppo Sn `e generato dalle trasposizioni.
e) In generale, se σ ∈ Sn `e un r-ciclo, non `e detto che lo sia anche σ2. Ad esempio, (1324)2= (12)(34)
Quindi l’insieme degli r-cicli non `e, in generale, un sottogruppo di Sn.
Osservazione 4.2.4 La relazione (abc) = (ac)(ab) non contraddice quanto asserito nell’Osserv.
precedente b), perch´e i cicli (ac) e (ab) non sono disgiunti.
Analoga considerazione vale per la relazione (ad)(ac)(ab) = (ab)(bc)(cd).
Abbiamo visto che una permutazione `e sempre prodotto di trasposizioni, ma pu`o esserlo in modi anche molto diversi :
(123) = (13)(12) = (21)(23) = (12)(12)(32)(31) = (31)(32)(13)(12)(32)(31) = . . . (1234) = (14)(13)(12) = (14)(14)(14)(13)(12) = (23)(21)(13)(12)(14)(13)(12) = . . . Osserviamo che nel primo caso i numeri dei fattori sono 2, 2, 4, 6, ... e cio`e sempre numeri pari, mentre nel secondo i numeri dei fattori sono 3, 5, 7, ... e cio`e sempre numeri dispari Questo fatto non `e casuale, perch´e se una permutazione σ si pu`o scrivere come prodotto di un numero pari di trasposizioni, ogni altra scrittura conterr`a necessariamente un numero pari di trasposizioni; se invece σ si pu`o scrivere come prodotto di un numero dispari di trasposizioni, ogni altra scrittura conterr`a necessariamente un numero dispari di traspo-sizioni.
E quanto dimostra il prossimo Teor. 4.2.7, cui premettiamo la`
Definizione 4.2.5 Se 1 6= σ ∈ Sn, σ = σ1. . . σp `e la sua scomposizione nel prodotto di cicli disgiunti e ki `e l’ordine di σi, (i = 1, . . . , p), poniamo
I(σ) = (k1− 1) + (k2− 1) + · · · + (kp− 1) = k1+ k2+ · · · + kp− p Se σ = 1, poniamo I(σ) = 0.
L’intero I(σ) si dice l’indice di σ.
4.2. GRUPPI DI PERMUTAZIONI 101 Osservazione 4.2.6 Segue subito dalla definizione che
a) se σ `e una trasposizione, I(σ) = 1;
b) se σ1 e σ2 sono due cicli disgiunti si ha I(σ1σ2) = I(σ1) + I(σ2).
Teorema 4.2.7 Se σ ∈ Sn e σ = τ1. . . τk, con τ1, . . . , τk trasposizioni, allora I(σ) e k hanno la stessa parit`a, cio`e sono entrambi pari o entrambi dispari.
Dimostrazione Siano σ = σ1. . . σp la scomposizione di σ nel prodotto di cicli disgiunti, ri
l’ordine di σi(i = 1, . . . , p) e (ab) una trasposizione.
Se (ab) `e disgiunta da σ, si ha I((ab)σ) = 2 + r1+ · · · + rp− (p + 1) = I(σ) + 1.
Se (ab) non `e disgiunta da σ, si pu`o supporre che a sia il primo elemento di σ1, e allora
◦ se anche b appartiene a σ1, questa `e del tipo (ax1. . . xrby1. . . ys), (r + s + 2 = r1), e poich´e
(ab)(ax1. . . xrby1. . . ys) = (ax1. . . xr)(by1. . . ys)
si ha I((ab)σ) = r + 1 + s + 1 + r2+ · · · + rp− (p + 1) = r1+ · · · + rp− p − 1 = I(σ) − 1.
◦ se b appartiene a un σi 6= σ1, si pu`o supporre che b sia il primo elemento di σ2 e allora, poich´e
(ab)(ax2. . . xr1)(by2. . . yr2) = (ax2. . . xr1by2. . . yr2)
si ha I((ab)σ) = r1+ r2+ r3+ · · · + rp− (p − 1) = r1+ · · · + rp− p + 1 = I(σ) + 1
◦ se b non appartiene al alcun σi, poich´e
(ab)(ax2. . . xr1) = (ax2. . . xr1b)
si ha I((ab)σ) = r1+ 1 + r2+ · · · + rp− p = r1+ · · · + rp− p + 1 = I(σ) + 1 In tutti i casi si ha allora I((ab)σ) = I(σ) ± 1.
Ne segue che
0 = I(1) = I(τk. . . τ1σ) = {1 + · · · + 1} + {(−1) + · · · + (−1)} + I(σ) dove la prima parentesi graffa contiene m addendi e la seconda ne contiene q.
Si osservi ora che q − m = I(σ) e q + m = k e che quindi I(σ) + k = 2q `e pari, il che dimostra che I(σ) e k sono entrambi pari o entrambi dispari. Definizione 4.2.8 Per il Teor. 4.2.7, una permutazione σ ∈ Sn `e prodotto di un numero pari di trasposizioni, e allora si dice di classe pari, o di un numero dispari di trasposizioni, e allora si dice di classe dispari.
Le permutazioni di classe pari costituiscono un sottogruppo di Sn che si indica con An e si dice il sottogruppo alterno di Sn.
L’ordine di An`e ovviamente la met`a di quello di Sne quindi `e n!2. Allora l’indice di Anin Sn`e 2 e si ha quindi la
Proposizione 4.2.9 Per ogni n ∈ N∗, An `e un sottogruppo normale di Sn. Osservazione 4.2.10 L’omomorfismo iniettivo ϕn: Sn→ Sn+1 definito da
ϕn(σ) = 1 2 · · · n n + 1
σ(1) σ(2) · · · σ(n) n + 1
!
non altera la classe della permutazione σ, quindi ϕn(An) ⊆ An+1. Ora, A4 non `e commutativo, perch´e ad esempio
(123)(234) = (12)(34) (234)(123) = (13)(24) quindi per n ≥ 4 An non `e mai commutativo.
Osservazione 4.2.11 Un r-ciclo `e una permutazione di classe pari, e quindi appartiene ad An, se e solo se r `e dispari.
Proposizione 4.2.12 Se n ≥ 3, An `e generato dall’insieme dei 3-cicli.
Dimostrazione Per l’Osserv. 4.2.11, ogni 3-ciclo `e una permutazione di classe pari. Inoltre, ogni σ ∈ An`e prodotto di un numero pari di trasposizioni, quindi basta dimostrare che il prodotto di due trasposizioni `e sempre il prodotto di due 3-cicli, il che segue dalle relazioni
(ab)(bc) = (abc) (ab)(cd) = (ab)(bc)(bc)(cd) = (abc)(bcd)
La parte conclusiva di questo paragrafo `e dedicata alla dimostrazione di alcune propriet`a di Anche verranno utilizzate per dimostrare che la generica equazione di grado n ≥ 5 non ammette una formula risolutiva per radicali.
Definizione 4.2.13 Un sottogruppo H di Sn si dice transitivo se, dati comunque i, j ∈ {1, . . . , n}, esiste σ ∈ H tale che σ(i) = j.
Proposizione 4.2.14 Siano p un numero primo ed H un sottogruppo transitivo di Sp. Allora, se H contiene una trasposizione, si ha H = Sp.
Dimostrazione Siano (i1i2) ∈ H ed (i1i2), . . . , (i1im) tutte le trasposizioni che apparten-gono ad H e che agiscono su i1; risulta allora
(iqir) = (i1iq)(i1ir)(i1iq) ∈ H per q, r = 1, 2, . . . , m
cio`e, se p = m, H contiene tutte le trasposizioni; ma queste generano l’intero Sp, quindi H = Sp.
Mostriamo che non pu`o essere m < p.
Supponiamo che esista j1 ∈ {1, . . . , p} con j1 ∈ {i/ 1, . . . , im} e sia σ ∈ H una permutazione tale che σ(i1) = j1. Allora σ(i1), . . . , σ(im) /∈ {i1, . . . , im} perch´e se per esempio σ(ir) = is, con r ≤ m, si avrebbe (i1ir) ∈ H e quindi
σ(i1ir)σ−1= (j1is) ∈ H
4.2. GRUPPI DI PERMUTAZIONI 103 ma allora
(i1j1) = (i1is)(j1is)(i1is) ∈ H e questo `e assurdo perch´e j1∈ {i/ 1, . . . , im}.
Dunque deve essere 2m ≤ p e poich´e p `e primo 2m < p.
Possiamo allora ripetere il ragionamento e trovare 3m < p.
Allora il procedimento pu`o essere ripetuto all’infinito e questo `e assurdo. Lemma 4.2.15 Sia N un sottogruppo non banale di Sn. Allora, se σ `e un elemento di N \ {1} che sposta il numero minimo di elementi di {1, . . . , n}, i fattori che compaiono nella scomposizioni di σ in cicli disgiunti hanno tutti lo stesso ordine.
Dimostrazione Sia σ = σ1. . . σm la scomposizione di σ nel prodotto di cicli disgiunti.
Se σ1 ha ordine r e σ2 ha ordine s > r (si ricordi che i cicli disgiunti commutano fra loro) (Osserv. 4.2.3 b)), si ha σr ∈ N \ {1} e σr sposta meno elementi di σ (non sposta pi`u
quelli spostati da σ1) e questo `e assurdo.
Lemma 4.2.16 Sia n ≥ 5 e sia N un sottogruppo normale non banale di An. Allora a) se N contiene un elemento nella cui scomposizione in prodotto di cicli disgiunti
compare un ciclo di lunghezza maggiore di 3, N contiene un 3-ciclo;
b) se N contiene il prodotto di due trasposizioni distinte, N contiene un 3-ciclo.
Dimostrazione
a) Sia τ = (a1. . . ar)τ2. . . τm la scomposizione di τ ∈ N in prodotto di cicli disgiunti e supponiamo che sia r > 3.
Poniamo allora σ = (ar−2ar−1ar) e ρ = τ−1σ−1τ σ. Poich´e σ ∈ An, σ−1τ σ ∈ N e quindi ρ ∈ N . Si verifica poi senza difficolt`a che ρ = (ar−3ar−1ar).
b) Se τ = (ab)(cd) ∈ N , si ha τ 6= 1, perch`e (ab) 6= (cd). Allora, poich`e n ≥ 5, esiste almeno un elemento e ∈ {1, . . . , n} che τ non sposta. Allora, se σ = (cde) e ρ = τ−1σ−1τ σ, si ha, come sopra, ρ ∈ N e ρ = (ced).
Lemma 4.2.17 Siano n ≥ 5 ed N un sottogruppo normale non banale di An. Allora N contiene un 3-ciclo.
Dimostrazione Sia τ ∈ N \ {1} un elemento che sposta il numero minimo di elementi di {1, . . . , n} e sia τ = τ1. . . τm la scomposizione di τ nel prodotto di cicli disgiunti.
Allora, per il Lemma 4.2.15, tutti i τi hanno lo stesso ordine r.
Se r > 3, la tesi segue dal Lemma 4.2.16 a).
Se r = 3, supponiamo che sia m ≥ 2 (altrimenti la tesi `e ovvia).
Siano τ = (abc)(def ) . . . e σ = (abcde). Allora σ ∈ An per l’Osserv. 4.2.11, e quindi σ−1τ σ ∈ N ; ne segue che (bdecf ) = τ−1σ−1τ σ ∈ N e la tesi segue dal Lemma 4.2.16 a).
Se r = 2, si ha m ≥ 2, perch´e τ `e di classe pari. Siano τ = (ab)(cd)(ef ) . . . e σ = (abc).
Allora (ad)(bc) = τ−1σ−1τ σ ∈ N e la tesi segue dal Lemma 4.2.16 b).
Proposizione 4.2.18 Se n ≥ 5, An non ha sottogruppi normali propri non banali.
Dimostrazione Siano N un sottogruppo normale proprio non banale di An, (abc) ∈ N un 3-ciclo e sia (αβγ) un qualsiasi 3-ciclo. Allora, se π `e una qualsiasi permutazione di {1, . . . , n} del tipo
α β γ δ . . . a b c d e . . .
!
essendo n ≥ 5, a meno di scambiare d con e si pu`o supporre che π sia di classe pari.
E allora (αβγ) = π−1(abc)π ∈ N . Ne segue, per la Prop. 4.2.12, che N = An, Esercizi 4.2.19 a) Se σ `e un r-ciclo, si ha σs= 1 ⇔ s `e multiplo di r.
b) Se σ `e un r-ciclo e p `e primo con r, anche σp`e un r-ciclo. In particolare, σr−1 = σ−1
`e un r-ciclo, quindi il sottogruppo di Sn generato dagli r-cicli `e l’insieme di tutti i prodotti finiti di r-cicli.
c) Dimostrare che tutte le trasposizioni di Sn sono coniugate fra loro.
d) Sia G ⊆ Sn un sottogruppo di ordine m. Dimostrare che le permutazioni di classe pari appartenenti a G sono m oppure m2.
e) Le simmetrie di un poligono regolare P di n ≥ 3 lati formano un gruppo G di ordine 2n. Detti 1, 2, . . . , n i vertici di P , a ogni elemento di G corrisponde una permutazione di {1, . . . , n}. Dimostrare che G `e generato dalla rotazione
a = 1 2 3 . . . n − 1 n
2 3 4 . . . n 1
!
e dalla riflessione
a = 1 2 3 . . . n − 1 n
1 n n − 1 . . . 3 2
!
per le quali si hanno le relazioni an= 1, b2 = 1, ba = a−1b.
f ) Scrivere come prodotti di cicli disgiunti le permutazioni 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 6 9 7 2 5 8 1 3
!
, 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1
!
, 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 1 8 6 7
!
e calcolarne l’indice.
g) Provare che Sn `e generato dalle trasposizioni (12), (23), . . . , (n − 1, n).
h) Provare che Sn `e generato dal ciclo σ = (12 . . . n) e dalla trasposizione (12).
(Considerare le permutazioni σrτ σ−r per r = 0, 1, . . . , n − 1).
i) Determinare tutti i sottogruppi di ordine 4 di S4, distinguendo quelli transitivi da quelli intransitivi. `E vero che essi sono tutti coniugati ?