Gli unit root tests

Andiamo ad eseguire adesso delle procedure rigorose per sottoporre a verifica l‟ipotesi che una serie storica, che ammette una rappresentazione autoregressiva, contenga una o più radici unitarie. A questo scopo proponiamo tre tipologie di tests: gli Augmented Dickey-Fuller tests (ADF tests), i Phillips-

Perron tests e i KPSS tests. Tali tests sottopongono a verifica un‟ipotesi nulla

l‟una l‟opposto dell‟altra: infatti, gli ADF tests e i i Phillips-Perron tests considerano come ipotesi nulla la presenza di una o più radici unitarie all‟interno del processo stocastico (per essi l‟ipotesi nulla è costituita dalla non stazionarietà di natura stocastica), mentre i KPSS tests considerano come ipotesi nulla l‟assenza di radici unitarie (per essi l‟ipotesi nulla è costituita dalla stazionarietà o dalla trend stationarity).

Il Dickey-Fuller test (DF test), dal nome dei due studiosi che per primi lo proposero (Dickey e Fuller (1979)), verifica la presenza di una radice unitaria in serie storiche che sono generate da processi AR(1). Se ad esempio si considera un processo del tipo:

dove i disturbi stocastici sono indipendenti e con media nulla, come abbiamo avuto già modo di vedere, la condizione necessaria perché il processo non sia oggetto a stazionarietà di natura stocastica è | | , viceversa, se è allora tale processo risulta integrato di ordine 1. Il test pone quindi come ipotesi nulla la condizione , contro l‟ipotesi alternativa | | .

Il Dickey-Fuller test così descritto, è però valido solo se la serie segue un processo AR(1). Se invece la serie segue un processo autoregressivo di ordine superiore, il test viene corretto, assumendo che segua un processo AR( ) e, in questo caso, prende il nome di Augmented Dickey-Fuller (ADF) test. In questo caso quindi avremo un modello del tipo:

∑

E la condizione necessaria perché il processo non contenga un trend stocastico è |∑ | . L‟ipotesi nulla del test, quindi, è ∑ e l‟ipotesi alternativa è ∑ . Infine, il test Augmented Dickey-Fuller può essere implementato attraverso una riparametrizzazione dell‟espressione precedente, che si ottiene sottraendo a entrambi i membri e sommando ∑ (∑ ) al membro destro; in questo modo, dopo alcuni semplici passaggi algebrici, il modello diventa:

∑

dove è ( ∑ ) e ∑ . L‟ipotesi nulla ∑ e l‟ipotesi alternativa ∑ possono essere così riformulate rispettivamente come e ; il test allora consiste nel calcolare il t-ratio ̂ ⁄ ̂_̂ per verificare se ̂ è significativamente diverso da zero. In questo caso (ossia quando l‟ipotesi nulla è che il processo sia integrato di ordine maggiore o uguale a 1) i valori critici non seguono la distribuzione

standard (la t di Student), ma una distribuzione asimmetrica a destra, di modo

che i valori critici risultano più negativi rispetto alla t di Student e, quindi, meno inclini a rifiutare l‟ipotesi nulla. I critical values asintotici sono gli stessi indipendentemente dal numero di augmentations, tuttavia differiscono a seconda del nucleo deterministico del modello che si sottopone a test. Nel nostro caso abbiamo deciso di sottoporre a verifiche tutti e tre i casi, rispettivamente senza nucleo deterministico, con sola costante e con costante e trend deterministico.

Tabella 2 - Augmented Dickey-Fuller tests per variabili in livelli e in differenze; i valori critici per i rispettivi livelli di confidenza – 1% e 5% - sono riportati in basso nelle colonne a cui essi si riferiscono.

None Intercept Trend and Intercept

Variables in log-levels

LnP 2.174285 -1.900375 -1.668596

LnFwE 1.94722 -0.756156 -3.397283

LnY -1.831573 -0.458645 -3.307303

Variables in first differences

DLnP -17.95527 -18.23347 -18.30506 DLnFwE -5.813524 -6.200419 -6.190727 DLnY -13.15763 -13.3187 -13.32086 1% -2.57 -3.44 -3.98 5% -1.94 -2.87 -3.42 Critical value ADF

Per quanto riguarda la scelta degli augmentantions abbiamo utilizzato il criterio automatico del software Eviews che si basa sul Schwarz Information Criterion, il quale ha fissato a 16 il numero massimo di lags per ciascun modello.

I risultati dell‟applicazione di questi test alle tre serie storiche in livelli e alle loro differenze prime sono riportati nella Tabella 2. Come possiamo vedere gli ADF

tests non permettono di rifiutare (ad un livello di significatività del 5% e

dell‟1%) la presenza di una radice unitaria in tutte le serie espresse nei livelli, qualunque sia il nucleo deterministico del modello sottostante. Al contempo, i

tests applicati alle differenze prime presentano una situazione opposta: -

qualunque sia il nucleo deterministico sottostante – per tutte le variabili gli ADF

tests rifiutano la presenza di almeno una radice unitaria. Pertanto, le differenze

prime di tutte e tre le variabili – prezzi, utili attesi e tassi di interesse – sono processi ( ) e, quindi, le variabili in liveli sono processi ( )

Phillips-Perron Test

Il test di Phillips-Perron (PP test) (Phillips and Perron (1987)), è un test statistico non parametrico per la verifica dell‟ipotesi nulla di radice unitaria che esplicitamente permette dipendenza debole ed eteroschedasticità nel processo di errore. Il vantaggio di questo test e quello di eliminare i parametri di disturbo presenti nella statistica DF nel caso il processo d‟errore non soddisfi le assunzioni di indipendenza e di identica distribuzione. La correzione al test t è di tipo non parametrico poiché si usa una stima dello spettro del termine di errore a frequenza zero. In tal modo si ottiene un test più robusto rispetto al problema dell‟eteroschedasticità della serie e per forme di autocorrelazione non perfettamente identificabili. Il test di Phillips-Perron assume la seguente relazione formale:

( ) ( )( ( ̂ ))

dove ̂ è stimato, è il t-raio di ̂ , ( ̂ ) è la deviazione standard di ̂ , e è lo standard error della test regression. Infine è una stima consistente

dell‟errore nella varianza nell‟equazione DF (calcolata come ( ) , dove è il numero dei regressori); è una stima dello spettro del termine di errore a frequenza zero. Anche in questo caso abbiamo deciso di sottoporre a verifica un modello che considera l‟assenza di nucleo deterministico, la sola costante e con costante e trend deterministico. Riguardo alla scelta per la dimensione della finestra utilizzata per il livellamento di Barlett è stata fissata in automatico dal

sofware Eviews sulla base del criterio Newey-West.

Tabella 3- Phillips-Perron tests per variabili in livelli e in differenze; i valori critici per i rispettivi livelli di confidenza – 1% e 5% - sono riportati in basso nelle colonne a cui essi si riferiscono.

I risultati del PP tests sono riportati nella Tabella 3: essi confermano quanto già detto riguardo ai ADF tests; ossia, da un lato, non è possibile rifiutare l‟ipotesi nulla di radice unitaria per tutte e tre le serie storiche in livelli, qualunque sia il nucleo deterministico sottostante al modello, e dall‟altro, le differenze prime rifiutano la radice presenza di radice unitaria nel caso assenza di nucleo deterministico, costante e costante con trend. Possiamo affermare pertanto, che

None Intercept Trend and Intercept

Variables in log-levels

LnP 2.118475 -1.896777 -1.703875

LnFwE 2.692649 -0.776684 -2.676894

LnY -1.899888 -0.308509 -2.889005

Variables in first differences

DLnP -18.01751 -18.23796 -18.30519 DLnFwE -7.414728 -7.929229 -7.916034 DLnY -13.89458 -13.99436 -13.9761 1% -2.57 -3.44 -3.98 5% -1.94 -2.87 -3.42

PP

alla luce dei PP tests, le differenze prime delle tre serie storiche sono processi ( ), e quindi, prezzi, utili attesi e tassi di interesso sono processi ( ).

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, and Shin Test

Infine presentiamo un test di stazionarietà, dopo gli ultimi due test di radice unitaria. In particolare Kwiatkowski et al. (1992), d‟ora in poi KPSS, hanno proposto un test in cui in questo test l‟ipotesi nulla è costituita dalla stazionarietà o dalla trend stationarity, mentre l‟ipotesi alternativa è costituita dalla presenza di almeno una radice unitaria. L‟idea alla base del test è quella di considerare il processo come somma di una componente deterministica, di un trend stocastico e di un processo stazionario. Il test si fonda sul fatto che, sotto l‟ipotesi nulla (sia quella di stazionarietà, sia quella di trend stationarity), la varianza del trend stocastico deve essere nulla. il test è calcolato come un Lagrange Multiplier (LM) test: per prima cosa si regredisce su una costante, o su una costante più un trend, a seconda dell‟ipotesi di stazionarietà che si vuole verificare; successivamente si calcolano le somme parziali dei residui di regressione come:

∑ ̂

la statistica test si ottiene da

∑ ̂

Dove ̂ è la stima della varianza degli errori della regressione ausiliare. Kwiatkowski et al. Suggeriscono di usare una finestra di Barlett, ( ) ( ) come funzione dei pesi ottimale per stimare la varianza degli errori, una cui stima, insieme ai valori critici per la statistica test, si può trovare in Kwiatkowski et al. (1992). Allo stesso modo dei PP tests, anche in questo caso, alla scelta per la dimensione della finestra utilizzata per il livellamento di Barlett è stata fissata in automatico dal sofware Eviews sulla base del criterio Newey-

Di seguito, nella Tabella 4 tests sono riportati i risultati dei KPSS. Come passiamo vedere i tests rifiutano (ad un livello di significatività rispettivamente del 5% e dell‟1%) sia l‟ipotesi di stazionarietà che quella di trend stationary per tutte le variabili espresse in livelli; mentre riguardo alle variabili in differenze, invece, i KPSS tests non rifiutano l‟ipotesi di stazionarietà, oltre a quella di trend

stationary .

Tabella 4- Kwiatkowski, Phillips, Schmidt and Shin tests per variabili in livelli e in differenze; i valori critici per i rispettivi livelli di confidenza – 1% e 5% - sono riportati in basso nelle colonne a cui essi si riferiscono.

Alla luce di tutti questi tests e dei risultati tra loro uniformi, possiamo quindi concludere con ragionevole sicurezza che le serie prezzi, utili attesi e tassi di interesse sono tutti processi sono processi integrati di ordine uno.

Intercept Trend and Intercept Variables in log-levels

LnP 1.916101 0.412287

LnFwE 2.125075 0.259666

LnY 1.997 0.304498

Variables in first differences

DLnP 0.234623 0.049576 DLnFwE 0.038109 0.03231 DLnY 0.097688 0.05841 1% 0.739 0.216 5% 0.463 0.146 Critical value

KPSS