La scelta del numero dei ritardi

In questo paragrafo andremo a determinare il numero di ritari da includere nel VAR model sulla base di alcuni criteri che illustreremo via di seguito; in particolare andremo a calcolare gli information criteria e i tests per la riduzione dei lags. Sulla base di questi criteri sceglieremo il numero di ritardi da inserire nel modello. Prima di ciò, tuttavia è opportuno precisare che quando si procede alla stima di un modello vettoriale la prassi utilizzata frequentemente è quella

general to specific, ossia partire da un VAR model con un elevato numero di

ritardi per poi scendere ad un modello più parsimonioso, il quale deve comunque mantenere delle buone capacità inferenziali. Questo criterio si applica a maggior ragione quando la stima del VAR model costituisce solo la base per le successive analisi, come ad esempio per l‟implementazione di modelli Markov Switching. Tuttavia, nel nostro caso ci fermeremo alla stima della relazione di cointegrazione, se esiste, e alla verifica di ipotesi sui coefficienti del vettore di tale relazione, pertanto, possiamo rinunciare ad un criterio di eccessiva parsimonia, previlegiando la bontà inferenziale. Infine, considerando la frequenza mensile dei dati riteniamo sufficiente condurre la procedura general to

specific a partire da un VAR (12) in modo che l‟arco temporale coperto risulti

essere almeno di un anno.

Passiamo adesso ad illustrare brevemente le metodologie impiegate. Per quanto riguarda gli information criteria, essi sono utilizzati per confrontare modelli alternativi che siano accettabili da un punto di vista statistico. In particolare, gli

information criteria cercano di ovviare al problema della likelihooh function, la

likelihooh function. Differentemente, gli information criteria, sono composti da

due addendi: uno che tiene conto della bontà della stima e uno che tiene conto della parsimonia. Il primo addendo è costituito dal logaritmo del determinante delle matrice delle varianze e covarianze | ̂|: per cui maggiore è la goodness

of fit, minore risulterà | ̂|. Il secondo addendo, invece, tende a correggere al

rialzo il primo in funzione del numero di parametri del modello. Inoltre tale addendo cambia a seconda del criterio utilizzato, in particolare i tre information

criteria sono così definiti:

| ̂|

| ̂| ( )

| ̂|

dove sono il numero di lags, il numero delle variabili endogene (e, quindi, è il numero di parametri nel modello) e T il numero di osservazioni; e dove AIC sta per Akaike Information Criterion, HQIC sta per Hannan-Quinn

Information Criterion e SIC per Schwartz Information Criterion. In tutti e tre i

casi, il modello prescelto da un determinato criterio risulterà essere quello che minimizza l‟information criterion.

L‟altra metodologia che utilizzeremo è costituita dai tests per la riduzione dei ritardi, ossia tests che determinano la significatività complessiva dei coefficienti che si escludono passando da un modello VAR ( ) a un modello VAR ( ), con . Tali test sono calcolati come dei F-tests dove il modello non vincolato è costituito dal VAR ( ) e il modello vincolato dal VAR ( ). La test statistic viene calcolata come un tradizionale F-test per la verifica di ipotesi congiunte sui parametri di un modello, ossia:

( ) [( ) ⁄ ] ( ) [ ( ( ) )]⁄

dove è la misura della goodness of fit del modello non vincolato (unrestricted) e la misura della goodness of fit del modello vincolato (restricted); ( ) è il numero di restrictions che si impone passando dal VAR ( ) non vincolato a VAR ( ) vincolato; ( ) il numero di regressori di un‟equazione del modello VAR ( ) ; e con ( ( ) ) la differenza tra il numero di osservazioni ed il numero dei regressori di ciascuna equazione del modello non vincolato. L‟ipotesi nulla pone che matrici di dimensione (k ) siano nulle. Pertanto, preferiremo il modello VAR ( ) al modello VAR ( ), solo se i coefficienti che perdiamo nel ridurre il numero di ritardi non sono significativi nel loro complesso; viceversa, il rifiuto dell‟ipotesi nulla implica che tali coefficienti nel complesso sono significativamente diversi da zero.

Dopo aver descritto le metodologie utilizzate, passiamo adesso a commentare i risultati riportati nelle tabelle di seguito. Con riguardo alla Tabella 5 possiamo notare come la log-likelihood function privilegi sempre il modello più generale, senza tener conto affatto della parsimonia. In modo del tutto opposto gli

information criteria individuano modelli nettamente meno parametrizzati: in

particolare Akaike Information Criterion e Hannan-Quinn Information Criterion scelgono un VAR (4), mentre Schwartz Information Criterion scende fino ad un VAR (2). Tuttavia, possiamo in via preliminare escludere come nostra scelta quest‟ultimo modello, in quanto riteniamo che il criterio SC attribuisca troppo peso alla parsimonia; pertanto, per adesso consideriamo come modello migliore il VAR (4) selezionato rispettivamente da AIC e HQ.

L‟osservazione della Tabella 6, avalla la nostra scelta preliminare , in quanto come è possibile vedere dai lag reduction test, il VAR (4) risulta preferito sial al VAR (3) sia al VAR (2) ad un livello di significatività dell‟1%. Ciò si evince anche dal fatto che il VAR (4) pare essere il modello sotto il quale non è possibile scendere; ossia, in tutti i casi con un numero minore di ritardi si perviene al rifiuto dell‟ipotesi nulla – il che implica che i coefficienti nel complesso sono significativi -.

Tabella 5- Information criteria per la determinazione della lunghezza dei ritardi

Tabella 6 – F-tests per la determinazione della lunghezza dei ritardi

Model T K Log-likelihooh SC HQ AIC

VAR(12) 238 111 1723.4108 -11.93 -12.897 -13.55 VAR(11) 238 102 1715.8062 -12.073 -12.962 -13.561 VAR(10) 238 93 1710.0446 -12.232 -13.042 -13.589 VAR(9) 238 84 1700.3444 -12.357 -13.089 -13.583 VAR(8) 238 75 1693.6049 -12.508 -13.161 -13.602 VAR(7) 238 66 1685.5741 -12.647 -13.222 -13.61 VAR(6) 238 57 1679.0509 -12.799 -13.296 -13.631 VAR(5) 238 48 1676.0094 -12.98 -13.399 -13.681 VAR(4) 238 39 1672.7608 -13.16 -13.500* -13.729* VAR(3) 238 30 1654.239 -13.211 -13.473 -13.649 VAR(2) 238 21 1631.1132 -13.224* -13.407 -13.53 VAR(1) 238 12 1575.9351 -12.967 -13.072 -13.142 VAR(12) --> VAR(11) F(9,484) = 1.4321 [0.1713] VAR(11) --> VAR(10) F(9,491) = 1.0979 [0.3626] VAR(10) --> VAR(9) F(9,499) = 1.8887 [0.0514] VAR(9) --> VAR(8) F(9,506) = 1.3246 [0.2210] VAR(8) --> VAR(7) F(9,513) = 1.6048 [0.1107] VAR(7) --> VAR(6) F(9,520) = 1.3186 [0.2241] VAR(6) --> VAR(5) F(9,528) = 0.61968 [0.7807] VAR(6) --> VAR(3) F(27,634)= 1.7388 [0.0122]* VAR(5) --> VAR(4) F(9,535) = 0.67126 [0.7352] VAR(5) --> VAR(3) F(18,622)= 2.3117 [0.0016]** VAR(4) --> VAR(3) F(9,542) = 3.9836 [0.0001]** VAR(4) --> VAR(2) F(18,631)= 4.6191 [0.0000]** VAR(3) --> VAR(2) F(9,550) = 5.0815 [0.0000]** VAR(2) --> VAR(1) F(9,557) = 13.000 [0.0000]** VAR(3) --> VAR(2) F(9,550) = 5.0815 [0.0000]** VAR(2) --> VAR(1) F(9,557) = 13.000 [0.0000]**

In sintesi, la scelta dovrebbe ricadere sulla modellazione di un VAR (4); tuttavia a questo punto dobbiamo fare due considerazioni. In primo luogo, come abbiamo precedentemente accennato, non è nostro scopo utilizzare un modello troppo parsimonioso, il quale ridurrebbe la capacità inferenziale, ma piuttosto, tendiamo a pesare maggiormente la bontà delle stime ottenute – il che ci porta a valutare anche modelli con un numero maggiore di 4 ritardi -. In secondo luogo, dobbiamo considerare che la condizione necessaria, affinché il modello sia specificato correttamente, è che i residui del VAR model non soffrano di autocorrelazione.