Passiamo quindi a considerare alcuni processi stocastici non stazionari. A livello statistico un processo non stazionario può essere definito come un processo la cui dinamica viola le condizioni di stazionarietà, ovvero i suoi momenti, rispettivamente primo e secondo non sono indipendenti dal tempo. Una delle principali cause di non stazionarietà è la presenza di un trend, ovvero di un movimento persistente di lungo periodo di una variabile nel corso del tempo. In ambito economico si incontrano generalmente due tipi di trend:
1. Trend deterministico 2. Trend stocastico
Un trend deterministico è descritto da una funzione deterministica (non aleatoria) del tempo f(t). Se la funzione f(t) è lineare il trend sarà del tipo:
( )
Un trend di tipo deterministico è quindi completamente “prevedibile” una volta noti i coefficienti che lo specificano. In generale, i modelli con tale trend sono del tipo:
( )
composti cioè da f(t), funzione deterministica, e da una componente che possiamo assumere come processo autoregressivo stazionario, , dove è | | e ( ). Tale processo stocastico è non stazionario in senso debole, perché già il suo momento primo dipende dall‟istante temporale t; infatti abbiamo che:
( ) ( )
Tuttavia processi di questo tipo possono essere resi stazionari sottraendo alla serie il trend deterministico ; possiamo vedere come ̃ sia un processo stazionario, poiché esso è:
̃
ovvero, la somma di una costante e di un processo stazionario. In definitiva, la non stazionarietà di un processo trend stationary è di natura deterministica, poiché essa non è dovuta alla componente stocastica del processo, bensì a al
trend deterministico.
Nella seconda tipologia di trend invece, la componente di fondo varia nel tempo in maniera aleatoria e quindi non completamente prevedibile; si può pensare ad un trend stocastico come la somma della serie dei valori di un processo white
stocastici ai diversi istanti temporali, e tale accumulazione degli shock, dà luogo a realizzazioni del processo erratiche tipiche dei processi integrati.
Un esempio di processo che contiene in sé un trend stocastico è il processo
random walk:
esso è uguale alla somma del suo valore all‟istante temporale precedente (ossia t- 1) e di un processo white noise; può essere anche visto come un processo AR(1) con coefficiente unitario e costante nulla, allora- procedendo per sostituzioni ricorsive- abbiamo che:
∑
Tale processo stocastico è non stazionario in senso debole, si dimostra infatti che i suoi momenti secondi non sono indipendenti dall‟istante temporale t; si ha infatti che: ( ) *(∑ ( ) ) + ∑ ( ) ( ) [(∑ ( ) ) (∑ ( ) )] ∑ ( ) ( )
Un random walk è un processo non stazionario perché ha una radice unitaria (unit root), ovvero la characteristic equation associata al suo lag polynomial ha una radice pari ad 1; infatti, poiché P(L)=1-L. risulta che:
( )
Pertanto, il lag polynomial di un processo random walk non è invertibile.
I processi stocastici non stazionari che hanno almeno una radice unitaria sono processi stazionari in differenza. Un processo stazionario in differenza (DS,
trasformato in un processo stazionario dopo che gli è stato applicato, per un certo numero di volte, il filtro lineare .
Un processo è composto da un nucleo deterministico (che può anche essere assente) e una componente stocastica non stazionaria, ossia:
dove, oltre agli elementi già definiti in precedenza, abbiamo la componente stocastica non stazionaria , che contiene in sé trend stocastico. Poniamo, ad esempio che tale componente sia la già citata random walk: allora è
(ossia ) con ( ) . Adesso applichiamo al
processo il filtro lineare :
( ) [ ( ) ]
Il processo è stazionario perché composto da una costante e da un processo
white noise. Poiché abbiamo applicato una sola volta il filtro lineare al
processo stocastico , quest‟ultimo è definito processo stocastico integrato di ordine 1: ( ). In generale, un processo stocastico integrato di ordine n (con ) è un processo difference stationary , che può essere trasformato in un
processo stazionario dopo che gli è stato applicato per n volte il filtro lineare . In questo lavoro non presentiamo le metodologie di stima dei processi stocastici; giova però sottolineare che le proprietà delle stime e delle procedure di verifica d‟ipotesi tradizionali si fondano sull‟assunzione che le variabili incluse nella regressione siano stazionarie. Ad esempio, la proprietà di consistenza degli stimatori ottenuti con il metodo dei minimi quadrati ordinari (Ordinary Least
Squares), o OLS estimators, si basano sul fatto che, quando la dimensione
campionaria aumenta, i momenti secondi campionari convergono ai momenti secondi teorici. Ma questi ultimi, quando abbiamo a che fare con variabili integrate, tendono all‟infinito con l‟aumentare della dimensione campionaria; in
tests statistici non sono più ben definite, dando potenzialmente luogo a stimatori
distorti, previsioni inefficienti e inferenze fuorvianti, si parla appunto di non
sense regression (regressione spuria).
In questo caso, l‟unico modo per ottenere stime attendibili è lavorare con le variazioni delle variabili (ovvero con variabili in sole differenze), anziché con i loro livelli, perché, come abbiamo avuto modo di vedere, differenziando un processo stocastico I(1) otteniamo un processo stocastico I(0). Tuttavia in questo caso, non è più possibile, ricondurre un modello in sole differenze a un equilibrio di lungo periodo, perché in tale modello la soluzione di equilibrio statico è indeterminata. La cointegrazione, allora, rappresenta l‟unica possibilità per mantenere il contenuto informativo dei dati circa l‟equilibrio di lungo periodo e per ottenere stime attendibili usando variabili sia in livelli che in differenze: le variabili in differenze sono processi stocastici stazionari, mentre le variabili in livelli sono quelle che rientrano nella relazione di cointegrazione, ovvero quelle la cui combinazione lineare genera un processo stocastico stazionario.