La prima fondamentale ipotesi alla base dell‟analisi delle serie temporali è che le serie storiche economiche possano essere interpretate come realizzazioni di un processo stocastico. Più precisamente un processo stocastico è una sequenza ordinata di variabili casuali che ha una funzione di distribuzione caratterizzata da parametri che a loro volta cambiano nel tempo; tale processo è supposto descrivere il meccanismo di generazione dei dati (DGP, data
generation process) e quindi la sua modellizzazione è di fondamentale
importanza.
Solitamente, un processo stocastico è noto completamente solo se si conosce la distribuzione di probabilità congiunta ( ); funzione, quest‟ultima che ne descrive tutte le proprietà. Tuttavia, effettuare inferenza sulla legge di probabilità di un processo stocastico partendo dalla sua realizzazione osservata – la serie storica – non è generalmente possibile se non sono verificate alcune condizioni sulla struttura probabilistica del processo stesso. Tali condizioni costituiscono delle restrizioni sulla legge del processo e hanno lo scopo di ridurre il numero dei parametri incogniti ed il grado di dipendenza temporale. Esistono due tipi di restrizioni:
restrizioni sulla memoria del processo23
restrizioni sull‟eterogeneità nel tempo del processo
23 Possiamo ad esempio richiedere che la condizione di ergodicità assicuri la validità della legge dei
grandi numeri, ossia che all‟aumentare del numero di realizzazioni campionarie (ossia per ) i
momenti empirici delle variabili casuali tendono in probabilità ai rispettivi momenti teorici (ad esempio,
possiamo ritenere che sia ( ̅) [(∑ ) ] [ ] [ ] ha valore finito). In questo
Tralasciamo la prima categoria e focalizziamoci sulla seconda, a cui appartengono le condizioni di stazionarietà. La proprietà di stazionarietà permette di considerare il processo omogeneo rispetto al tempo, ossia la legge temporale del processo (o alcuni sui momenti) è la medesima se si effettua una traslazione rigida dell‟asse dei tempi. In letteratura, si distinguono due diverse nozioni di stazionarietà:
la stazionarietà forte
la stazionarietà debole (o in covarianza)
Un processo stocastico è definito stazionario in senso forte se la sua funzione di distribuzione di probabilità congiunta è invariante nel tempo – cioè è indipendente dall‟istante temporale t – e, quindi, tutti i momenti di tale distribuzione non cambiano nel tempo, ossia:
( ) ( )
Data la difficoltà nel conoscere l‟intera distribuzione di probabilità del processo, solitamente si focalizza l‟attenzione sulle funzioni valore atteso e di autocovarianza.
Un processo stocastico si dice stazionario in senso debole, o stazionario in covarianza se valore atteso, varianza e autocovarianza sono finiti e non dipendono dall‟istante temporale t; in termini formali risulta che, per ogni t e s :
[ ] | |
( ) [( ) ] | |
( ) [( )( )] | |
La stazionarietà in senso debole richiede quindi esclusivamente l‟esistenza, la finitezza e l‟invarianza temporale dei momenti primi e secondi del processo. Nessun vincolo è posto né sui momenti di ordine superiore, né sull‟invarianza temporale della distribuzione del processo.
In generale, non esiste una relazione di implicazione tra stazionarietà in senso forte e stazionarietà in senso debole e/o viceversa. Un processo stazionario in
senso forte è anche stazionario in senso debole se e solo se il suo valore atteso e la sua varianza sono finiti. Al contrario, la stazionarietà in senso debole non implica quella in senso forte: il fatto che valore atteso e autocovarianza siano finiti e invarianti rispetto al tempo non esclude che i momenti di ordine superiore al secondo dipendano dal tempo, mentre la stazionarietà forte richiede che tutti i momenti, se esistono, siano indipendenti dall‟istante temporale24
.
La disamina esaustiva dei modelli stocastici stazionari va molto oltre le intenzioni di questo lavoro; per quanto ci riguarda, si è deciso di fornire due esempi di processi stazionari che si è ritenuto utili al fine di comprendere meglio l‟analisi che verrà svolta nel contesto multivariato.
Procediamo con un primo esempio di processo stocastico stazionario: il white
noise: è un processo stocastico serialmente non correlato, con valore atteso nullo
e varianza costante. Per cui se ( ) allora valgono le seguenti proprietà:
( ) ( | ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
Un processo white noise, pertanto, è un processo stazionario in senso debole, poiché un processo white noise non richiede che le variabili casuali siano tra loro indipendenti bensì richiede solamente la loro non correlazione seriale25.
Prendiamo adesso in considerazione un processo autoregressivo (AR,
autoregressive process) del p-esimo ordine ed introduciamo nella notazione
24 Ad ogni modo, esistono diversi casi in cui stazionarietà debole e forte coincidono: il più noto è il caso
del processo gaussiano, ossia di un processo caratterizzato dal fatto di avere tutte le distribuzione di probabilità finito-dimensionali di tipo normale. Dato che tale processo ha valore atteso e varianza finiti, se vale la stazionarietà forte allora automaticamente viene verificata la stazionarietà debole; al contrario, se vale la stazionarietà debole, dato che tale processo dipende solo da valore atteso, varianza e dalle autocovarianze, l‟invarianza di tali quantità implica l‟invarianza di tutta la distribuzione del processo, come richiesto dalla stazionarietà forte.
25
Notiamo che un processo white noise normalmente distribuito è un processo stazionario in senso forte, poiché la distribuzione normale è completamente descritta dal suo valore atteso e dalla sua varianza e quindi, in questo caso, la condizione di stazionarietà in covarianza implica la stazionarietà in senso forte.
Se è un processo white noise normalmente distribuito, allora è ( ), perché la proprietà
di non correlazione seriale, congiuntamente a quella di normalità della distribuzione di probabilità
l‟operatore ritardo (lag operator) L. Esso si applica alle variabili indicizzate temporalmente26 ed è definito nel seguente modo: ; di conseguenza, è ( ) e, in generale . Quindi se è
( ), allora la variabile casuale dipende linearmente dai suoi precedenti valori, ossia:
∑
dove ( ). Si dimostra che un processo autoregressivo è stazionario in senso debole sotto una particolare condizione. Partiamo dall‟analizzare un AR(1) e mostriamo che esso può essere riscritto come un processo MA( ) , a condizione che sia | | :
( )
∑
se e solo se | | , ossia se | | . Questa condizione è chiamata condizione di invertibilità del polinomio ( ) , detto polinomio di ritardo (lag polynomial)27. Possiamo verificare che, se il lag polynomial di un processo autoregressivo è invertibile, allora tale processo è stazionario in senso debole. Infatti, posto | | , valgono le seguenti relazioni:
( )
( ) ∑ ( )
26
Poiché è definito solo per variabili temporalmente indicizzate, il lag operator, qualora sia applicato ad una costante, la lascia invariata
27 La condizione di invertibilità può essere altresì espressa definendo le radici dell‟equazione caratteristica
( ) *(∑ ) + ∑ ( ) ∑ ( ) [(∑ ) (∑ )] ∑
Pertanto, poiché , un processo autoregressivo del primo ordine con | | è un processo stocastico stazionario in senso debole. Si può dimostrare che, in generale, un processo autoregressivo di qualsiasi ordine è un processo stocastico stazionario in senso debole, sotto un‟analoga condizione sui coefficienti autoregressivi del processo stocastico. In particolare, il lag
polynomial di un processo AR( ) è ( ) ∑ ; esso è invertibile se e solo se | ∑ | , ossia se |∑ | .
L‟ipotesi di stazionarietà debole prevede dunque l‟invarianza temporale della funzione valore atteso e dei momenti del secondo ordine. Tuttavia, la maggior parte delle serie macroeconomiche presenta un comportamento che si discosta dalle ipotesi di stazionarietà elencate precedentemente. Accade spesso, specie nelle analisi finanziarie, di operare su dati che presentano una rilevante componente di non stazionarietà. In particolare, una delle ragioni più comuni, è la presenza di un andamento di trend, che determina una variazione progressiva nel livello della variabile analizzata accompagnato, a volte, da eteroschedasticità nella componente di varianza.